Laplace dönüşümü

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Matematikte, Laplace dönüşümü sınır değer problemi dahil diferansiyel denklemleri çözmekte ve olasılık teorisinde mühendislik alanında zamandan bağımsız doğrusal sistemleri modellemekte kullanılan bir dönüşümdür. Genel anlamda bir fonksiyonun tanım kümesini zamandan frekansa çevirir. Zaman tanım kümesinde çözmesi zor olan differensiyal denklemler frekans tanım kümesinde daha basit cebirsel denklemlere dönüştüğünden diferansiyel denklemleri çözmekte kullanılırlar. Söz konusu yöntem, kolay çözüm avantajına karşın ters Laplace dönüşümünün zorluğu ile dengelenir. Laplace dönüşümünün frekans karakterlerini net bir şekilde göstermesinden dolayı sinyal işlemede kullanılır. İsim babası, bu yöntemi geliştiren Pierre-Simon Laplace'tır.

Verilen bir f(t) fonksiyonunun (tüm t ≥ 0 reel sayıları için tanımlı) Laplace dönüşümü F(s) matematiksel olarak şöyle gösterilir:

Özellikler ve teoremler[değiştir | kaynağı değiştir]

Laplace dönüşümü doğrusal dinamik sistemlerin incelenmesini kolaylaştıran bazı özelliklere sahiptir. En önemli özelliği, türevi ile çarpıma, integrali ile bölmeye dönüştürmesidir. Yani, diferansiyel denklemleri, çözmesi daha kolay olan polinomsal denklemler haline getirir. Denklem çözüldükten sonra ters Laplace dönüşümü ile önceki tanım kümesine dönülür.

Verilen f(t) ve g(t) fonksiyonları ve bunların Laplace dönüşümleri F(s) ve G(s) için

aşağıdaki tablo tek yanlı Laplace dönüşümünün özelliklerinin bir listesidir:[1]

Tek yanlı Laplace dönüşümünün özellikleri
Zaman tanım Frekans tanım Yorum
Doğrusallık İntegralin temel kurallarıyla kanıtlanabilir.
Frekans Türevlemesi
Genel Frekans Türevlemesi Genel olarak
Türevleme İntegralin açık hali yazılıp, bu integralde kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak bulunabilir.
İkinci Türevleme fonksiyonuna Türevleme özelliği uygulanır.
Genel Türevleme İkinci türevle ilgili sonuçtan tümevarımla bulunmuştur.
Frekans Entegrasyonu
Entegrasyon Heaviside adım fonksiyonudur.
Ölçekleme
Frekans öteleme
Zaman öteleme Heaviside adım fonksiyonudur.
Sarılım (Konvülsiyon)
Periyodik Fonksiyon bir periyodik fonksiyon periyot şöyle ki
  • Başlangıç değer teoremi:
  • Son değer teoremi:
, Paydanın kökleri sol taraf düzlemindedir.
son değer teoremi bir fonksiyonun uzun dönem davranışını basit kesirlere ayırma veya diğer zorlu cebir işlemler uygulamaksızın verdiği için yararlıdır. Eğer bir fonksiyonun kökleri sağ taraf düzlemindeyse (örn. or ) bu formülün davranışı tanımsızdır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Korn & Korn 1967, ss. 226–227

Bibliyografya[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd bas.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1