Türev

Başlığın diğer anlamları için Türev (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Türev, diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için de genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Birinci tanımı(h türev)

Türevin sezgisel bir fikrini veren bir animasyon, çünkü argüman değiştiğinde bir işlevin "salınımı" değişir.

Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{a+h-a}}$ =

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

thumb

limiti olarak tanımlanır. Bu limit eğer var ise, yani bir gerçel sayı ise, f fonksiyonu anoktasında türevlenebilirdir denir. Limitin sonsuz olması veya var olmaması durumunda, f ye a noktasında türevlenemez denir. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir. Limiti alınan oran, yani ${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ oranı, Newtonsal oran olarak adlandırılır.

Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y = f(a) eğrisine (a, f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır. Burada :${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.

$a$ noktasında türevlenebilen bir fonksiyon, $a$ civarında sürekli olmak zorundadır. Fakat bunun tersi doğru değildir. Başka bir ifadeyle, $a$ civarında sürekli olan fakat türevlenemeyen fonksiyon bulmak mümkündür. Örnek olarak, Weierstrass fonksiyonu gerçel sayılar kümesinin her noktasında sürekli olmasına karşın hiçbir noktasında türevlenebilir değildir.

Yukarıdaki limit a civarında doğrudur. Başka bir deyişle, h sayısı 0 civarında 0 a yaklaştıkça, a+h sayısı a civarında a ya yaklaşır. Bu sebepten dolayı, eğer uç noktalarda türev alınacaksa, limit sembolü soldan limit veya sağdan limit olarak yazılmalıdır. Analiz kitapları, genellikle, sürekli fonksiyonları kapalı aralıklarda türevlenebilir fonksiyonları ise açık aralıklarda tanımladıklarından, sol ve sağ limit tanımlamazlar.

İkinci tanımı(q türev)

Türevin birinci tanımını örnekleyerek bir ikinci tanım daha yapabiliriz.

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ ifadesinin mantığında {h} sonsuz küçüğünü ekleme işlemi yapılmıştır, oysaki tanımı genelleştirebilmek mümkündür; şöyle ki sonsuz küçük artırımı yerine sonsuz küçük katının artırımı da yapılabilir.

Bir f(x) fonksiyonunu q türevi

$\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}$

sıklıkla $D_{q}f(x)$ şeklinde yazılır, q-türev Jackson türevi olarak bilinir.

$\lim _{h\rightarrow 1}{\frac {f(a\,h)-f(a)}{a\,h-a}}$

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$= $\lim _{h\rightarrow 1}{\frac {f(a\,h)-f(a)}{a\,h-a}}$

ayrıca;

${\frac {df(a)}{da}}=f'(a)$= $\lim _{h\rightarrow 1}{\frac {f(a\,h)-f(a)}{a\,(h-1)}}$ elde edilebilir.

Yönlü türev

Ana madde: Yönlü türev

Eğer f bir Rⁿ üzerinde gerçek-değerli fonksiyon ise koordinat eksenlerinin yönü içinde f in kısmi türevi içinde çeşitli ölçmeler ise; Örneğin, eğer f bir x ve y fonksiyonunun, x yönü ve y yönü içinde f 'in kısmi türevinde çeşitli ölçmeler ise, buna yönlü türev denir.

Bununla birlikte köşegen çizgi y = x boyunca gibi herhangi diğer yön içinde f in yönlü ölçü çeşitleri yoktur .

Burada yönlü türev ölçüsü kullanılıyor. Bir vektör seçelim:

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

vnin yönü içinde fin yönlü türev inin x noktasında sınırıdır

$\mathrm {D} _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

Bazı durumlarda, bu vektörün uzunluğunu değiştirme sonrası yön türevi hesaplamak veya tahmin etmek daha kolay olabilir. Genellikle bu bir birim vektör yönünde bir yönde türevinin hesaplanması içinde sorunu açmak için yapılır. Bunun nasıl çalıştığını görmek için, bunu v = λu varsayalım.h = k/λ fark katsayısı içinde yerine konur.Aradaki fark katsayısı:

${\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.$

Bu u sırasıyla fin yönlü türevi için λ zaman içinde farklı katsayısıdır. Dahası, sıfıra yönelen k olarak alınan limit olarak aynı h ve k için herhangi diğerinin çarpımıdır. Bunun için D_v(f) = λD_u(f). Bu nedenle yeniden ölçeklendirme özelliği, yönlü türevler sık sık sadece birim vektörler için kabul edilir.

Eğer f'in tüm kısmi türevleri var ve xda sürekli ve formülü ile v yönü içinde f içinde belirlenen yönlü türev ise:

$\mathrm {D} _{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$

Bu toplam türevin tanımının bir sonucudur. Bu yönlü türev aşağıda v içinde doğrusaldır, bunun anlamı

D_{v + w}(f) = D_v(f) + D_w(f).

Aynı tanım ayrıca f olduğunda R^m içindeki değerleri ile bir fonksiyondur. Yukardaki tanım, vektörlerin her bir bileşeni için uygulanır. Bu durum içinde, yönlü türev R^m içinde bir vektördür.

Kesirli türev

fonksiyon $f(x)=x$(mavi eğri) için yarı türev (mor eğri) ve birinci türev (kırmızı eğri).

$f(x)$ tek terimli olduğunu varsayalım

$f(x)=x^{k}\;.$

Burada kullanılan türev

$f'(x)={d \over dx}f(x)=kx^{k-1}\;.$

tekrarlanarak şu sonuca ulaşılır:

${d^{a} \over dx^{a}}x^{k}={k! \over (k-a)!}x^{k-a}\;,$

faktöriyel yerine Gama fonksiyonu'nu alalım

${d^{a} \over dx^{a}}x^{k}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (k-a+1)}x^{k-a}\;.$

x'in yarı türevi

${d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}x={\Gamma (1+1) \over \Gamma (1-{1 \over 2}+1)}x^{1-{1 \over 2}}={\Gamma (2) \over \Gamma ({3 \over 2})}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}\;={\frac {2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt {\pi }}}.$

Bu durumu tekrarlarsak

${d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2}}{2\pi ^{-{1 \over 2}}}x^{1 \over 2}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma (1+{1 \over 2}) \over \Gamma ({1 \over 2}-{1 \over 2}+1)}x^{{1 \over 2}-{1 \over 2}}={2\pi ^{-{1 \over 2}}}{\Gamma ({3 \over 2}) \over \Gamma (1)}x^{0}={1 \over \Gamma (1)}=1\;,$

Gerçekten burada beklenen sonuç aynıdır.

$\left({\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}{\frac {d^{1/2}}{dx^{1/2}}}\right)x={d \over dx}x=1\,$

Buradaki türev alma işlemi sadece gerçel sayılarla sınırlı değildir örneğin, (1+i)inci türev, (1-i)inci türev iki türevlidir.Ancak negatif değerler için alınan a integrali verir.

Laplace dönüşümü

laplace transformlarını da alabiliriz Laplace dönüşümünün ifadesi

${\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)$

ve

${\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}({\mathcal {L}}\left\{Jf\right\})(s)={\frac {1}{s^{2}}}({\mathcal {L}}\left\{f\right\})(s)$

vb., bizim beklentimiz

$J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }({\mathcal {L}}\{f\})(s)\right\}$.

örneğin

${\begin{array}{lcr}J^{\alpha }\left(t^{k}\right)&=&{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\dfrac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}\\&=&{\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}\end{array}}$

beklenti doğrudur. gerçekten, verilen konvolüsyon kök ${\mathcal {L}}\{f*g\}=({\mathcal {L}}\{f\})({\mathcal {L}}\{g\})$ (ve kısaca $p(x)=x^{\alpha -1}$ doğrulama için) bulunur

${\begin{array}{rcl}(J^{\alpha }f)(t)&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left({\mathcal {L}}\{p\}\right)({\mathcal {L}}\{f\})\right\}\\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&=&{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{array}}$

Cauchy serisini verir. Laplace transformu bazı fonksiyonların kullanılabilmesi ile ilişkilidir. Sıklıkla kesirli diferansiyel denklemler çözümünde kullanılır

Kısmi Türev

Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin, sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Kısmi türevin tanımı

$z:{{\mathbb {R} }^{n}}\times {{\mathbb {R} }^{n}}\to \mathbb {R}$

$z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})$

biçiminde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki $\Delta {{x}_{m}}$ değişimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

${\frac {\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}}={\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}}$

$\Delta {{x}_{m}}=h$

${\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}}$

ifadesine $z$ fonksiyonunun ${{x}_{m}}$ değişkenine göre kısmi türevi denir.

${\frac {\partial f}{\partial {{x}_{m}}}}={{f}_{{x}_{m}}}={{D}_{{x}_{m}}}f={\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={{z}_{{x}_{m}}}$

şeklinde gösterilir.

$z=f\left(x,y\right)$ ise;

${{f}_{x}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}$

${{f}_{y}}\left(x,y\right)={\underset {k\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x,y+k\right)-f\left(x,y\right)}{k}}$

Örnek:

${\begin{aligned}&f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}{y}-{{y}^{3}}\\&{{f}_{x}}={{\left({{x}^{3}}\right)}_{x}}+{{\left({{x}^{2}}y\right)}_{x}}-{{\left({{y}^{3}}\right)}_{x}}\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy\\\end{aligned}}$

Ayrıca, q türev 'in tanımına uygun olarak Kısmi türev içinde kesirli kısmi türev tanımı yapılabilir.

Türev Alma

Fonksiyonlar en genel biçimde cebirsel, trigonometrik üstel veya logaritmik olarak üçe ayrılırlar. Bu ayrımın kombinasyonları da olabilir. Her üç genel biçimin türev alma biçimleri farklılık gösterir. Ama türevin tanımının mantığı değişmez yani; Türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f' sembolüyle gösterilir. Ayrıca

${\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)$

formülü f ın türevlenebildiği her $x$ de bu durumu ifade etmek için kullanılır. Burada f' bir fonksiyon olduğundan, f' ın tanım kümesi f ın türevlenebildiği noktaların kümesidir.

Örnekler

Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri

Cebirsel

• Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için $f(x)=x^{n}$ fonksiyonu,

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

Bu eşitlik Binom Teoremi'nin bir sonucudur. (Bu formül yalnızca reel sayılarda kullanılır! )

Trigonometrik

• sin(x) ve cos(x) trigonometrik fonksiyonları,

${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)$

${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)$

Üstel veya logaritmik

• $e^{x}$ üstel fonksiyonu,

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

• $x^{x}$ logaritmik fonksiyonu,

$y=x^{x}$

$y'=x^{x}.(lnx+1)$

Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar

• Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {|0+h|-|0|}{h}}$

limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

• ${\sqrt[{3}]{x}}$ fonksiyonu da 0'da türevli olmayıp da başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt[{3}]{0+h}}-{\sqrt[{3}]{0}}}{h}}$

limitinin $\infty$, yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, ${\sqrt[{3}]{x}}$ fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.

Temel Teoremler

Çok karmaşık görünümlü fonksiyonların da türevlerini almamızı kolaylaştıracak teknikler (teoremler) mevcuttur.

• (f ± g)'(a) = f'(a) ± g'(a),
• (f × g)'(a) = f'(a) × g(a) + g'(a) × f(a) (Çarpım Kuralı olarak bilinir),
• (f o g)'(a) = f'(g(a)) × g'(a) ( Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı olarak bilinir).
• (f / g)'(a) = [f'(a) × g(a) - g'(a) × f(a)] / g²(a) (Fark Kuralı),

Daha fazla bilgi için Türev alma kuralları maddesine bakınız.

Genellemeler

• Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f' , f fonksiyonunun türeviyse ve de f", f' fonksiyonunun türeviyse o zaman f" fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.
• Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f Karmaşık Sayılar veya p-sel Sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (mesela gene karmaşık sayılar kümesi olabilir) alıyor olabilir.
• Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür, ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu Kısmi Türev makalesinde bulunabilir.

Türevin uygulamaları

• f fonksiyonunun a noktasında türevi, f'nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.
• Hesabın temel teoremi'ne göre türev almakla integral almak, birbirlerinin tersi olan iki operasyondur.
• Taylor açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların değerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.
• Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumuşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin diferansiyel denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.
• Matematiğin diferansiyel geometri ve diferansiyel topoloji alanları öncelikle türevlenebilir fonksiyonlar aracılığıyla tarif edilebilen geometrik yapılarla ilgilenirler.

Çarpım ve Bölüm Fonksiyonlarının Türevi

• Çarpım Fonksiyonunun Türevi

$y=f(x).g(x)\!$ olsun

$y'=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!$'dir

İspat:

$y=f(x).g(x)\!$

$lny=ln[f(x).g(x)]\!$

$lny=lnf(x)+lng(x)\!$

$dlny=d[lnf(x)+lng(x)]\!$

$dlny=dlnf(x)+dlng(x)\!$

${\frac {dy}{y}}={\frac {df(x)}{f(x)}}+{\frac {dg(x)}{g(x)}}\!$

${\frac {dy}{y}}={\frac {f(x)'dx}{f(x)}}+{\frac {g(x)'dx}{g(x)}}\!$

${\frac {dy}{y}}={\frac {f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}}\!$

${\frac {dy}{f(x).g(x)}}={\frac {f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}}\!$

$dy=f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx\!$

$dy=dx[f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)]\!$

${\frac {dy}{dx}}=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!$

$y'=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!$

• Bölüm Fonksiyonunun Türevi

$y={\frac {f(x)}{g(x)}}\!$ olsun

$y'={\frac {f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^{2}}}\!$'dir

İspat:

$y={\frac {f(x)}{g(x)}}\!$

$lny=ln{\frac {f(x)}{g(x)}}\!$

$lny=lnf(x)-lng(x)\!$

$dlny=d[lnf(x)-lng(x)]\!$

$dlny=dlnf(x)-dlng(x)\!$

${\frac {dy}{y}}={\frac {df(x)}{f(x)}}-{\frac {dg(x)}{g(x)}}\!$

${\frac {dy}{y}}={\frac {f(x)'dx}{f(x)}}-{\frac {g(x)'dx}{g(x)}}\!$

${\frac {dy}{y}}={\frac {f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}}\!$

${\frac {dy}{\frac {f(x)}{g(x)}}}={\frac {f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}}\!$

$dy={\frac {[f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx]}{f(x).g(x)}}.{\frac {f(x)}{g(x)}}\!$

$dy={\frac {f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{g(x)^{2}}}\!$

$dy={\frac {dx[f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)]}{g(x)^{2}}}\!$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^{2}}}\!$

$y'={\frac {f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^{2}}}\!$