Bileşke fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.

f, X kümesinden Y kümesine giden bir fonksiyonsa, g de Y kümesinden Z kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman g\circ f fonksiyonunu her x\in X için,

(g\circ f)(x) = g(f(x))

kuralıyla tanımlanan X kümesinden Z kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona g ve f fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

Başka bir deyişle, bileşke

f: X\longrightarrow Y ve g: Y\longrightarrow Z

fonksiyonlarından

g\circ f: X\longrightarrow Z

fonksiyonunu üretir.

g ve f fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için f fonksiyonunun değer kümesi, g fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.

Eğer f, X kümesinden Y kümesine, g de Y kümesinden X kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem g\circ f : X \longrightarrow X fonksiyonundan hem de f\circ g : Y \longrightarrow Y fonksiyonundan söz edilebilir.

Bileşke, X'ten X'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk(X,\;X) kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id_X, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk(X,\;X) kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

X=Y=Z=R (gerçel sayılar kümesi) olsun. f fonksiyonu f(x)=x^2 ve g fonksiyonu g(x)=x+1 olarak tanımlansın. O zaman,

(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1) = (x+1)^2

dir. Ancak

(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2) = x^2+1

dir. Demek ki

f\circ g \neq g \circ f,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.

X,\,Y,\,Z,\,T dört küme olsun.
f:X\longrightarrow Y,
g:Y\longrightarrow Z,
h:Z\longrightarrow T

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:

g\circ f: X \longrightarrow Z,
h\circ(g\circ f): X \longrightarrow T,
h\circ g: Y \longrightarrow T,
(h\circ g)\circ f: X \longrightarrow T.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)

eşitliği geçerlidir. X kümesinden herhangi bir x elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu x elemanında değerlendirilirse

((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ g)(f(x))= h(g(f(x)))

ve

(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x)) = h(g(f(x))).

eşitliklerine ulaşılır.

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani

((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ (g\circ f))(x).

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani (h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f) eşitliği çıkar.