Moment üreten fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir rassal değişken X için, eğer beklenen değer var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

M_X(t)=E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R},

Moment üreten fonksiyon bir olasılık dağılımı için momentler üretmek için ortaya atılmıştır.

Gerçdl bileşenli vektör değerli rassal değişkenler X için moment üreten fonksiyon şöyle ifade edilir:

 M_X(\mathbf{t}) = E\left( e^{\langle \mathbf{t}, \mathbf{X}\rangle}\right)

Burada t bir vektördür ve \langle \mathbf{t} , \mathbf{X}\rangle nokta çarpan olur.

Şayet t = 0 aralığı etrafında bir momentin bulunduğu bilinirse, şu ifade ninci momenti gösterir:

E\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n M_X(t)}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0}.

Eğer X için bir sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani f(x) var ise, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x
 = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
 = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,

Burada m_i iinci matematiksel moment olur. M_X(-t) f(x) fonksiyonunun bir iki taraflı Laplace dönüşümüdür.

Olasılık fonksiyonunun sürekli olup olmadığına bakılmaksızın, moment üreten fonksiyon şu Rimemann-Stieltjes intergali ile verilebilir:

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)

Burada F yığmalı dağılım fonksiyonudur.

Eğer X1, X2, ..., Xn bir seri bağımsız (ama mutlaka aynı şekilde dağılma göstermeyen) rassal değişkenlerse, ve ai verilmiş sabitler olup

S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,

ise, o halde Sn için olasılık yoğunluk fonksiyonu, her bir Xi için olasılık yoğunluk fonksiyonlarının konvülasyonu olur ve ayni koşullar için Snnin moment üreten fonksiyonu şöyle verilir:


M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt).


Olasılık kuramında her dağılım için genel ve tüm kapsamlı bulunan moment üreten fonksiyonlara benzer olarak daha birkaç tane donüşüm bulunmaktadır: Bunlar arasında karakteristik fonksiyon ve olasılık üreten fonksiyon en önemlileridir. Kümülant üreten fonksiyon ise moment üreten fonksiyonun logaritma dönüşümünden oluşur.

İçsel kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]