Türev , matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel türev alma kuralları ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.
Herhangi bir
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
c
{\displaystyle f(x)=c}
d
f
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=0}
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
lim
h
→
0
(
c
)
−
(
c
)
h
=
lim
h
→
0
0
h
=
lim
h
→
0
0
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}}
elde edilir.
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
gerçel sayı olsun. O zaman,
h
(
x
)
=
a
f
(
x
)
+
b
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=af(x)+bg(x)}
x
{\displaystyle x}
h
′
(
x
)
=
a
f
′
(
x
)
+
b
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=af'(x)+bg'(x).}
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
d
(
a
f
+
b
g
)
d
x
=
a
d
f
d
x
+
b
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}
(
c
f
)
′
=
c
f
′
{\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)'=f'+g'}
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
.
{\displaystyle (f-g)'=f'-g'.}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}
x
{\displaystyle x}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}
şeklinde olmalıdır. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
d
(
f
g
)
d
x
=
g
d
f
d
x
+
f
d
g
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}
h
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle h(x)=f(g(x))}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
g
(
x
)
)
⋅
g
′
(
x
)
.
{\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
d
d
x
h
(
x
)
=
d
d
z
f
(
z
)
|
z
=
g
(
x
)
⋅
d
d
x
g
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}
d
h
(
x
)
d
x
=
d
f
(
g
(
x
)
)
d
g
(
x
)
⋅
d
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}
Eğer f fonksiyonunun ters fonksiyonu g ise; yani,
g
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle g(f(x))=x}
f
(
g
(
y
)
)
=
y
{\displaystyle f(g(y))=y}
g
′
=
1
f
′
∘
g
.
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
d
x
d
y
=
1
d
y
d
x
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}
f
(
x
)
=
x
r
{\displaystyle f(x)=x^{r}}
r
≠
0
,
{\displaystyle r\neq 0,}
f
′
(
x
)
=
r
x
r
−
1
.
{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}
Eğer
r
=
1
{\displaystyle r=1}
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
f
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle f'(x)=1}
çarpma kuralı ile birleştirerek polinomların türevi hesaplanabilir.
Eğer bir fonksiyon, başka bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi ise; yani,
h
(
x
)
=
1
f
(
x
)
{\displaystyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}
f
h
′
(
x
)
=
−
f
′
(
x
)
(
f
(
x
)
)
2
{\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}}
f olur. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
d
(
1
/
f
)
d
x
=
−
1
f
2
d
f
d
x
.
{\displaystyle {\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}
Çarpmaya göre tersin türevi böle kuralından ya da kuvvet luralı ve zincir kuralının peşpeşe kullanılmasında elde edilebilir.
f g g
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}}
olur. Bu kural, çarpma kuralı ve çarpmaya göre tersin türevi beraber kullanılarak gösterilebilir.
Kuvvet kuralı daha genel hale de uygulanabilir.
Eğer
f
(
x
)
=
x
a
{\textstyle f(x)=x^{a}\!}
a x
f
′
(
x
)
=
a
x
a
−
1
{\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}
olur. Bunun daha genel hali için f g
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
,
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
Bu halde, çarpmaya göre tersin türevi
g
(
x
)
=
−
1
{\textstyle g(x)=-1\!}
d
/
d
x
{\displaystyle d/dx}
x
{\displaystyle x}
d
d
x
c
x
=
c
x
ln
c
,
c
>
0
{\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0}
Eğer
c
<
0
{\textstyle c<0}
karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.
d
d
x
e
a
x
=
a
e
a
x
{\displaystyle {d \over dx}e^{ax}=ae^{ax}}
d
d
x
log
c
x
=
1
x
ln
c
,
c
>
0
,
c
≠
1
{\displaystyle {d \over dx}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
Eğer
c
<
0
{\textstyle c<0}
karmaşık sayılar göz önüne alınmalıdır.
d
d
x
ln
x
=
1
x
x
>
0
{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}\qquad x>0}
d
d
x
ln
|
x
|
=
1
x
x
≠
0
{\displaystyle {d \over dx}\ln |x|={1 \over x}\qquad x\neq 0}
d
d
x
x
x
=
x
x
(
1
+
ln
x
)
{\displaystyle {d \over dx}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)}
d
d
x
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
=
g
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
−
1
d
f
d
x
+
f
(
x
)
g
(
x
)
ln
(
f
(
x
)
)
d
g
d
x
,
eğer
f
(
x
)
>
0
ise ve
d
f
d
x
ve
d
g
d
x
varsa.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{ eğer }}f(x)>0{\text{ ise ve}}{\frac {df}{dx}}{\text{ ve }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ varsa.}}}
d
d
x
(
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
(
.
.
.
)
f
n
(
x
)
)
=
[
∑
k
=
1
n
∂
∂
x
k
(
f
1
(
x
1
)
f
2
(
x
2
)
(
.
.
.
)
f
n
(
x
n
)
)
]
|
x
1
=
x
2
=
.
.
.
=
x
n
=
x
,
eğer
f
i
<
n
(
x
)
>
0
ve
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ eğer }}f_{i<n}(x)>0{\text{ ve }}}
d
f
i
d
x
varsa.
{\displaystyle {\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ varsa. }}}
Logaritmik türev bir fonksiyonun logaritmasının türevini ifade etmenin bir başka yoludur
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
f Logaritma ile türev alma özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılır. Logaritma ile türev alınırken ilk önce fonksiyon yazılır ve fonksiyonun doğal logaritması alınır. Sonra da iki tarafında türevi alınır. Son olarak da fonksiyonun türevi izole edilir. Örnek olarak:
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
ln
(
h
(
x
)
)
=
ln
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
ln
(
h
(
x
)
)
=
ln
(
f
(
x
)
)
+
ln
(
g
(
x
)
)
h
′
(
x
)
h
(
x
)
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
+
g
′
(
x
)
g
(
x
)
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=f(x)g(x)\\\ln(h(x))&=\ln(f(x)g(x))\\\ln(h(x))&=\ln(f(x))+\ln(g(x))\\{\frac {h'(x)}{h(x)}}&={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\\h'(x)&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\\end{aligned}}}
Ve türevin çarpma kuralının özel bir durumunda, yani
f
(
x
)
>
0
{\displaystyle f(x)>0}
g
(
x
)
>
0
{\displaystyle g(x)>0}
Trigonometrik fonksiyonların türevi, temel prensipler kullanılarak, yani eğrinin eğimini veren cebirsel bir ifade bulunarak elde edilir:[ 1]
d
d
x
sin
x
=
cos
x
{\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}
d
d
x
arcsin
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
cos
x
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}
d
d
x
arccos
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
tan
x
=
sec
2
x
=
1
cos
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x}
d
d
x
arctan
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
csc
x
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}}
d
d
x
arccsc
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d
d
x
sec
x
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}}
d
d
x
arcsec
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d
d
x
cot
x
=
−
csc
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
1
−
cot
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x}
d
d
x
arccot
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}}
Yukarıdaki ters fonksiyonların bazıları için tanımları gereği şart koymak gerektir.
Burada, ters sekant fonksiyonun görüntü kümesi
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]\!}
kosekant fonksiyonunun görüntü kümesi
[
−
π
2
,
π
2
]
{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}
arctan
(
y
,
x
)
{\displaystyle \arctan(y,x)}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
arctan
(
y
,
x
>
0
)
=
arctan
(
y
/
x
)
{\displaystyle \arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)}
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
y
=
x
x
2
+
y
2
ve
∂
arctan
(
y
,
x
)
∂
x
=
−
y
x
2
+
y
2
{\displaystyle {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad {\text{ve}}\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}}
halinde hesaplanır.
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x}
d
d
x
arsinh
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x}
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
tanh
x
=
sech
2
x
=
1
−
tanh
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x}
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d
d
x
csch
x
=
−
csch
x
coth
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}}
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d
d
x
sech
x
=
−
sech
x
tanh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}}
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d
d
x
coth
x
=
−
csch
2
x
=
1
−
coth
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x}
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
BU türevlerin üzerindeki sınırlandırmaları görmek için Hiperbolik fonksiyonlar 'a bakınız.
Gama fonksiyonu
Γ
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
{\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}
Γ
′
(
x
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
e
−
t
ln
t
d
t
=
Γ
(
x
)
(
∑
n
=
1
∞
(
ln
(
1
+
1
n
)
−
1
x
+
n
)
−
1
x
)
=
Γ
(
x
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}}
Burada,
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
digama fonksiyonudur .Riemann zeta fonksiyonu
ζ
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
x
{\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}
ζ
′
(
x
)
=
−
∑
n
=
1
∞
ln
n
n
x
=
−
ln
2
2
x
−
ln
3
3
x
−
ln
4
4
x
−
⋯
=
−
∑
p
asal
p
−
x
ln
p
(
1
−
p
−
x
)
2
∏
q
asal
,
q
≠
p
1
1
−
q
−
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ asal}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ asal}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}
Diyelim ki
F
(
x
)
=
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
{\displaystyle F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt}
biçiminde verilen bir fonksiyonun x e göre türevini almak istiyoruz. Diyelim ki şu koşullar sağlanıyor:
(
t
,
x
)
{\displaystyle (t,x)}
a
(
x
)
≤
t
≤
b
(
x
)
,
{\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle f(x,t)}
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}}
O zaman,
x
0
≤
x
≤
x
1
{\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}}
F
′
(
x
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
b
′
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
a
′
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyle F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,.}
Bu formüle Leibniz integral kuralı denir ve Kalkülüsün temel teoremi ile çıkarılabilir.
Eğer n pozitif tam sayı ise fonksiyonların n inci türevini hesaplamak için bazı kurallar da vardır.
Eğer f ve g , n kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman,
d
n
d
x
n
[
f
(
g
(
x
)
)
]
=
n
!
∑
{
k
m
}
f
(
r
)
(
g
(
x
)
)
∏
m
=
1
n
1
k
m
!
(
g
(
m
)
(
x
)
)
k
m
.
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}.}
r
=
∑
m
=
1
n
−
1
k
m
{\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}
{
k
m
}
{\displaystyle \{k_{m}\}}
Diyofant denklemi
∑
m
=
1
n
m
k
m
=
n
{\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}
Eğer f ve g , n kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman,
d
n
d
x
n
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
d
n
−
k
d
x
n
−
k
f
(
x
)
d
k
d
x
k
g
(
x
)
.
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).}
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ eğer }}f_{i<n}(x)>0{\text{ ve }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5973cc72a62b9db94bf24053b7964a95ed0ebc0c)
![{\displaystyle [0,\pi ]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb175ba2045ce5c320e0942973d0168dee16551a)
![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c59279ef2fbe83ad98b0094eb6f96e50778f006)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7266c7523dca0d61e13c156ee57b11c3b9db46f3)