Polinom

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
3. dereceden bir polinomun grafiği:
f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2
= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)

Matematikte, bir polinom belirli sayıda belirsiz değişken ve sabit sayıdan oluşan bir ifadedir. Polinom kendi içinde toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan sayının üssünü alma işlemlerini kullanır. Örnek olarak tek bilinmeyenli bir polinom olan x2 − 4x + 7, ikinci dereceden bir polinomdur. Diğer bir örnek olarak, x2 − 4/x + 7x3/2 bir polinom değildir, çünkü 2. terimi x′i ele alan bir bölme işlemi içermektedir ve 3. terimi tam sayı olmayan bir sayı içermektedir (3/2).

Polinomlar, bilimde ve matematik alanında sıkça görülür. Ekonomiden kimyaya, kimyadan fiziğe, ve sosyal bilimlerde problemlerin çözülmesi için kullanılır. Polinomlar, toplama işlemlerinde ve sayısal analizlerde diğer fonksiyonları belirlemek için kullanılır. İleri seviye matematikte, polinomlar, polinom halkaları oluşturmak için kullanılır, ve bu halkalar temel matematikte ve cebirsel geometride kullanılan merkezi bir kavramdır.

Bu ismin akılda kalması amacıyla, Türk Dil Kurumu'nun da belirttiği polinom sözlük anlamıyla "çok terimli" anlamına gelmektedir.[1]

Etimoloji[değiştir | kaynağı değiştir]

Oxford İngilizce Sözlüğü'ne göre, polinom, binom kelimesindeki bi- kökünün Yunanca poli- kökü ile değiştirilmesiyle oluşmuş bir kelimedir. Yunanca kelime poli, çok anlamına gelmektedir. polinom kelimesi ilk 17. yüzyılda kullanılmıştır.[2]

Notasyon[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir polinomda belirsiz X, formüllerde P ya da P(X) olarak belirebilir.

Genelde, polinomun ismi P(X) değil, P′dir. Ancak, eğer a bir sayı, bir değişken, başka bir polinom, veya, daha genel olarak herhangi bir ifadeyi belirtmek için kullanılırsa, P(a) teamül olarak P′deki X′in yerine a′nın geçmesini belirtir. Örnek olarak polinom P, yandaki fonksiyonu tanımlar: x\mapsto P(x)

İlişkilendirilen fonksiyonda bilinmeyenler için büyük harf ve değişkenler için küçük harf kullanmak bilinen bir uzlaşımdır.

Özellikle, eğer a = X olursa, P(a)′nın tanımı P = P(X)′i belirtir.

Bu eşitlik bazı durumlarda sözle ifade etmeyi basitleştirir. Örneğin ″P(X) bir polinom olsun″ yerine ″X bilinmeyeni içinde P bir polinom olsun″ kullanılır. Diğer yandan, bilinmeyenin ismini vurgulamak gerekli olmadığı zaman, eğer polinomun her görünüşünde bilinmeyenin ismi gözükmüyorsa çoğu formül daha basit ve okuması daha kolay olur.

Polinomların Aritmetiği[değiştir | kaynağı değiştir]

Toplama[değiştir | kaynağı değiştir]

Polinomlar toplamanın birleşmeli yasasını kullanarak (bütün terimlerin tek bir toplamda birleştirilmesi), mümkün olduğunca tekrardan sıralanıp, benzeri terimler birleştirilebilir.[3][4]

Örneğin:

  1. P = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 olsun
  2. Q = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8 olsun
  3. sonrasında
    P + Q = 3x^2 - 2x + 5xy - 2 - 3x^2 + 3x + 4y^2 + 8
  4. basitleştirirsek:
    P + Q = x + 5xy + 4y^2 + 6


Polinomların toplamı polinom verir.[5]

Çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]

İki polinomun çarpımlarının terimlerinin toplamını çözmek için, dağılma yasası tekrar edecek şekilde uygulanılır, ki bu, bir polinomun her teriminin diğer polinomun her terimiyle çarpılmasıyla sonuçlanır.[3]

Örneğin:

  1. \color{BrickRed}{P = 2x + 3y + 5} olsun
  2. \color{RoyalBlue}{Q = 2x + 5y + xy + 1} olsun
  3. sonrasında
    \begin{array}{rccrcrcrcr}
{\color{BrickRed}P}{\color{RoyalBlue}Q}&{{=}}&&({\color{BrickRed}2x}\cdot{\color{RoyalBlue}2x})
&+&({\color{BrickRed}2x}\cdot{\color{RoyalBlue}5y})&+&({\color{BrickRed}2x}\cdot {\color{RoyalBlue}xy})&+&({\color{BrickRed}2x}\cdot{\color{RoyalBlue}1})
\\&&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot{\color{RoyalBlue}2x})&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot{\color{RoyalBlue}5y})&+&({\color{BrickRed}3y}\cdot {\color{RoyalBlue}xy})&+&
({\color{BrickRed}3y}\cdot{\color{RoyalBlue}1})
\\&&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}2x})&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}5y})&+&
({\color{BrickRed}5}\cdot {\color{RoyalBlue}xy})&+&({\color{BrickRed}5}\cdot{\color{RoyalBlue}1})
\end{array}
  4. basitleştirirsek:
    PQ = 4x^2 + 21xy + 2x^2y + 12x + 15y^2 + 3xy^2 + 28y + 5


Polinomların çarpımı polinom verir. [5]

Bölme[değiştir | kaynağı değiştir]

Polinom değerlendirmesi birinci dereceden bir polinomun polinom bölümlerindeki kalanı hesaplamak için kullanılabilir, çünkü f(x)′in (xa)′ya bölümü f(a)′dir; polinom kalan teoremine bakınız. Bu yöntem oran gerekli olmadığı zaman, çoğunlukta kullanılan bölüm algoritmasından daha verimli olur.

Diğer Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • İki polinomun bileşke fonksiyonu bir polinomdur, ki bu ilk polinomdaki değişkenin ikinci polinomdaki bir değişkenle değiştirilmesiyle elde edilir.[5]
  • anxn + an−1xn−1 + ... + a2x2 + a1x + a0 polinomunun türevi: nanxn−1 + (n−1)an−1xn−2 + ... + 2a2x + a1′dir. Eğer katsayı dizisi tam sayı içermezse (örneğin katsayılar asal sayı olan p′nin modülosu ise), o zaman kak, k kere ak′nin toplamı olarak yorumlanmalıdır. Örneğin tam sayı üstünde modülo p iken, xp + 1′nin türevi polinom 0′dır.[6]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ "Türk Dil Kurulumu, Güncel Türkçe Sözlük". http://tdk.gov.tr/index.php?option=com_gts. 
  2. ^ "polynomial" kelimesinin köken bilgisi. Sıkıştırılmış Oxford İngilizce Sözlüğü
  3. ^ a b Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. ss. 47. ISBN 9780817637316. http://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA47. 
  4. ^ Salomon, David (2006). Coding for Data and Computer Communications. Springer. ss. 459. ISBN 9780387238043. http://books.google.com/books?id=Zr9bjEpXKnIC&pg=PA459. 
  5. ^ a b c Barbeau, E.J. (2003). Springer. ss. 1-2. ISBN 9780387406275. 
  6. ^ Barbeau, E.J. (2003). Polynomials. Springer. ss. 64-65. ISBN 9780387406275. http://books.google.com/books?id=CynRMm5qTmQC&pg=PA64.