Trigonometrik fonksiyonlar

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Trigonometrik işlevlerin birim çember üzerinde gösterilmesi
Trigonometrik fonksiyonlar: Sinüs, Kosinüs, Tanjant, Kotanjant, Sekant, Kosekant
ve işlevlerinin kartezyen uzayında grafiksel gösterimi

Trigonometrik fonksiyonlar, matematikte bir açının işlevi olarak geçen fonksiyonlardır. Geometride üçgenleri incelerken ve periyodik olarak tekrarlanan olayları incelerken sıklıkla kullanılırlar. Genel olarak bir açısı belirli dik üçgenlerde herhangi iki kenarın oranı olarak belirtilirler, ancak birim çemberdeki belirli doğru parçalarının uzunlukları olarak da tanımlanabilirler. Daha çağdaş tanımlarda sonsuz seriler veya belirli bir türevsel denklemin çözümü olarak geçerler.

Temel fonksiyonlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Çağdaş kullanımda, aşağıdaki tabloda da gösterildiği üzere altı tane temel trigonometrik fonksiyon vardır. Özellikle son dördünde, bu bağıntılar bu fonksiyonların tanımları olarak geçer, ama bu fonksiyonlar geometrik veya başka yollardan da tanımlanabilirler, ve bu bağıntılar o yollardan da çıkarılabilir. Bu fonksiyonlar arasındaki birçok bağıntı trigonometrik ifadeler sayfasında görülebilir.

Altı trigonometrik fonksiyonun grafiği, birim çember ve θ = 0.7 radyan açısı için bir doğru verilmiştir. 1, Sec(θ), Csc(θ) olarak etiketlenen noktalar, başlangıç noktasından o noktaya kadar olan doğru parçasının uzunluğunu temsil eder. Sin(θ), Tan(θ), ve 1 , x ekseninden başlayan çizginin yükseklikleridir, Cos(θ), 1, and Cot(θ) ise başlangıçtan başlayarak x ekseni boyunca uzunluklardır.
Fonksiyon Kısaltma İlişki
Sinüs sin
Kosinüs cos
Tanjant tan
Kotanjant cot
Sekant sec
Kosekant csc
(veya cosec)

Sinüs ve Kosinüs fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

1. f(x) = sin(x) işlevi dik üçgen'de karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır. Koordinat Düzleminde "y" ekseni olarak tabir edilir. Bu işlevin tanım aralığı [-1,1] dir. Yani, sinüs fonksiyonunun değeri -1'den küçük 1'den büyük olamaz.

2. f(x) = cos(x) işlevi dik üçgende Komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır. Koordinat düzleminde "x" ekseni olarak tabir edilir. Tanım aralığı f(x) = sinx işleviyle aynıdır.

Sinüs ve Kosinüs işlevleri arasında Pisagor teoreminden çıkarılabilen; bağıntısı vardır.

Tanjant ve Kotanjant işlevleri[değiştir | kaynağı değiştir]

3. f(x) = tanx işlevi dik üçgende Karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır. Koordinat düzleminde Birim çembere "x" ekseninin pozitif tarafında teğet ve x eksenine diktir. Tanım aralığı [-∞,+∞] dır. Ayrıca 'dir.

4. f(x) = cotx işlevi dik üçgende Komşu dik kenarın karşı dik kenara oranıdır. Koordinat düzleminde Birim çembere "y" ekseninin pozitif yönünde teğet ve y eksenine diktir. Tanım aralığı [-∞,+∞] dır.

Tanjant ve Kotanjant işlevleri arasında birim çemberde benzerlik yapılarak veya Pisagor teoreminden bulunabilen bağıntısı vardır.

Trigonometrik fonksiyonların özel değerleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi Trigonometrik fonksiyonların bazı yaygın olarak kullanılan özel değerleri vardır,

Fonksiyon
sin
cos
tan [1]
cot [1]
sec [1]
csc [1]

Diğer trigonometrik fonksiyonlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıda ifade edilenlerle birlikte, daha önce hiç duymamış olabileceğiniz ek trigonometrik fonksiyon aileleri vardır. Bunlar şunları içerir: Versine, Vercosine, Coversine, Covercosine, Exsecant, Excosecant, Haversine, Havercosine, Hacoversine, Hacovercosine.

Bunlar, temel üç trigonometrik fonksiyonun temel kombinasyonları için basit isimler olup özdeşlikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Fonksiyon Kısaltma Özdeşlik
Versinüs versin(θ) 1 – cos(θ)
Verkosinüs vercosin(θ) 1 + cos(θ)
Koversinüs coversin(θ) 1 – sin(θ)
Koverkosinüs covercosin(θ) 1 + sin(θ)
Ekssekant exsec(θ) sec(θ) – 1
Ekskosekant excsc(θ) csc(θ) – 1
Haversinüs haversin(θ) versin(θ)/2
Haverkosinüs havercosin(θ) vercosin(θ)/2
Hakoversinüs hacoversin(θ) coversin(θ)/2
Hakoverkosinüs hacovercosin(θ) covercosin(θ)/2

Birim çemberde tanımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu altı trigonometrik fonksiyon birim çember'de tanımlanabilir, yarıçapı bir birim olan çemberdir. Birim çember tanımı pratik hesaplamada çok yararlar sağlar; aslında çoğu açıları için dik üçgeni kullanabiliriz. Açılar 0 ve π/2 radyan'la sınırlı değildir. Birim çember bütün pozitif ve negatif açıların trigonometrik değerlerini tanımlar

Ayrıca tek bir görsel resim Aynı anda tüm önemli üçgenlerin içinde saklanmasını sağlar. Pisagor teoremi'nden yararlanılarak birim çemberde şu denklemi kurabiliriz:

Bu resim bazı yaygın açıları, negatif ve pozitif yöndeki ölçüleri, radyan ölçülerini içerir, x-ekseninin pozitif yarısının orijinden çizilen doğru ile yaptığı açı θ’dır, bu birim çemberle kesişir. x- ve y-koordinatlarının bu kesim noktası ile kesiştiği nokta sırasıyla cos θ ve sin θ, değerlerine eşittir. Hipotenüs burada 1'e eşittir. böylece sin θ = y/1 ve cos θ = x/1 olacaktır

Bu değerlerin, kolay biçimde hafızaya alındığını aklınızda bulundurunuz

15°, 18º, 36º, 54°, 72º ve 75° için elde edilen değerleri aşağıdadır.

3º, 6º, 9º, 81º, 84º, ve 87º için değerleri analitik olarak hesaplanabilir.

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları Kartezyen düzlemde grafikle gösterilebilir.

2π ve daha büyük açılar için az-2π ve daha küçük açılar için çember etrafında sadece bir daire etrafında dönmeye devam ederler

sin ve cos periyodik fonksiyon ve periodu 2π'dir

herhangi bir açı θ ve herhangi bir tam sayı  k 'dır.

Seri tanımları[değiştir | kaynağı değiştir]

Sinüs fonksiyonu (mavi), orijini merkez alan tam bir döngü için 7. derecedeki (pembe) Taylor polinomu ile oldukça yakınsanır.

Trigonometrik fonksiyonların Taylor serisi'ne açılımları aşağıdaki gibidir. bütün x:[2] gerçek sayılar için

Bu iki serinin şu toplamı Euler formülü'nü verir: cos x + i sin x = eix. Diğer serilerde bulunabilir.[3] Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonlar için:

Un ninci üst/alt sayı'dır,
Bn ninci Bernoulli sayısı'dır, ve
En (aşağıda) ninci Euler sayısı'dır.

Tanjant

Eğer seri tanjant fonksiyonu ilgili faktöriyelleri ile ifade edilecekse, kombinatorik yorumlamada, kardinal tek sayıların sonlu sayıda permütasyon alternatifleri vardır bunlar "tanjant sayıları" olarak adlandırılır.[4]

Kosekant

Secant

Eğer seri sekant fonksiyonu ilgili faktöriyelleri ile ifade edilecekse, kombinatorik yorumlamada, kardinal tek sayıların sonlu sayıda permütasyon alternatifleri vardır bunlar "sekant sayıları" olarak adlandırılır.[4]

Kotanjant

kotanjant fonksiyonu ve ters fonksiyonlar için:[5]

Bu eşitlik Herglotz hilesi ile ispat edilir.[6] -inci ve -inci terimleri birleştirilerek mutlak yakınsak seri:

Üstel fonksiyonlar ve karmaşık sayılarla ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Euler formülünün üç boyutlu helisle gösterimi, birim çemberin 2-D ortogonal parçası ile başlıyor, ve ( yerine ).

Bu eşitlik Euler formülüdür. Karmaşık analizin geometrik yorumlanmasının esasını oluşturur. Örnek olarak Karmaşık düzlem'de birim çemberin e ix, parametrizasyonu gibi. Buradaki paramatreler cos ve sin'dir. Euler formülü ile aşağıdaki sin ve cos trigonometrik eşitlikler yazılabilir:

Dahası, trigonometrik fonksiyonların bu karmaşık argümanları için z tanımını sağlar:

burada i 2 = −1. sin ve cos tam fonksiyon'dur. Ayrıca, x saf gerçeldir,

Ayrıca argümanları gerçek ve sanal kısımları bakımından karmaşık sinüs ve kosinüs fonksiyonları ifade etmek bazen yararlıdır.

Bu (sin, cos) fonksiyonlarından yararlanılarak hiperbolik gerçek (sinh, cosh) karşılıkları bulunabilir.

Karmaşık grafik[değiştir | kaynağı değiştir]

Aralık değerinin parlaklığın büyüklüğü (mutlak değeri) gösterir. Parlaklığı siyah olan değer sıfırdır. Renk tonu pozitif reel eksenle ölçülen, argüman veya açı ile değişir.

Karmaşık işlevler için renk haritası. Ölçek sinh kullanılarak yapılır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b c d Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, p.74
  2. ^ See Ahlfors, pages 43–44.
  3. ^ Abramowitz; Weisstein.
  4. ^ a b Stanley, Enumerative Combinatorics, Vol I., page 149
  5. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2000). Proofs from THE BOOK. Second. Springer-Verlag. s. 149. ISBN 978-3-642-00855-9. 20 Şubat 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Haziran 2012. 
  6. ^ Remmert, Reinhold (1991). Theory of complex functions. Springer. s. 327. ISBN 0-387-97195-5. 18 Ocak 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Haziran 2012. , Extract of page 327 7 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Vikikitap
Vikikitapta bu konu hakkında daha fazla bilgi var: