Zincir kuralı

Yüksek matematik konuları

Temel Teori Fonksiyonların limiti Süreklilik Vektör hesabı Tensör hesabı Orta değer teoremi

Türevleme

Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital Kuralı

İntegral alma

İntegral tablosu Düzensiz integral İntegral Alma Yöntemleri: Parçalama, Disk, Silindirik kabuk, Yerdeğiştirme, Trigonometrik yerdeğiştirme

Zincir kuralı bir değişkene bağlı bir fonksiyonun değişkeninin başka bir değişkene bağlı olması durumunda türevinin:

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}$ şeklinde yazılabilmesidir [$u=u(x)$$u=u(x)$]. Diğer gösterimleri ise

$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x),\,$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x),\,$ ve

${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))g'(x).$${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))g'(x).$ şeklindedir.

Örnekler

Örnek A

$f(x)=\sin(x^{3})$$f(x)=\sin(x^{3})$ ifadesi $f(x)=h(g(x))$$f(x)=h(g(x))$ olarak yazılabilir. Burada $h(x)=\sin(x)$$h(x)=\sin(x)$ ve $g(x)=x^{3}$$g(x)=x^{3}$ olarak tanımlıdır. Zincir kuralı uygulanırsa f fonksiyonunun türevi:

${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}h(g(x))=h'(g(x))g'(x)$${\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}h(g(x))=h'(g(x))g'(x)$ olarak yazılabilir. Türevler yerine koyulursa

${\frac {df}{dx}}=\cos(x^{3})\cdot 3x^{2}$${\frac {df}{dx}}=\cos(x^{3})\cdot 3x^{2}$ sonucu bulunur.

Örnek B

$f(u)=\ln(u)$$f(u)=\ln(u)$ ve $u=\sin(x)$$u=\sin(x)$ olarak verilsin. f fonksiyonunun x' e göre değişimi zincir kuralı ile

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}={\frac {1}{u}}{\frac {du}{dx}}={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=\cot(x)$${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}={\frac {1}{u}}{\frac {du}{dx}}={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=\cot(x)$ olarak bulunur.