Birim fonksiyon

Matematikte, birim fonksiyon (ayrıca birim bağıntı, birim gönderim veya birim transformasyon olarak da adlandırılır), argüman olarak kullanılan değeri değiştirmeden döndüren bir fonksiyondur. Yani, $f$ birim fonksiyon olduğunda, $f$ 'nin uygulanabileceği tüm $x$ değerleri için $f(x)=x$ eşitliği sağlanır.

Tanım

Formal olarak, eğer $X$ bir küme ise, $X$ üzerindeki birim fonksiyon $f$ , tanım kümesi ve değer kümesi $X$ olan ve aşağıdakini sağlayan bir fonksiyon olarak tanımlanır:

X

içindeki tüm

x

elemanları için

f(x)=x

.^[1]

Başka bir deyişle, değer kümesi $X$ 'teki fonksiyon değeri $f(x)$ , her zaman tanım kümesi $X$ 'teki girdi elemanı $x$ ile aynıdır. $X$ üzerindeki birim fonksiyon açıkça bir birebir fonksiyon ve aynı zamanda bir örten fonksiyondur (değer kümesi aynı zamanda görüntü kümesidir), dolayısıyla birebir örtendir.^[2]

$X$ üzerindeki birim fonksiyon genellikle $\mathrm {id} _{X}$ ile gösterilir. Fonksiyonların özel bir tür ikili bağıntı olarak tanımlandığı küme teorisinde, birim fonksiyon birim bağıntı veya $X$ 'in köşegeni (diagonal) ile verilir.^[3]

Cebirsel özellikler

Eğer $f:X\rightarrow Y$ herhangi bir fonksiyonsa, $f\circ \mathrm {id} _{X}=f=\mathrm {id} _{Y}\circ f$ 'tir; burada " $\circ$ " fonksiyon bileşkesini gösterir.^[4] Özellikle, $\mathrm {id} _{X}$ , $X$ 'ten $X$ 'e giden tüm fonksiyonların monoidinin (fonksiyon bileşkesi altında) etkisiz elemanıdır. Bir monoidin etkisiz elemanı biricik olduğundan,^[5] $M$ üzerindeki birim fonksiyon alternatif olarak bu etkisiz eleman şeklinde de tanımlanabilir. Bu tanım, $M$ 'nin endomorfizmalarının fonksiyon olmak zorunda olmadığı kategori teorisindeki birim morfizma kavramına genelleştirilir.

Özellikler

Birim fonksiyon, vektör uzaylarına uygulandığında bir doğrusal operatördür.^[6]
$n$ -boyutlu bir vektör uzayında birim fonksiyon, uzay için seçilen tabandan bağımsız olarak birim matris $I_{n}$ ile temsil edilir.^[7]
Pozitif tamsayılar üzerindeki birim fonksiyon, sayılar teorisinde ele alındığı üzere tamamen çarpımsal bir fonksiyondur (esasen 1 ile çarpma).^[8]
Bir metrik uzayda birim fonksiyon, trivial (tüm değişkenlerin sıfıra eşit olduğu çözüm) bir şekilde bir izometridir.
Herhangi bir simetrisi olmayan bir nesnenin simetri grubu, yalnızca bu izometriyi (simetri tipi $\mathrm {C} _{1}$ ) içeren trivial gruptur.^[9]
Bir topolojik uzayda, birim fonksiyon her zaman süreklidir.^[10]
Birim fonksiyon idempotenttir.^[11]

Ayrıca bakınız

Birim matris

Kaynakça

^ Knapp, Anthony W. (2006). Basic algebra. Springer. ISBN 978-0-8176-3248-9.
^ Mapa, Sadhan Kumar (7 April 2014). Higher Algebra Abstract and Linear (11th bas.). Sarat Book House. s. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
^ Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (İngilizce). American Mathematical Society. 1974. s. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3. ...then the diagonal set determined by M is the identity relation...
^ Nel, Louis (2016). Continuity Theory. Cham: Springer. s. 21. doi:10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3.
^ Rosales, J. C.; García-Sánchez, P. A. (1999). Finitely Generated Commutative Monoids (İngilizce). Nova Publishers. s. 1. ISBN 978-1-56072-670-8. The element 0 is usually referred to as the identity element and if it exists, it is unique
^ Anton, Howard (2005). Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th bas.). Wiley International.
^ T. S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
^ D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519.
^ Anderson, James W. (2007). Hyperbolic geometry. Springer undergraduate mathematics series (2. ed., corr. print bas.). London: Springer. ISBN 978-1-85233-934-0.
^ Conover, Robert A. (2014-05-21). A First Course in Topology: An Introduction to Mathematical Thinking (İngilizce). Courier Corporation. s. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
^ Conferences, University of Michigan Engineering Summer (1968). Foundations of Information Systems Engineering (İngilizce). we see that an identity element of a semigroup is idempotent.

[1] Knapp, Anthony W. (2006). Basic algebra. Springer. ISBN 978-0-8176-3248-9.

[2] Mapa, Sadhan Kumar (7 April 2014). Higher Algebra Abstract and Linear (11th bas.). Sarat Book House. s. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.

[3] Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (İngilizce). American Mathematical Society. 1974. s. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3. ...then the diagonal set determined by M is the identity relation...

[4] Nel, Louis (2016). Continuity Theory. Cham: Springer. s. 21. doi:10.1007/978-3-319-31159-3. ISBN 978-3-319-31159-3.

[5] Rosales, J. C.; García-Sánchez, P. A. (1999). Finitely Generated Commutative Monoids (İngilizce). Nova Publishers. s. 1. ISBN 978-1-56072-670-8. The element 0 is usually referred to as the identity element and if it exists, it is unique

[6] Anton, Howard (2005). Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th bas.). Wiley International.

[7] T. S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.

[8] D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519.

[9] Anderson, James W. (2007). Hyperbolic geometry. Springer undergraduate mathematics series (2. ed., corr. print bas.). London: Springer. ISBN 978-1-85233-934-0.

[10] Conover, Robert A. (2014-05-21). A First Course in Topology: An Introduction to Mathematical Thinking (İngilizce). Courier Corporation. s. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.

[11] Conferences, University of Michigan Engineering Summer (1968). Foundations of Information Systems Engineering (İngilizce). we see that an identity element of a semigroup is idempotent.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]