Zeta dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
zeta
Olasılık kütle fonksiyonu
Zeta olasılık kütle fonksiyonu grafigi
log-log ölcekli olarak Zeta OKF. (Bu fonksiyon sadece k'nin tamsayıları icin tanımlanmaktadır; noktaları bağlayan çizgiler görüs kolaylıgı sağlamak icin verilmistir; süreklilik ifade etmezler.)
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Zeta KDF
Parametreler s\in(1,\infty)
Destek k \in \{1,2,\ldots\}
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF) \frac{1/k^s}{\zeta(s)}
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF) \frac{H_{k,s}}{\zeta(s)}
Ortalama \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}~\textrm{for}~s>2
Medyan
Mod 1\,
Varyans \frac{\zeta(s)\zeta(s-2) - \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2}~\textrm{for}~s>3
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi \sum_{k=1}^\infty\frac{1/k^s}{\zeta(s)}\log (k^s \zeta(s)).\,\!
Moment üreten fonksiyon (mf) \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}
Karakteristik fonksiyon \frac{\operatorname{Li}_s(e^{it})}{\zeta(s)}

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tamsayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

f_s(k)=k^{-s}/\zeta(s)\,

Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

Momentler[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel olarak, ninci ham moment Xnin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}

Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

m_n =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{for}~n < s-1 \\
\infty & \textrm{for}~n \ge s-1
\end{matrix}
\right.

olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, ns - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'

Moment üreten fonksiyon[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

M(t;s) = E(e^{tX}) = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{tk}}{k^s}.

Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve e^t<1 için geçerlidir ve bu halde

M(t;s) = \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}\text{ for }t<0.

Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

\sum_{n=0}^\infty \frac{m_n t^n}{n!},

Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir s 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

\scriptstyle |t|\,<\,2\pi

için şu ifadeyi elde ederiz:

\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=0,n\ne s-1}^\infty \frac{\zeta(s-n)}{n!}\,t^n=\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)-\Phi(s,t)}{\zeta(s)}

\scriptstyle\Phi(s,t) değeri şöyle verilir

\Phi(s,t)=\Gamma(1-s)(-t)^{s-1}\text{ for }s\ne 1,2,3\ldots
\Phi(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}\left[H_s-\ln(-t)\right]\text{ for }s=2,3,4\ldots
\Phi(s,t)=-\ln(-t)\text{ for }s=1,\,

burada Hs bir harmonik sayı olur.

s=1 hali[değiştir | kaynağı değiştir]

Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tamsayılar seti ise yani

\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{N(A,n)}{n}

var olmakta ise ve burada N(A, n) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

\lim_{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,

bu yoğunluğa eşittir.

Bazı hallerde A için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer A birinci tamsayısı ;d olan bütün pozitif tamsayıların bir seti ise, A için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:

\log(d+1) - \log(d),\,

Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Diğer güç-savı dağılımları şunlardır:

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]