Birebir fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

f:X\longrightarrow Y, X'ten Y'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her x_1,\, x_2\in X için f(x_1)=f(x_2) eşitliği x_1=x_2 eşitliğini gerektiriyorsa, yani X'in iki değişik elemanı Y'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman f fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.

Örneğin, f(x)=x^2 kuralıyla tanımlanan f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} fonksiyonu birebir değildir çünkü - gene - örneğin f(-5) = f(5) eşitliği sağlanır; öte yandan gene g(x)=x^2 kuralıyla tanımlanan g: \mathbb{R}^{\geq 0} \longrightarrow \mathbb{R} fonksiyonu birebirdir.

Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer f:X\longrightarrow Y ve g:Y\longrightarrow Z birebir iki fonksiyonsa o zaman g\circ f fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.

Eğer f:X\longrightarrow Y ve g:Y\longrightarrow Z iki fonksiyonsa ve g\circ f (bkz. bileşke) birebirse o zaman f fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer x_1,\, x_2\in X için f(x_1) = f(x_2) ise, o zaman her iki tarafı da g'de değerlendirerek, g(f(x_1)) = g(f(x_2)) elde ederiz, yani (g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2). Buradan da g\circ f birebir olduğundan x_1 = x_2 çıkar.

Cantor'un kümeler kuramına göre eğer X'ten Y'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, X'in Y'den "daha az" elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu |X|\leq |Y| olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne göre |X|\leq |Y| ve |Y|\leq |X| ise |X|\simeq |Y|'dır, yani ile Y arasında bir eşleme vardır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]