Bölme kuralı

Kalkülüs konuları
Temel Temel Teori Fonksiyonların limiti Süreklilik Vektör hesabı Orta değer teoremi
Türevleme Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital kuralı
İntegral alma İntegral tablosu Düzensiz integral İntegral Alma Yöntemleri: Parçalama Disk Silindirik kabuk Yerdeğiştirme Trigonometrik yerdeğiştirme
Çok değişkenli Matris Tensör Kısmi türev Çokkatlı integral Çizgi integrali Yüzey integrali Hacim integrali Jacobian Hessian Gradyan

Bölme kuralı, yüksek matematikte diğer iki işlevin bölümü şeklinde olan bir işlev in türevinin hesaplanmasında kullanılır.

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

İspat

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,

${\begin{alignedat}{4}{\frac {d}{dx}}(fg^{-1})&=f'g^{-1}+f(g^{-1})'\\&=f'g^{-1}+f(-1)g^{-2}g'\\&={\frac {g^{2}}{g^{2}}}\left(f'g^{-1}-fg^{-2}g'\right)\\&={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\\\end{alignedat}}$

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus $(g^{-1})'\,$ türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

Örnekler

$(4x-2)/(x^{2}+1)$ ifadesinin türevi:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}$

Yukardaki örnekte

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^{2}+1$

olarak seçmiştik. Benzer bir şekilde (x ≠ 0 iken) sin(x)/x² ifadesinin türevi aynı yöntemi kullanarak:

${\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}$

olarak bulunur.