Gama fonksiyonu

Reel eksen boyunca gama fonksiyonu

Gama fonksiyonu Matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

$\Gamma(z) = \int_0^\infty \, t^{z-1} \, e^{-t} dt$

$\Gamma(n) = (n-1)!$

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tamsayı olmamalıdır,pozitif tamsayı olmalıdır.

Alıştırma

Öncelikle;

$(n+1)n! = (n+1)!$ eşitliğini ele alalım.

$n =0$ alırsak; $1.0! = 1!=1$ olur.

Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

$n =1/2$ alırsak;

$(3/2)(1/2)! = (3/2)!$ olması gerekir. Yani

$(3/2)(1/2)! = (3/2)!$→$(3/2)!/(1/2)! = 3/2$ olmalıdır.

$\Gamma(n) = (n-1)!$' olduğundan;

$\Gamma(5/2)$→$(3/2)!$ 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine

$\Gamma(3/2)$→$(1/2)!$ işlemine karşılık gelmelidir.

$\begin{array}{lll} \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\\end{array}$

$\Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2$

Bu da

$\Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2$→$(3/2)!/(1/2)! = 3/2$ varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım

Ana Tanım

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift $\Gamma(z)$ gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt$

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

$\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z) \qquad \text{(1)}$

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

$\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 \qquad\text{(2)}$

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

$\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = n \, (n-1) \, \Gamma(n-1) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,$

The absolute value of the Gamma function on the complex plane.

$\Gamma(z)$ genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. ( z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) ⁿ/n !).

Alternatif tanımlamalar

0 ve negatif tamsayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

$\begin{align} \Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}} \\ \Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \\ \end{align}$

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,

$\begin{align} \Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n)^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+n+1)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{(n)}{(z+n+1)}\right) \\ &= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{(n)}{(z+n+1)} \\ &= z \; \Gamma(z). \\ \end{align}$

değişik bir gösterim...

$\Gamma(z+1) = \int_0^\infty e^{-t^{1/z}}\,dt. \,\!$

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

$\Gamma(z)=t^z \cdot \sum_{n=0} \frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n}$  ,   yakınsaklık için $\Re (z) < \frac{1}{2}$ olmalıdır.

• 

  Mutlak değer

• 

  Gerçel kısım

• 

  Sanal kısım

Özel değerler

$\begin{array}{lll} \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \\ \end{array}$

Bakınız

• Beta fonksiyonu
• Bohr–Mollerup teoremi
• n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
• Digama fonksiyonu
• Elliptik gama fonksiyonu
• Faktöriyel
• Gamma dağılımı
• Gauss sabiti
• Gauss toplamı
• Lanczos yaklaşıklığı
• Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
• Pochhammer k-sembolü
• Poligama fonksiyonu
• Ters Gama fonksiyonu
• Trigama fonksiyonu

Kaynakça

• Şablon:Citizendium
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
• Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
• Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
• W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.

Dış bağlantılar

Wikimedia Commons'ta

Gama fonksiyonu ile ilgili çoklu ortam belgeleri bulunmaktadır.

• Şablon:Dlmf
• Cephes - C and C++ language special functions math library
• Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Gamma function calculator
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
• Şablon:WolframFunctionsSite
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
• Computing the Gamma function - various algorithms
• Online tool to graph functions which contain the Gamma function
• Eric W. Weisstein, Gamma function (MathWorld)
• "Elementary Proofs and Derivations"
• "Transformations, Identities and Special Values"