Gama fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Reel eksen boyunca gama fonksiyonu

Gama fonksiyonu Matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.


\Gamma(z) = \int_0^\infty  \, t^{z-1} \, e^{-t} dt
 \Gamma(n) = (n-1)!

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tamsayı olmamalıdır,pozitif tamsayı olmalıdır.

Alıştırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Öncelikle;

 (n+1)n! = (n+1)! eşitliğini ele alalım.
n =0 alırsak;  1.0! = 1!=1 olur.

Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

n =1/2 alırsak;
 (3/2)(1/2)! = (3/2)! olması gerekir. Yani
 (3/2)(1/2)! = (3/2)! (3/2)!/(1/2)! = 3/2 olmalıdır.
 \Gamma(n) = (n-1)! ' olduğundan;
 \Gamma(5/2)(3/2)! 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine
 \Gamma(3/2)(1/2)! işlemine karşılık gelmelidir.
\begin{array}{lll}
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\\end{array}
 \Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2

Bu da

 \Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2 (3/2)!/(1/2)! = 3/2 varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift \Gamma(z) gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z) \qquad \text{(1)}

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

 \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 \qquad\text{(2)}

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = n \, (n-1) \, \Gamma(n-1) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,
Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.

\Gamma(z) genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. ( z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) n/n !).[1]

Alternatif tanımlamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

0 ve negatif tamsayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından


\begin{align}
\Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} 
= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}
\\
\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \\
\end{align}

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,


\begin{align}
\Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n)^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+n+1)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{(n)}{(z+n+1)}\right) \\
&= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{(n)}{(z+n+1)} \\
&= z \; \Gamma(z). \\
\end{align}

değişik bir gösterim...


\Gamma(z+1) = \int_0^\infty  e^{-t^{1/z}}\,dt. \,\!

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

\Gamma(z)=t^z \cdot \sum_{n=0} \frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n}  ,   yakınsaklık için \Re (z) < \frac{1}{2} olmalıdır.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Pi fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonudeniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)  = \int_0^\infty  e^{-t} t^z\,{\rm d}t,

böylece

her negatif olmayan n için.

\Pi(n) = n!,

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

\Pi(z)  \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)}

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

\Pi\left(\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left(\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left(\frac{z-m+1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} m^{-z-\frac{1}{2}} \Pi(z).

ayrıca bazen

\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)},

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) is hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi,sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap r_1,...,r_n ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

V_n(r_1,...,r_n)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Pi(\frac{n}{2})}\prod_{k=1}^{n}r_k

Özel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]


\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

Raabe formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

1840 yılnda Raabe şunu kanıtladı,

\int\limits_a^{a+1}\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi + a\log a - a,\quad a\ge0.
özel olarak, eğer a=0 ise
\int\limits_0^1\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi.

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Şablon:Citizendium
  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
  • Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
  • Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
  • Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
  • Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]