Lie cebiri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Matematikte, Lie cebiri (/ li ː /, değil / laɪ /) içinde sonsuzküçük dönüşümler kavramını incelemek için tanıtılan cebirsel yapılardır. 1930'larda Hermann Weyl'in önsözünde Lie cebiri terimi kullanildi(Sophus Lie anisina). Eski metinlerde "sonsuzküçük grubu" adı ile geçiyordu

Lie Cebri, matematikte ve fizikte geniş bir kullanım alanı bulur. Bir cismin üzerine bu dönüşüm ile tanımlanan yöney (vektör) uzayı Lie cebri olarak adlandırılır.Ve yine aslında Lie cebri doğrusal cebir(yani lineer cebir)dir İlgili matematiksel kavramlar Lie grupları ve türevlenebilir manifoldlar içerir.

Tanımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir Lie cebri ikili islemle birlikte bazı F alanlari üzerinde bir vektör uzayıdır ve Lie braketi olarak adlandırılır ve F içindeki bütün a, b ve bütün skalerler ve içindeki x, y, z elemanları için aşağıdaki aksiyomları sağlar:

  • dalgalı üstünde içindeki bütün x lar için:

olarak verilir.

çiftdoğrusallık ve alternatif özelliklerinin karşıt değişmelilik özelliğini işaret ettiği unutulmamalıdır. 'nin bütün x, y elemanları için ve karakteristik 2 değilse karşıtdeğişmelilik alanı alternatifligi isaret eder.[1]

Bu gibi bir küçük harf fraktürü ile Lie cebirini ifade etmek gelenektir. Bir Lie cebri ile iliskili Lie grubu yazımı aynıdır. örneğin,Lie cebiri SU(''n'')

olarak yazılabilir.

Üreteçler ve boyut[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğerki dahilindeki en küçük alt cebiri Lie cebirinin kendisi ise,Lie cebrinin üreteçlerinin bir Lie cebrinin ögelerinin koleksiyonu olduğu söylenir,bir Lie cebrinin boyutu ise basitçe F üzerinde bir vektör uzayıdır . En az bir üretecin boyutunun her zaman daha az ya da eşit bir boyut olduğuna dikkat edin.

Homomorfizmalar, alt cebirler ve idealler[değiştir | kaynağı değiştir]

Lie braketi genel olarak birleşimli islem değil, yani bunun nin 'e eşit olması gerekmez.Bununla birlikte,terminolojide birçok çok birleşme teorisi geliştirilmiştir ki halkalar veya birleşimli cebirlerde yaygın olarak Lie cebri uygulanır. Bir alt uzayı bir Lie alt cebiri Lie braketi altında kapalıdır denir. Eğer bir alt uzay daha güçlü bir koşula uygun ise

I Lie cebri [2]'nde ideal olarak adlandırılır.Degismelisi aynı şekilde sıfır olmayan bir Lie cebiri ve hiçbir idealleri yoksa yalın denir.Aralarında bir homomorfizma olan iki Lie cebiri için (aynı alan tabanı üzerinden) degismelisi ile uyumlu bir doğrusal gönderim:

bütün x ve y elementleri içindir ve birleşimli halkaların,ideallerin teorisi içinde homomorfizmaların(eşyapıların) tam da özüdür, verilen bir Lie cebri ve içindeki I ideali üzerinde bir yapı faktör cebridir ve Lie cebri için ilk izomorfizm teoremidir.

Diyelimki S , nin alt kümesi olsun. x elemanlarının kümesi böylece S formlarınin biralt cebri içindeki tüm s ler için S in merkezleyici dir. nin merkezleyeni 'in kendi merkezidir. Merkezleyenlere benzer sekilde, eğer S bir alt uzay ise,[3] o zaman x kümesi gibi S formunun bir alt cebri ise tüm s ler S in normalizeri olarak adlandırılır.

Direk toplam ve indirek çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]

iki Lie cebri ve verilsin burada direk toplam I : Lie vektör uzayı bir Lie cebri oluşturur. çifti ile birlikte operasyon;

Diyelimki bir Lie cebri olsun ve idealdir. Eger kurallı gönderim bölümü (i.e., admits a section), ise ìn bir yarıdirek çarpımi ve , oldugu söylenir.

Levi teoremi sonlu-boyutlu bir Lie cebri kökünün bir yarı dogrusal çarpımıdır ve tamamlayici alt cebridir der. (Levi altcebri).

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Vektör uzayları[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Herhangi bir V vektör uzayı sıfır Lie braket'ine özdeş olan bir Lie cebri ile donatilir.Bunun gibi Lie cebri abeliyen dir.Lie braket'inin antisimetrisi ile bir alan üzerindeki herhangi tek-boyutlu Lie cebri abeliyendir.
  • Bütün gerçel vektör uzayların n × n çarpık-hermisyen matrisleri bir gerçel Lie cebri ile ifade edilen formlar ve komutatörler altinda kapalıdır Bu  U(n) üniter grup'un Lie cebridir

Altuzaylar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • sıfırın iz matrislerinin olusturdugu Genel doğrusal Lie cebirinin altuzayı,[4] Özel doğrusal Lie cebiri olarak ifade edilen bir alt cebirdir.

Gerçel matris grubu[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Herhangi Lie grubu G gerçel Lie cebri ile bir ilişki tanımlar.Genel olarak tanımı biraz tekniktir,ama bu gerçel matris grup'larının durumu içinde,üstel gönderim yoluyla formüle edilebilir, veya bu üstel matristir. Lie cebri bu matrislerden oluşmaktadır,∀ t gerçel sayıları için böyle X matrislerinin oluşturduğu Lie cebridir
'nin Lie braketi matrislerin degismelisi tarafından verilir. Somut bir örnek olarak,özel Lie grupları SL(n,R)oluşturmaktadır, bütün n × n matrislerin oluşumu ile gerçel girişler ve determinant 1. Bu bir Lie grubu matristir, ve bu bütün n × n matrislerinin Lie cebridir ve gerçek giriş ile iz 0'dır.
Bu Lie cebri M 'in difeomorfizm'inin yalancı grubu ile ilişkilidir.

üç boyutlu[değiştir | kaynağı değiştir]

.

Bu açıkça sergilemektedir ki 3×3 kesinlikle üst üçgen matrislerin uzayı olarak,degismeli matris tarafından verilen Lie braketi ile:

Sonsuz boyutlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonsuz boyutlu gerçek bir Lie cebirlerinin önemli bir sınıfı diferansiyel topolojisinde ortaya çıkar. Bir diferansiyellenebilir manifold M ile İlgili düzgün vektör alanının uzayı, bir Lie cebri oluşturur Lie braketi vektör alanının degismelisi olarak tanımlanır burada Lie braketi ifade etmenin bir yolu Lie türevleri'nin formalizmi yoluyladırki LX inX yönünde fonksiyonu f yönlü türevi sağlayarak düzgün fonksiyonları üzerinde etkili bir birinci dereceden kısmi diferansiyel operatör LX(f) ile bir vektör alanı X tanımlar;Lie braketi [X,Y] iki vektör alanı aşağıdaki formül ile fonksiyonlar üzerindeki etkisi aracılığıyla tanımlanan vektör alanıdır:

Yapı teorisi ve sınıflandırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Lie cebiri bir ölçüde sınıflandırılabilir. Özellikle, bu Lie gruplarının sınıflandırılması için bir uygulama vardır..

Değişmeli,nilpotent ve çözülebilirlik[değiştir | kaynağı değiştir]

Benzer şekilde değişmeli, nilpotent elde edilen alt grupları açısından tanımlanan çözülebilir gruplar, için, bir, değişmeli sıfırın-gücü ve çözülebilir Lie cebiri tanımlayabilirsiniz Bir Lie cebiri abeliandir. Lie braketi yok olur ise,tüm x ve y için içindeki yani [x,y] = 0,Değişmeli Lie cebiri değişmeli karşılık gelir (veya değişmeli) Bu vektör uzayları gibi bağlı Lie grupları veya tori ve formun tümü vardır bir anlamı n-önemsiz bir Lie braketi boyutlu vektör uzayıdır Lie Cebirlerin daha genel bir sınıfı verilen tüm verilen uzunluğun degismelilerin kaybolması ile tanımlanır. Bir Lie cebiri. nilpotent Lie cebiridir,eğer Düşük Merkez serisi ise

eninde sonunda sıfır olur. Engel teoremi tarafından,Bir Lie cebri ancak ve ancak tüm u için ise üstel-sıfırdır. içinde eşlenik endomorfizmadır.

nilpotenttir.

Daha genel olarak hala,bir Lie cebrinin olduğu söylenir çözülebilir elde serisi: eğer

ise eninde sonunda sıfır olur.

Her sonlu boyutlu Lie cebri benzersiz bir maksimal çözülebilir idealdir,kök olarak adlandırılır. Lie yazışmaları altında,sıfırın-gücüne (sırasıyla çözülebilir) bağlı Lie grupları için(sırasıyla,çözülebilir) sıfırın-gücüne karşılık Lie cebiri gelmektedir

Basit ve yarıbasit[değiştir | kaynağı değiştir]

Kendisinin önemsiz olmayan idealleri var ve değişmeli değilse bir Lie cebiri "basit"tir bir Lie cebiri radikali sıfır ise yarıyalın denir.Herhangi sıfır olmayan değişmeli idealler içermiyorsa eşdeğeri yarıyalın olur. Özellikle, basit bir Lie cebiri yarıyalındır.Tersine, herhangi yarıyalın Lie cebirinin kuralli basit Lie cebirlerinin minimal ideallerin direkt toplamı olduğu ispat edilebilir.Lie cebiri için yarıyalınlık kavramı temsillerinin tam indirgenemezliği ile yakından ilgilidir.F alanında taban karakteristik sıfır olduğunda,herhangi bir yarıyalın Lie cebirinin sonlu-boyutlu gösterimleri (indirgenemez temsilleri, yani doğrudan toplam.) yarıyalın olur.Ek temsili yari basit ise genel olarak, bir Lie cebiri indirgeyici denir.Böylece,yarıyalın Lie cebiri indirgeyicidir.

Cartan ölçütü[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir Lie cebiri Cartan's ölçütü koşullarını vermesi için nilpotent, çözünebilir, ve yarı basit olmalıdır. Killing formu, nun gösterim tabanı simetrik çiftdoğrusal form olarak şu formulle tanımlanır

burada tr bir doğrusal operatörün izi ifadesidir. Bir Lie cebri ancak va ancak Killing formu dejenere olmayan ise yarı basittir. Bir Lie cebri ancak ve ancak ise çözünebilirdir

Sınıflandırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Levi bozunumu keyfi bir Lie cebri olarak çözünebilir kök ve bir yarıyalın Lie cebirinde yarıdoğrusal toplamı anlatırken kullanılır, Neredeyse kurallı bir şekilde. Ayrıca, bir cebirsel kapalı bir alan üzerinde yarıbasit Lie cebiri tamamen kendi kök sistemi ile sınıflandırılmıştır. Ancak, çözülebilir Lie cebiri sınıflandırma 'vahşi' bir sorundur, ve [kaynak belirtilmeli] genel olarak başarılı olmaz.

Lie gruplarıyla ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Lie cebri sıklıkla kendi başına bir çalışma olsa da tarihsel olarak Lie gruplarını incelemek için bir araç olarak ortaya çıkmıştır a Lie'nin temel teoremleri Lie grupları ve Lie cebri arasında bir ilişki tanımlar. özel olarak, herhangi bir Lie grubu bir kurallı belirlenen Lie cebrine yol açar (somut olarak, tanjant uzayına eş olarak); ve, tersine, herhangi Lie cebri için burada Lie grup (Lie'nin üçüncü teoremi bağlantısına karşılık gelir; bakınız Baker–Campbell–Hausdorff formülü). Bu Lie grubu belirlenemeyen eşitsizliktir; bununla beraber, herhangi iki Lie grubu bağlantısı ile aynı Lie cebri yerel izomorfiktir, ve özel olarak, aynı evrensel örtü var. örneğin, özel ortogonal grup SO(3) ve özel birimsel grup SU(2) aynı Lie cebrine yol açar, bu R3 ye çapraz-çarpım ile izomorfiktir , oysaki SU(2) SO(3)ün bir sade-bağlanmış ikikat örtüktür. Bir Lie grubu göz önüne alındığında, bir Lie cebiri eş haritasının diferansiyeli ile kimliğe tanjant uzay donatarak, ya da örneklerde belirtildiği gibi sol-değişmeyen vektör alanları dikkate alınarak,bunlar ilişkilendirilebilir. Gerçek matris grupları durumunda, Lie cebiri bu matrisler oluşur exp Üstel tüm reel sayılar t için "X ki exp (tX) ∈ G için". Lie gruplarına tekabül eden Lie cebirinin bazı örnekler şunlardır:

  • Lie cebiri grubu için karmaşık n×n matris cebir
  • Lie cebiri grubu için karmaşık cebir n×n izi 0 olan matrisler olduğunu
  • Lie cebiri grubu için ve için hem de gerçek bir anti-simetrik n×n matris cebir (bkz Antisimetrik matrisi:Sonsuz dönmeler
  • Lie cebiri grubu için çarpık-Hermityen kompleksi n×n matrislerinin çarpık—Hermitianın cebridir

Lie cebiri " için " çarpık-Hermitsel, iz bırakmadan karmaşık n×n cebir" için ". Yukarıdaki örneklerde, Lie [X, Y] ( ve Lie cebir matrisler için),. olarak tanımlanır. verilen bir Ta üreteçlerin kümesi,yani, [Ta, Tb] = f abc Tc kümeden üreteçlerin doğrusal bileşimleri olarak üreteçlerin çiftinin Lie braketleri yapı sabitleri f abc ifadesidir.Lie cebrinin ögelerinin Lie braketleri yapı sabitlerini belirler, ve sonuç olarak neredeyse tamamen Lie grubun grup yapısı belirlenir. Lie grup yapısının yakın özdeş öge Baker–Campbell–Hausdorff formülü ile açıkça gösterilir,Lie cebri ögeleri içinde bir açılım X, Y ve burada Lie braketleri, tek bir üs içinde bir arada iç içe, exp(tX) exp(tY) = exp(tX+tYt2[X,Y] + O(t3) )dir.

Lie cebirine Lie gruplarından gönderme funktöriyeldir, bu Lie cebirlerinin homomorfizmine yükseltilen Lie gruplarının homomorfizmini ima eder , ve çeşitli özellikleri bu yükseltme ile uygundur: bunun bileşim ile sırabağımszlığı, bunun Lie altgrupları göndermeleri, çekirdekleri,Lie alt gruplarına Lie gruplarının bölümleri ve eşçekirdekleri , çekirdekleri,Lie cebirlerinin bölümleri ve eşçekirdekleri, sıralanır.

funktor L bu alınan bu Lie cebrine her Lie grupları ve bu diferansiyele her homomorfizm bağlı ve tamdır. Bu is bununla birlikte bir kategorilerin eşdeğeri değildir: different Lie grupları izomorfik Lie cebirleri olabilir (örneğin SO(3)ve SU(2) ), ve burada (sonsuz boyutlu) bu Lie cebirleri herhangi Lie grupları ile ilişkili değildir.[5]

Bununla birlikte, eğer Lie cebri sonlu-boyutlu ve bu bir basit bağlantılı Lie grubuna bağlantılanabilir Lie cebiri olarak var. Daha kesin bir ifadeyle,Lie cebiri funktor L has bir sol eşlenik funktor Γ Lie gruplarına sonlu-boyutlu (gerçek) Lie cebirinden,Lie grupları basit bağlantılarının tam altkategorileri aracılığı ile bölümleme var.[6] In other words, there is a natural isomorphism of bifunctors

Eklenti ( üzerinde özdeşine karşılık) bir isomorfizmdir ve diğer eklenti H 'ya H 'nın özdeş bileşenlerinin evrensel örtük gruplarından izdüşüm homomorfizmidir. Bu hemen aşağıda bu eğer G , ise Lie cebri funktorü bir örten Lie group homomorfizmleri G→H ve Lie cebiri homomorfizmleri L(G)→L(H) ne karşılık basit bağlantı kurar.

Evrensel örtük grup yukarıda üstel gönderme altında Lie cebirinin görüntüsü olarak inşa edilebilir. daha genel ,elimizde bu Lie cebirine özdeşin bir yakın komşuluğuna homomorfik vardır. fakat küresel olarak şu durumlarda, eğer Lie grubu sıkı ve üstel birebir olamayacak,ve eğer Lie grubu bağlantılı değil, basit bağlantılı veya sıkı, üstel gönderme örten olması gerekmez.

Eğer Lie cebiri sonsuz-boyutlu,ise sorun daha hassastır. Birçok durumda, üstel gönderme hatta yerel bir homoorfizm değildir (örneğin Diff(S1 içinde),bu özdeşe keyfi yakınlıkta bulunabilen tek difeomorfizm üstelin görüntüsü içinde değildir). Ayrıca, bazı sonsuz-boyutlu Lie cebirleri herhangi grupun Lie cebiri değildir.

Lie cebiri ve Lie grupları arasında iletişim birkaç yol içinde kullanılıyor,Lie gruplarının sınıflandırılması içinde yer alır ve Lie gruplarının gösterim teorisinin maddesiyle ilişkilidir.Bağlantı karşılığının bir gösterimine eşsiz yükseltilen bir Lie cebirinin her gösterimi, basit bağlantılı Lie grupları, ve Lie cebiri gruplarının herhangi bir Lie grubunun tersine her gösterimini uyarır ; gösterim birebir karşılığı içindedir.Bunun için, Lie grupların gösteriminin sorgusu çerçevesinde bir Lie cebirinin gösterimi biliniyor .

sınıflandırmak için,verilen bir Lie cebiri ile herhangi bağlantılı Lie grupları gösterilebilen evrensel örtük mod bir ayrık merkez altgruba izomorfiktir.merkezin ayrık altgrubu sayımının basit bir maddesi alınarak Lie grupları böylece sınıflandırılıyor, Lie cebirinin ilk kez sınıflandırması biliniyor(Cartan ve diğerleri tarafından yarıbasit durumu içinde çözüldü).

Kategori-teoretik tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir Lie cebri kategori teori dili kullanılarak Veck içinde bir A nesnesi olarak,karakteristigi 2 olmayan,bir k alan üzerinde vektör uzaylarinin kategorisi bir morfizm [.,.]: AAA ile birlikte tanimlanabilir, burada ⊗ isareti Veck nin monoidal çarpimidir. böylece;

burada τ (ab) := ba ve σ (id ⊗ τA,A) ° (τA,A ⊗ id) örgüsü dönel permütasyondur ve diyagram formu:

Liealgebra.png

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Humpfreys p. 1
  2. ^ Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.
  3. ^ Jacobson 1962, pg. 28
  4. ^ Humphreys p.2
  5. ^ Beltita 2005, pg. 75
  6. ^ Adjoint property is discussed in more general context in Hofman & Morris (2007) (e.g., page 130) but is a straightforward consequence of, e.g., Bourbaki (1989) Theorem 1 of page 305 and Theorem 3 of page 310.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M. & Núñez, Juan. A new method for classifying complex filiform Lie algebras, Applied Mathematics and Computation, 121 (2-3): 169–175, 2001
  • Bourbaki, Nicolas. "Lie Groups and Lie Algebras - Chapters 1-3", Springer, 1989, ISBN 3-540-64242-0
  • Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
  • Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
  • Hofman, Karl & Morris, Sidney. "The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups", European Mathematical Society, 2007, ISBN 978-3-03719-032-6
  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
  • Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
  • Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, math.mit.edu
  • O'Connor, J.J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
  • O'Connor, J.J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing, MacTutor History of Mathematics Archive, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
  • Serre, Jean-Pierre. "Lie Algebras and Lie Groups", 2nd edition, Springer, 2006. ISBN 3-540-55008-9
  • Steeb, W.-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra, second edition, World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-809-0
  • Varadarajan, V.S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9