Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.
Herhangi bir için, eğer ise, o zaman olur.
olsun. O zaman, türevin tanımından yola çıkarak
elde edilir.
ve iki fonksiyon, ve iki gerçel sayı olsun. O zaman, fonksiyonunun 'e göre türevi
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
Türevin doğrusallığı şu özel halleri de verir:
ve iki fonksiyon olsun. O zaman, fonksiyonunun 'e göre türevi
şeklinde olmalıdır. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
fonksiyonunun türevi şu şekilde verilir:
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
ve genelde şu şekilde kısaltılır:
Eğer f fonksiyonunun ters fonksiyonu g ise; yani, ve ise
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
ise her için
Eğer ise o zaman 'tir ve olur.
Kuvvet kuralını toplama ve sabit terimle çarpma kuralı ile birleştirerek polinomların türevi hesaplanabilir.
Eğer bir fonksiyon, başka bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi ise; yani, ile tanımlanmışşsa ve f sıfır değeri almıyorsa
- (f nin 0 olmadığı her yerde)
olur. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
Çarpmaya göre tersin türevi böle kuralından ya da kuvvet luralı ve zincir kuralının peşpeşe kullanılmasında elde edilebilir.
f ve g iki fonksiyon olsun. O zaman, g nin 0 olmadığı her yerde
olur. Bu kural, çarpma kuralı ve çarpmaya göre tersin türevi beraber kullanılarak gösterilebilir.
Kuvvet kuralı daha genel hale de uygulanabilir.
Eğer ise, o zaman a 0 olmadığı ve x pozitif olduğu müddetçe,
olur. Bunun daha genel hali için f ve g iki fonksiyon olsun. O zaman,
Bu halde, çarpmaya göre tersin türevi alınarak bulunabilir.
, fonksiyonun 'e göre türevinin alındığını gösterir.
Eğer olursa , o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.
Eğer olursa , o zaman karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.
-
Logaritmik türev bir fonksiyonun logaritmasının türevini ifade etmenin bir başka yoludur
- (f pozitif olduğu müddetçe).
Logaritma ile türev alma özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılır. Logaritma ile türev alınırken ilk önce fonksiyon yazılır ve fonksiyonun doğal logaritması alınır. Sonra da iki tarafında türevi alınır. Son olarakta fonksiyonun türevi izole edilir. Örnek olarak fonksiyonunun logaritma ile türevini alalım:
Türevin çarpma kuralını özel bir durumda, yani ve iken elde etmiş olduk.
Trigonometrik fonksiyonların türevi, temel prensipler kullanılarak, yani eğrinin eğimini veren cebirsel bir ifade bulunarak elde edilir:[1]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yukarıdaki ters fonksiyonların bazıları için tanımları gereği şart koymak gerektir.
Burada, ters sekant fonksiyonun görüntü kümesi ve ters kosekant fonksiyonunun görüntğ kümesi olarak değerlendirilmiştir. Ayrıca, ter tanjant fonksiyonu da bazen olarak gösterilebilir. Görüntü kümesi ve hangi kuadrantta yer aldığını yansıtır. Birinci ve dördüncü kuadrantta (yani iken ) olur. O zaman kısmi türevler
halinde hesaplanır.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BU türevlerin üzerindeki sınırlandırmaları görmek için Hiperbolik fonksiyonlar'a bakınız.
- Gama fonksiyonu
- Burada, digama fonksiyonudur.
- Riemann zeta fonksiyonu
Diyelim ki
biçiminde verilen bir fonksiyonun xe göre türevini almak istiyoruz. Diyelim ki şu koşullar sağlanıyor:
- düzleminin koşullarını da sağlayacak belli bir bölgesinde ve fonksiyonları hem hem de değişkeninde sürekliler
- ve fonksiyonlarının için hem kendileri hem de türevleri sürekli.
O zaman, için
Bu formüle Leibniz integral kuralı denir ve Kalkülüsün temel teoremi ile çıkarılabilir.
Eğer n pozitif tam sayı ise fonksiyonların ninci türevini hesaplamak için bazı kurallar da vardır.
Eğer f ve g, n kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman,
Burada, ve kümesi ise
Diyofant denklemi nin negatif olmayan bütün çözümlerinden oluşmaktadır.
Eğer f ve g, n kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman,