Asal sayı: Revizyonlar arasındaki fark

Bağlantıları değiştir
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmemiş revizyon][kontrol edilmemiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
Khutuck Bot (mesaj | katkılar)
Botlar
1.115.599 değişiklik
k Bot v3: Kaynak ve içerik düzenleme (hata bildir)
ek çeviri
93. satır: 93. satır:


İlk formülde, herhangi bir doğal <math>n</math> sayısı için belirtilen sayılar asal niteliktedir; ikinci formülde ise, üslerin herhangi bir sayıda oluşu durumunda da sayılar asal özellik gösterirler.{{r|Wright_1951}} Bu bağlamda, <math>\lfloor {}\cdot{} \rfloor</math> sembolü, incelenen sayıya eşit veya bu sayıdan daha az olan en yüksek tam sayıyı ifade eden [[taban fonksiyonunu]] belirtmektedir. Fakat, <math>A</math> veya <math>\mu.</math> değerlerinin hesaplanabilmesi için asal sayıların ilk etapta elde edilmiş olması gerekliliği göz önünde bulundurulduğunda, bu formüllerin asal sayı üretimi açısından pratikte bir yararı bulunmamaktadır.{{r|matiyasevich}}
İlk formülde, herhangi bir doğal <math>n</math> sayısı için belirtilen sayılar asal niteliktedir; ikinci formülde ise, üslerin herhangi bir sayıda oluşu durumunda da sayılar asal özellik gösterirler.{{r|Wright_1951}} Bu bağlamda, <math>\lfloor {}\cdot{} \rfloor</math> sembolü, incelenen sayıya eşit veya bu sayıdan daha az olan en yüksek tam sayıyı ifade eden [[taban fonksiyonunu]] belirtmektedir. Fakat, <math>A</math> veya <math>\mu.</math> değerlerinin hesaplanabilmesi için asal sayıların ilk etapta elde edilmiş olması gerekliliği göz önünde bulundurulduğunda, bu formüllerin asal sayı üretimi açısından pratikte bir yararı bulunmamaktadır.{{r|matiyasevich}}

===Çözüm bekleyen sorular===

Matematik alanında, asal sayılarla ilgili bir dizi varsayım ileri sürülmüştür. Çoğunlukla temel bir ifade şekliyle ortaya konan bu varsayımlar, onlarca yıl süresince ispatlanamamıştır: 1912 yılında ortaya atılan [[Landau problemleri]] başlığı altındaki dört soru günümüze dek çözülememiştir.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PR7 p. vii].</ref> Bu varsayımlardan bir tanesi, 2'den büyük olan her çift tam sayı <math>n</math>'nin, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini öne süren [[Goldbach hipotezi]] ile ilişkilendirilmiştir.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, [https://books.google.com/books?id=EbLzBwAAQBAJ&pg=PA105 C1 Goldbach's conjecture, pp. 105–107].</ref> 2014 itibariyle, söz konusu varsayım, <math>n=4\cdot 10^{18}</math> değerine ulaşan tüm sayılar için teyit edilmiştir.{{r|Silva_2014}} Bu iddiadan daha zayıf önermeler ispatlanmıştır; mesela, [[Vinogradov teoremi]], yeterli büyüklükteki her tek tam sayının, üç asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini belirtmektedir.<ref>{{harvnb|Tao|2009}}, [https://books.google.com/books?id=NxnVAwAAQBAJ&pg=PA239 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247]. See especially p.&nbsp;239.</ref> [[Chen teoremi]], yeterli büyüklükteki herhangi bir çift sayının, bir asal sayı ile bir [[yarı asal]] (iki asal sayının çarpımı) toplamı şeklinde gösterilebileceğini öne sürmektedir.<ref>{{harvnb|Guy|2013}}, p. 159.</ref> Bunun yanı sıra, 10 değerinden büyük olan her çift tam sayı, altı asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir.{{r|Ramare_1995}} Bu tür soruların incelendiği sayı teorisi dalı, [[toplamsal sayı teorisi]] olarak adlandırılmaktadır.{{r|Rassias_2017}}

Ardışık asal sayılar arasındaki farkları ifade eden [[asal boşlukları]] ile ilgili bir başka problem türü bulunmaktadır. Herhangi bir doğal <math>n</math> sayısı için, <math>n!+2, n!+3,\dots, n!+n</math> dizisinin <math>n-1</math> adet bileşik sayı içerdiği göz önüne alındığında, istenilen büyüklükte asal boşlukların mevcudiyeti tespit edilebilir.<ref>{{harvnb|Koshy|2002}}, [https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA109 Theorem 2.14, p. 109]. {{harvnb|Riesel|1994}}, faktöriyel yerine [[asal çarpan]]ın kullanıldığı benzer bir mantıksal çıkarımı sunmaktadır.</ref> Bununla birlikte, büyük asal aralıkların oluşumu, bu argümanın işaret ettiğinden çok daha önce gerçekleşmektedir.<ref name="riesel-gaps"/> Mesela, 8 birimlik ilk asal sayı farkı, 89 ile 97 arasındaki asal sayılar arasında gözlemlenir,<ref>{{Cite OEIS|A100964|name=Smallest prime number that begins a prime gap of at least 2n}}</ref> bu, <math>8!=40320</math> değerinden önemli ölçüde daha düşüktür.
İki asal sayı arasındaki farkın 2 olması durumunda, [[İkiz asallar|ikiz asal]] çiftlerinin sonsuz sayıda var olduğu öne sürülmektedir; bu önerme, 'ikiz asal hipotezi' olarak bilinir. [[Polignac hipotezi]] ise daha geniş bir perspektiften, her pozitif <math>k</math> tam sayı değeri için, ardışık asal sayı çiftlerinin <math>2k</math> farkla ayrıldığı durumların sonsuz sayıda olduğunu ifade etmektedir.<ref name="rib-gaps">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Gaps between primes, pp. 186–192.</ref>

[[Andrica hipotezi]],<ref name="rib-gaps"/> [[Brocard hipotezi]],<ref name="rib-183">{{harvnb|Ribenboim|2004}}, p. 183.</ref> [[Legendre hipotezi]]{{r|chan}} ve [[Oppermann hipotezi]],<ref name="rib-183"/> <math>1</math> ile <math>n</math> arasındaki asal sayılar arasındaki maksimum boşlukların yaklaşık olarak en fazla <math>\sqrt{n}</math> olması gerektiğini ileri sürmektedir; bu çıkarım, Riemann hipotezi çerçevesinde elde edilen bilinen bir sonuçtur. Ancak, daha iddialı olan [[Cramér hipotezi]], en büyük boşluk boyutunu <math>O((\log n)^2)</math> olarak tahmin etmektedir. İki asal sayı arasındaki boşluklar, asal sayıların arasındaki farkların desenlerini ifade eden [[Asal k-ikilisi|asal <math>k</math>-ikililer]] şeklinde genelleştirilebilir. Bu desenlerin sonsuz sayıda varlığı ve yoğunluğu, asal sayıların, asal sayı teoremi ile belirlenen yoğunluğa sahip rastgele bir sayı dizisi gibi davrandığını öneren [[Sezgisel analiz|sezgisel]] temellere dayanan [[ilk Hardy–Littlewood hipotezi]]nin inceleme konusudur.<ref>{{harvnb|Ribenboim|2004}}, Prime <math>k</math>-tuples conjecture, pp. 201–202.</ref>


== 1 sayısı ==
== 1 sayısı ==
521. satır: 530. satır:
|sayfalar=616-618|jstor=2306356
|sayfalar=616-618|jstor=2306356
|doi= 10.2307/2306356}}</ref>
|doi= 10.2307/2306356}}</ref>

<ref name="Silva_2014">{{cite journal
| last1 = Oliveira e Silva
| first1 = Tomás
| last2 = Herzog
| first2 = Siegfried
| last3 = Pardi
| first3 = Silvio
| doi = 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1
| issue = 288
| journal = [[Mathematics of Computation]]
| mr = 3194140
| pages = 2033–2060
| title = Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math>
| volume = 83
| year = 2014
| doi-access = free }}</ref>

<ref name="Ramare_1995">{{cite journal
| last = Ramaré
| first = Olivier
| issue = 4
| journal = Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa
| mr = 1375315
| pages = 645–706
| title = On Šnirel'man's constant
| url = https://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0
| volume = 22
| year = 1995
| access-date = 2018-01-23
| archive-date = 2022-02-09
| archive-url = https://web.archive.org/web/20220209175544/http://www.numdam.org/item/?id=ASNSP_1995_4_22_4_645_0
| url-status = dead }}</ref>

<ref name="Rassias_2017">{{cite book
| last = Rassias
| first = Michael Th.
| doi = 10.1007/978-3-319-57914-6
| isbn = 978-3-319-57912-2
| location = Cham
| mr = 3674356
| page = vii
| publisher = Springer
| title = Goldbach's Problem: Selected Topics
| url = https://books.google.com/books?id=ibwpDwAAQBAJ&pg=PP6
| year = 2017}}</ref>

<ref name="chan">{{cite journal
| last = Chan
| first = Joel
| title = Prime time!
| journal = Math Horizons
| volume = 3
| issue = 3
| date = February 1996
| pages = 23–25
| jstor = 25678057
| doi = 10.1080/10724117.1996.11974965 }}


}}
}}

Sayfanın 17.48, 22 Mart 2024 tarihindeki hâli

İki ile on iki arasındaki noktaların grupları, bileşik sayıların (4, 6, 8, 9, 10 ve 12) dikdörtgen şekillerde düzenlenebildiğini fakat asal sayıların bu düzenlemeye uygun olmadığını gösterir
Bileşik sayılar, dikdörtgen biçimlerine düzenlenebilirken, asal sayıların bu biçimde düzenlenmesi mümkün değildir.

Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım (2 × 2) şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Bir sayının asal oluş özelliği, asallık olarak tanımlanır. Verilen bir sayısının asallığını denetlemek için kullanılan basit fakat zaman alıcı bir yöntem olan asallık testi, sayısının 2 ile arasındaki herhangi bir tam sayıya katı olup olmadığını sınar. Daha hızlı algoritmalar arasında, hızlı olmasına karşın küçük bir hata payı barındıran Miller–Rabin asallık testi ve her zaman polinom zamanında doğru sonucu veren fakat pratikte uygulanabilirliği sınırlı olan AKS asallık testi yer alır. Mersenne sayıları gibi özel biçimlere sahip sayılar için özellikle hızlı yöntemler mevcuttur. (Aralık 2018 (2018-12) itibarıyla), bilinen en büyük asal sayı, 24,862,048 ondalık basamağa sahip bir Mersenne asalıdır.[1]

M.Ö. 300 civarında Öklid tarafından ispatlandığı gibi, asal sayılar sonsuz bir kümedir. Asal sayılar ile bileşik sayıları birbirinden ayıran kesin ve basit bir formül bulunmamaktadır. Bununla birlikte, doğal sayılar arasındaki asal sayıların dağılımı, genel olarak istatistiksel yöntemlerle modellenebilir. Bu bağlamda elde edilen ilk önemli sonuç, 19. yüzyılın sonlarında ispatlanan asal sayı teoremidir; bu teori, büyük bir sayının rastgele seçilmesi durumunda asal olma olasılığının, sayının basamak sayısına, yani logaritmasına ters oranlı olduğunu ifade eder.

Asal sayılara ilişkin tarihsel bazı sorular henüz çözüme kavuşturulmamıştır. Bu sorular içerisinde her 2'den (En küçük asal sayı 2'dir.[2]) büyük çift tam sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ileri süren Goldbach'ın hipotezi ve ikişer rakam aralıkla sınırsız sayıda ikiz asal sayı çiftinin var olduğunu iddia eden ikiz asal hipotezi yer almaktadır. Bu tür sorular, sayıların analitik ve cebirsel boyutları üzerine yoğunlaşan sayı teorisi alanlarının gelişimini hızlandırmıştır. Asal sayılar, bilgi teknolojisi alanında, özellikle de büyük sayıların asal çarpanlara ayrılmasının güçlüğüne dayanan açık anahtarlı kriptografi gibi çeşitli işlemlerde kullanılmaktadır. Soyut cebirde, asal sayılara genelleştirilmiş bir biçimde benzeyen yapılar arasında asal elemanlar ve asal idealler sayılabilir.

Tanım ve örnekler

Bir doğal sayı (1, 2, 3, 4, 5, 6, vb.), 1'den büyük olması ve kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilememesi durumunda asal sayı olarak nitelendirilir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayılar adı verilir.[3] Diğer bir ifadeyle, eğer sayısı, kendinden küçük birden fazla eşit parçaya bölünemez ise,[4] ya da kadar nokta tam bir dikdörtgen olarak şekillendirilemez ise[5], bir asal sayıdır.

Örneğin, 1 ile 6 arasındaki sayılar içinde, 2, 3 ve 5 sayıları asal sayılardır,[6] zira bu sayıları kendinden başka tam bölebilen (kalan bırakmaksızın) başka bir sayı yoktur. 1 sayısı, tanım gereği asal olarak kabul edilmez. 4 = 2 × 2 ve 6 = 2 × 3 her ikisi de bileşik sayı kategorisindedir.

Cuisenaire çubukları kullanılarak yapılan gösterim, 7 sayısının asal olduğunu, çünkü 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarıyla tam olarak bölünemediğini ortaya koyuyor.
Cuisenaire çubukları kullanılarak yapılan gösterim, 7 sayısının asal olduğunu, çünkü 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarıyla tam olarak bölünemediğini ortaya koyuyor

Bir doğal sayı 'in bölenleri, sayısını eşit olarak bölebilen doğal sayılardır. Her doğal sayı, kendisi ve 1 olmak üzere iki temel bölene sahiptir. Eğer bir sayının bu ikisinden başka bir böleni varsa, asal sayı olamaz. Bu durum, asal sayıların alternatif bir tanımını sunar: Yalnızca iki pozitif bölene sahip olan sayılar asal sayılardır. Bu iki bölen, 1 ve sayının kendisidir. Tek bir bölene sahip olan 1 sayısı, bu tanım çerçevesinde asal kabul edilmez.[7] Aynı kavramı başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bir sayı , 1'den büyükse ve sayılarından hiçbiri sayısını eşit bölmezse, o sayı asaldır.[8]

İlk 25 asal sayı (100'den küçük tüm asal sayılar) şunlardır:[9]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (OEIS'de A000040 dizisi).

2'den büyük hiçbir çift sayı asal olamaz çünkü herhangi bir böyle sayı olarak ifade edilebilir. Bu nedenle, 2 dışındaki her asal sayı bir tek sayıdır ve tek asal olarak adlandırılır.[10] Benzer şekilde, alışılagelmiş ondalık sistemde yazıldığında, 5'ten büyük tüm asal sayılar 1, 3, 7 veya 9 ile biter. Diğer rakamlarla biten sayılar hep bileşiktir: 0, 2, 4, 6 veya 8 ile biten ondalık sayılar çifttir ve 0 veya 5 ile biten ondalık sayılar 5'e bölünebilir.[11]

Tüm asalların kümesi bazen (kalın harflerle büyük bir P)[12] veya (tahtaya yazı tipiyle büyük bir P) ile gösterilir.[13]

Tarihçe

Rhind Papirüsü
Rhind Papirüsü

M.Ö. 1550 civarından kalan Rhind Papirüsü, asal ve bileşik sayılar için farklı formdaki Mısır kesri genişlemelerini içerir.[14] Ancak, asal sayıların incelenmesine dair en eski kayıtlar antik Yunan matematikçilerinden gelmektedir, onlar bu sayılara prōtos arithmòs (Grekçe: πρῶτος ἀριθμὸς) demektedirler. Öklid'in Elementleri (M.Ö. 300 civarı) asal sayıların sonsuzluğunu ve aritmetiğin temel teoremini kanıtlar ve bir Mersenne sayısından nasıl bir mükemmel sayı oluşturulacağını gösterir.[15] Başka bir Yunan icadı olan Eratosten kalburu, asal sayı listeleri oluşturmak için hala kullanılmaktadır.[16][17]

Miladi 1000 yıllarında, İslam dönemi matematikçisi İbnü'l-Heysem, asal sayıları, ifadesini tam bölünebilen sayıları olarak tanımlayan Wilson teoremi'ni buldu. Ayrıca, tüm çift mükemmel sayıların Öklid'in Mersenne asallarını kullanarak yapılan inşasından geldiğini öne sürdü ancak bunu kanıtlayamadı.[18] Bir diğer İslam dönemi matematikçisi, Ibn al-Banna' al-Marrakushi, Eratosten kalburunun, üst sınırın kareköküne kadar olan asal bölenleri dikkate alarak hızlandırılabileceğini gözlemledi.[17] Fibonacci, İslami matematikten gelen yenilikleri Avrupa'ya taşıdı. Onun kitabı Liber Abaci (1202), asallığı test etmek için deneme bölmesini tanımlayan ilk eser oldu ve yine kareköküne kadar olan bölenleri kullanmayı önerdi.[17]

1640 senesinde, Pierre de Fermat tarafından ispatı yapılmamış olmasına rağmen ortaya atılan Fermat'nın küçük teoremi, sonradan Leibniz ve Euler tarafından ispatlanmıştır.[19] Fermat, formülüyle ifade edilen Fermat sayılarının asallık özelliklerini araştırmış,[20] Marin Mersenne ise 'nin asal olduğu durumlarda formunda tanımlanan Mersenne asallarını incelemiştir.[21] Goldbach, Euler'e yazdığı 1742 tarihli mektupta, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öneren Goldbach hipotezini dile getirmiştir. Euler, tüm çift mükemmel sayıların Mersenne asalları kullanılarak oluşturulabileceğini gösteren Heysem varsayımını (günümüzde Öklid–Euler teoremi olarak adlandırılır) kanıtlamıştır.[22] Euler ayrıca, asal sayıların sonsuz olduğunu ve asal sayıların terslerinin toplamının diverjansını, , matematiksel analiz metodolojilerini bu alana taşıyarak kanıtlamıştır.[23] 19. yüzyılın başlarında, Legendre ve Gauss, sonsuza yaklaştıkça, 'e kadar olan asal sayıların sayısının, ile asimptotik olduğunu tahmin etmişlerdir, burada , 'in doğal logaritmasıdır. Asal sayıların bu yüksek yoğunluğunun bir zayıf sonucu Bertrand'ın postülatı idir; bu postülat her için, ile arasında bir asal sayı olduğunu öne sürer ve 1852'de Pafnuty Chebyshev tarafından kanıtlanmıştır.[24] Bernhard Riemann'ın 1859 tarihli zeta-fonksiyonu üzerine yazdığı makalesindeki fikirleri, Legendre ve Gauss'un tahminini kanıtlamak için bir çerçeve çizdi. Yakından ilgili olan Riemann hipotezi hala kanıtlanmamış olmasına rağmen, Riemann'ın çizdiği çerçeve 1896'da Hadamard ve de la Vallée Poussin tarafından tamamlandı ve sonuç şimdi asal sayılar teoremi olarak bilinmektedir.[25] 19. yüzyılın başka bir önemli sonucu Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi idi, belirli aritmetik dizilerin sonsuz çoklukta asal sayı içerdiğini belirtir.[26]

Deneme bölmesinin pratikte uygulanabilir olduğu sayılardan daha büyük sayılar için birçok matematikçi asallık testi üzerinde çalışmıştır. Belirli sayı formlarına sınırlı yöntemler arasında Fermat sayıları için Pépin testi (1877),[27] Proth teoremi (yaklaşık 1878),[28] Lucas–Lehmer asallık testi (1856'da ortaya çıktı) ve genelleştirilmiş Lucas asallık testi bulunmaktadır.[17]

Bilgisayarla yapılan asallık testlerinin ve çarpanlara ayırma işleminin artan pratik önemi, kısıtlama olmaksızın büyük sayılarla başa çıkabilen gelişmiş yöntemlerin geliştirilmesine yol açtı.[16][29][30] Asal sayılar teorisinin matematiksel gelişimi, asal sayıların keyfi olarak uzun aritmetik dizilerinin olduğunu belirten Green–Tao teoremi (2004) ve Yitang Zhang'ın 2013'te sınırlı büyüklükte sonsuz çoklukta asal boşluklarının olduğunun kanıtı ile de ileriye taşındı.[31]

1 sayısının asallığı

Antik Yunanlıların çoğu, başlangıçta 1'i bir sayı olarak bile kabul etmemiştir,[32][33] dolayısıyla asallığını tartışmaları mümkün değildi. Nicomachus, Iamblichus, Boethius ve Cassiodorus gibi birkaç Yunan ve sonraki Roma geleneği alimi, asal sayıları tek sayıların bir alt bölümü olarak kabul ettiği için, 2'yi de asal olarak kabul etmemişlerdir. Ancak, Öklid ve diğer birçok Yunan matematikçisi 2'yi asal olarak kabul etmiştir. Ortaçağ İslam matematikçileri genellikle Yunanlıların görüşlerini takip ederek 1'i bir sayı olarak görmemişlerdir.[32] Orta Çağ ve Rönesans boyunca matematikçiler 1'i bir sayı olarak kabul etmeye başlamış ve bazıları onu ilk asal sayı olarak dahil etmiştir.[34] 18. yüzyılın ortalarında Christian Goldbach, Leonhard Euler ile olan yazışmalarında 1'i asal olarak listelemiştir; ancak, Euler kendisi 1'i asal olarak kabul etmemiştir.[35] 19. yüzyılda birçok matematikçi hala 1'i asal olarak kabul etmiş,[36] ve 1'i içeren asal sayı listeleri en son 1956 yılında yayımlanmıştır.[37][38]

Bir sayının asal olarak tanımlanması değiştirilip 1 asal olarak kabul edilseydi, asal sayılarla ilgili birçok ifade daha zor bir şekilde yeniden formüle edilmek zorunda kalırdı. Örneğin, aritmetiğin temel teoremi, her sayının 1'in istenilen sayıda kopyasıyla çeşitli faktörizasyonları olacağı için, 1'den büyük asallara göre faktörizasyonlar açısından yeniden ifade edilmek zorunda kalırdı.[36] Benzer şekilde, Eratosthenes kalburu 1'i bir asal olarak ele alırsa doğru çalışmazdı çünkü 1'in tüm katlarını (yani, tüm diğer sayıları) elemek ve sadece 1 sayısını çıkarmak zorunda kalırdı.[38] Asal sayıların bazı diğer daha teknik özellikleri de 1 numarası için geçerli değildir: örneğin, Euler'in totient fonksiyonu veya bölenler toplamı fonksiyonu için formüller asal sayılar için 1 ile farklıdır.[39] 20. yüzyılın başlarında, matematikçiler 1'in asal olarak listelenmemesi, ancak daha çok "birim" olarak kendi özel kategorisinde yer alması gerektiği konusunda anlaşmaya başladılar.[36]

Temel özellikler

Çarpanlama

Ana madde: Aritmetiğin temel teoremi

Bir sayının asal sayıların çarpımı olarak yazılması, o sayının asal çarpanlara ayrılması olarak adlandırılır. Örneğin:

Bu çarpımdaki terimlere asal çarpanlar denir. Aynı asal çarpan birden fazla bulunabilir; bu örnekte asal çarpan iki defa görülmektedir. Bir asal sayı birden fazla kez bulunduğunda, üssel sayılar kullanılarak aynı asal sayı gruplandırılabilir: örneğin, yukarıdaki sonucun ikinci yazım şeklinde, , sayısının karesini veya ikinci kuvvetini gösterir.

Asal sayıların sayılar teorisi ve genel olarak matematiğe merkezi önemi, aritmetiğin temel teoreminden kaynaklanmaktadır.[40] Bu teorem, 1'den büyük her tam sayının bir veya daha fazla asal sayının çarpımı olarak yazılabileceğini belirtir. Daha da önemlisi, bu çarpım özeldir; yani, aynı sayının her iki asal çarpanlarının çarpımı, çarpanların sıralaması farklı olsa bile, aynı asal sayıların aynı sayıda kopyasını içerecektir.[41] Dolayısıyla, bir asal çarpanlarına ayırma algoritması kullanılarak çarpanlara ayırma işlemi yapmanın birçok farklı yolu olmasına rağmen, hepsi aynı sonucu üretmek zorundadır. Bu nedenle, asal sayılar doğal sayıların "temel yapı taşları" olarak kabul edilebilir.[42]

Asal çarpanlara ayrılmanın benzersizliğinin kanıtlarından bazıları, Öklid'in lemmasına dayanır: Eğer bir asal sayıysa ve , ve tam sayılarının çarpımı olan 'yi bölerse, o zaman , ya 'yı ya da 'yi (veya her ikisini de) böler.[43] Aksine, bir sayı , bir çarpımı böldüğünde daima çarpımın en az bir faktörünü bölerse, o zaman asal olmalıdır.[44]

Sonsuzluk

Ana madde: Öklid teoremi

Asal sayıların sayısı sonsuzdur. Diğer bir deyişle, asal sayı dizisi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

asla son bulmaz. Bu tez, antik Yunan matematikçisi Öklid onuruna, "Öklid Teoremi" olarak isimlendirilmiştir çünkü bu tezin bilinen ilk ispatı onun adıyla ilişkilendirilir. Asal sayıların sonsuzluğunu kanıtlayan birçok metod mevcuttur; bunlar arasında, Euler tarafından gerçekleştirilen analitik ispat, Goldbach'ın Fermat sayıları üzerine kurulu ispatı,[45] Furstenberg'in genel topoloji kullanarak sunduğu kanıtı,[46] ve Kummer'in ispatı sayılabilir.[47]

Öklid'in ispatı,[48] herhangi bir sonlu asal sayı listesinin eksik olduğunu gösterir. Ana fikir, verilen listedeki asal sayıların hepsini çarparak eklemektir. Eğer liste asal sayılarından oluşuyorsa, bu

sayısını verir.

Temel teorem gereğince, sayısı,

şeklinde bir veya daha fazla asal çarpan içeren bir asal çarpanlara ayırımına sahiptir. sayısı, bu çarpanlarca tam bölünebilirken, verilen asal sayı listesindeki herhangi bir sayı ile bölündüğünde 1 kalanını verir; bu durum, sayısının asal çarpanlarının verilen liste içinde yer alamayacağını gösterir. Asal sayıların sonlu bir listesinin olmaması gerçeği, asal sayıların sonsuz olduğunu zorunlu kılar.

En küçük asal sayıların çarpımlarına bir eklenerek oluşturulan sayılara Öklid sayısı adı verilir.[49] Bunlardan ilk beşi asal olmakla birlikte, altıncısı,

şeklindedir.

Asal sayı denklemleri

Asal sayıları tespit etmek için bilinen etkin bir yöntem mevcut değildir. Öyle ki, yalnızca asal sayı değerleri üreten, sabit olmayan çok değişkenli bir polinom dahi bulunamamıştır.[50] Bununla birlikte, yalnızca asal sayıları veya tüm asal sayıları temsil edebilen çeşitli ifadeler mevcuttur. Bu ifadelerden biri, Wilson teoremi'ne dayalı olup, 2 sayısının defalarca ve diğer tüm asal sayıların ise sadece bir kez elde edilmesini sağlayan bir formüldür.[51] Dokuz değişken ve bir parametreye sahip Diyofantus denklemlerinden oluşan bir küme de mevcuttur; bu kümenin belirgin bir özelliği şöyledir: Eğer ve ancak eğer bu denklem sistemi doğal sayılar kümesi üzerinde bir çözüme sahipse, ilgili parametre bir asal sayıdır. Bu özellik, tüm pozitif değerleri asal sayı olan bir formülün elde edilmesi amacıyla kullanılabilir.[50]

Mills teoremi ve Wright tarafından öne sürülen bir teoremle ilgili olarak, asal sayılar üreten diğer formüller de mevcuttur. Bu teoremler, ve şeklinde ifade edilen gerçek sabitlerin varlığını öne sürer.

İlk formülde, herhangi bir doğal sayısı için belirtilen sayılar asal niteliktedir; ikinci formülde ise, üslerin herhangi bir sayıda oluşu durumunda da sayılar asal özellik gösterirler.[52] Bu bağlamda, sembolü, incelenen sayıya eşit veya bu sayıdan daha az olan en yüksek tam sayıyı ifade eden taban fonksiyonunu belirtmektedir. Fakat, veya değerlerinin hesaplanabilmesi için asal sayıların ilk etapta elde edilmiş olması gerekliliği göz önünde bulundurulduğunda, bu formüllerin asal sayı üretimi açısından pratikte bir yararı bulunmamaktadır.[50]

Çözüm bekleyen sorular

Matematik alanında, asal sayılarla ilgili bir dizi varsayım ileri sürülmüştür. Çoğunlukla temel bir ifade şekliyle ortaya konan bu varsayımlar, onlarca yıl süresince ispatlanamamıştır: 1912 yılında ortaya atılan Landau problemleri başlığı altındaki dört soru günümüze dek çözülememiştir.[53] Bu varsayımlardan bir tanesi, 2'den büyük olan her çift tam sayı 'nin, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini öne süren Goldbach hipotezi ile ilişkilendirilmiştir.[54] 2014 itibariyle, söz konusu varsayım, değerine ulaşan tüm sayılar için teyit edilmiştir.[55] Bu iddiadan daha zayıf önermeler ispatlanmıştır; mesela, Vinogradov teoremi, yeterli büyüklükteki her tek tam sayının, üç asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebileceğini belirtmektedir.[56] Chen teoremi, yeterli büyüklükteki herhangi bir çift sayının, bir asal sayı ile bir yarı asal (iki asal sayının çarpımı) toplamı şeklinde gösterilebileceğini öne sürmektedir.[57] Bunun yanı sıra, 10 değerinden büyük olan her çift tam sayı, altı asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir.[58] Bu tür soruların incelendiği sayı teorisi dalı, toplamsal sayı teorisi olarak adlandırılmaktadır.[59]

Ardışık asal sayılar arasındaki farkları ifade eden asal boşlukları ile ilgili bir başka problem türü bulunmaktadır. Herhangi bir doğal sayısı için, dizisinin adet bileşik sayı içerdiği göz önüne alındığında, istenilen büyüklükte asal boşlukların mevcudiyeti tespit edilebilir.[60] Bununla birlikte, büyük asal aralıkların oluşumu, bu argümanın işaret ettiğinden çok daha önce gerçekleşmektedir.[61] Mesela, 8 birimlik ilk asal sayı farkı, 89 ile 97 arasındaki asal sayılar arasında gözlemlenir,[62] bu, değerinden önemli ölçüde daha düşüktür. İki asal sayı arasındaki farkın 2 olması durumunda, ikiz asal çiftlerinin sonsuz sayıda var olduğu öne sürülmektedir; bu önerme, 'ikiz asal hipotezi' olarak bilinir. Polignac hipotezi ise daha geniş bir perspektiften, her pozitif tam sayı değeri için, ardışık asal sayı çiftlerinin farkla ayrıldığı durumların sonsuz sayıda olduğunu ifade etmektedir.[63]

Andrica hipotezi,[63] Brocard hipotezi,[64] Legendre hipotezi[65] ve Oppermann hipotezi,[64] ile arasındaki asal sayılar arasındaki maksimum boşlukların yaklaşık olarak en fazla olması gerektiğini ileri sürmektedir; bu çıkarım, Riemann hipotezi çerçevesinde elde edilen bilinen bir sonuçtur. Ancak, daha iddialı olan Cramér hipotezi, en büyük boşluk boyutunu olarak tahmin etmektedir. İki asal sayı arasındaki boşluklar, asal sayıların arasındaki farkların desenlerini ifade eden asal -ikililer şeklinde genelleştirilebilir. Bu desenlerin sonsuz sayıda varlığı ve yoğunluğu, asal sayıların, asal sayı teoremi ile belirlenen yoğunluğa sahip rastgele bir sayı dizisi gibi davrandığını öneren sezgisel temellere dayanan ilk Hardy–Littlewood hipotezinin inceleme konusudur.[66]

1 sayısı

1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır.[67] Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.[68][69][70]

Resimdeki örnek 11'in asal olup 12'nin asal olmadığını gösteriyor.

Asal oturanlar

Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.

Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:
23244 = 22 × 3 × 13 × 149

ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik asal çarpanlara ayırma algoritmaları vardır.

İkiz asallar

Ana madde: İkiz asallar sanısı

Aralarındaki fark iki olan asal sayılar hakkındaki ikiz asallar konjektürü.

Örneğin:
  • (3, 5)
  • (5, 7)
  • (11, 13)
  • (17, 19)
  • (29, 31)
  • (41, 43)
  • (59, 61)
  • (71, 73)
  • (101, 103)
  • (107, 109)

Chen asalları

Bir a asal sayısı (a+2) biçiminde yazıldığında asal ya da yarı asal oluyorsa a değeri, Chen asalı olarak adlandırılmaktadır. İkiz asallarda, küçük sayı[71] aynı zamanda Chen asalıdır.

Asal örnekler:

  • a = 5 5 + 2 = 7
  • a = 11 11 + 2 = 13

Yarı asal örnekler:

  • a = 2 2 + 2 = 4 2 × 2 = 4
  • a = 7 7 + 2 = 9 3 × 3 = 9

Mersenne asalları

Bir a doğal sayısı (2a – 1) biçiminde yazıldığında hesaplanan değer Mersenne sayısı, asal oluyorsa aynı zamanda Mersenne asalı olarak adlandırılmaktadır. Mersenne asalları hesaplanırken, a sayısı da[72] asal olarak alınmaktadır. Ancak a sayısının asal olarak alındığı bazı durumlarda, bileşik Mersenne sayıları hesaplanabilmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 282,589,933 − 1, Mersenne asalıdır.

Mersenne asalları:

  • 22 – 1 = 3
  • 25 – 1 = 31

Bileşik Mersenne sayıları:

  • 211 – 1 = 2047

Goldbach hipotezi

Ana madde: Goldbach hipotezi

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi, doğru gözükmesine rağmen halen ispatlanamamıştır. "Her çift (2 hariç) sayı iki asal sayının toplamı mıdır?"

Örneğin:

  • 4 = 2 + 2
  • 6 = 3 + 3
  • 8 = 3 + 5
  • 10 = 3 + 7
  • 12 = 5 + 7
  • 14 = 3 + 11
  • 16 = 3 + 13
  • 18 = 5 + 13
  • 20 = 3 + 17
  • 22 = 3 + 19
  • 24 = 5 + 19
  • 26 = 7 + 19
  • 28 = 5 + 23
  • 30 = 7 + 23
  • 32 = 3 + 29
  • 34 = 5 + 29
  • 36 = 7 + 29

Riemann hipotezi

Ana madde: Riemann hipotezi

Asal sayıların doğal sayılar içerisindeki dağılımı hakkındaki hipotezdir.

Ayrıca bakınız

Sayı sistemleri
Karmaşık
Reel
Rasyonel
Tam sayı
Doğal
Sıfır: 0
Bir: 1
Asal sayılar
Bileşik sayılar
Negatif tam sayılar
Kesir
Sonlu ondalık sayı
İkili (sonlu ikili)
Devirli ondalık sayı
İrrasyonel
Cebirsel irrasyonel
Aşkın
Sanal

Kaynakça

  1. ^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; GIMPS-2018 isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
  2. ^ "Arşivlenmiş kopya". 12 Nisan 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Nisan 2020. 
  3. ^ Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996Ücretsiz kayıt gerekli. Oxford University Press. s. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. 
  4. ^ Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2. bas.). Routledge. s. 62. ISBN 978-1-136-63662-2. 
  5. ^ Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and SpaceÜcretsiz kayıt gerekli. Golden Press. s. 16. OCLC 6975809. 
  6. ^ Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT IÜcretsiz kayıt gerekli. Barron's Educational Series. s. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9. 
  7. ^ Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory (2. bas.). W.H. Freeman and Co. s. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0. 
  8. ^ Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (2. bas.). Elsevier. s. 113. ISBN 978-0-08-096019-7. 
  9. ^ Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414-416. MR 2039814. 
  10. ^ Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. s. 9. ISBN 978-0-387-98289-2. 
  11. ^ Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of NumbersSınırlı deneme süresince özgürce erişilebilir, normalde ise abonelik gereklidir. New York: Macmillan. s. 40. MR 0170843. 
  12. ^ Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941. 
  13. ^ Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (2.2yayıncı=John Wiley & Sons bas.). s. 44. ISBN 978-1-118-24382-4. 
  14. ^ Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4). ss. 291-298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458. 
  15. ^ Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. Undergraduate Texts in Mathematics (3. bas.). Springer. s. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8. 
  16. ^ a b Pomerance, Carl (Aralık 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6). ss. 136-147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751. 
  17. ^ a b c d Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1). ss. 18-29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288. 
  18. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
  19. ^ Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45
  20. ^ Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. s. 42. ISBN 978-0-88385-584-3. 
  21. ^ Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. s. 369. ISBN 978-0-12-421171-1. 
  22. ^ Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics (2.2cilt=4 bas.). World Scientific. s. 21. ISBN 978-981-4487-52-8. 
  23. ^ Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. s. 11. ISBN 978-3-540-66289-1. 
  24. ^ Tchebychev, P. (1852). "Asal Sayılar Üzerine Bir Bellek" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (Fransızca): 366-390. . (Postulatın kanıtı: 371–382). Ayrıca bkz. Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, cilt 7, sayfa 15–33, 1854
  25. ^ Apostol, Tom M. (2000). "Asal sayı teoreminin yüzyıllık tarihi". Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (Ed.). Sayı Teorisi. Matematikte Eğilimler. Basel: Birkhäuser. ss. 1-14. MR 1764793. 
  26. ^ Apostol, Tom M. (1976). "7. Aritmetik Dizilerdeki Asallar Üzerine Dirichlet Teoremi". Analitik Sayı Teorisi'ne Giriş. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. ss. 146-156. MR 0434929. 
  27. ^ Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. s. 261. ISBN 978-3-642-18192-4. 
  28. ^ Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (4.4yayıncı=Addison-Wesley bas.). s. 342. ISBN 978-0-201-87073-2. 
  29. ^ Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. s. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1. 
  30. ^ Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. s. 224. ISBN 978-0-88385-315-3. 
  31. ^ Neale 2017, ss. 18, 47.
  32. ^ a b Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "The history of the primality of one: a selection of sources". Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523.  For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.
  33. ^ Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy. 39. Brill. ss. 35-38. ISBN 978-90-04-06505-5. 
  34. ^ Caldwell et al. 2012, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.
  35. ^ Caldwell et al. 2012, s. 15.
  36. ^ a b c Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). "What is the smallest prime?" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530. 
  37. ^ Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2.2mr=1292250 bas.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. s. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. 
  38. ^ a b Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of NumbersÜcretsiz kayıt gerekli. New York: Copernicus. ss. 129-130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676. 
  39. ^ Totient için bkz. Sierpiński 1988, s. 245. Bölenlerin toplamı için bkz. Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. s. 59. ISBN 978-0-88385-563-8. 
  40. ^ Smith, Karl J. (2011). The Nature of Mathematics (12.12yayıncı=Cengage Learning bas.). s. 188. ISBN 978-0-538-73758-6. 
  41. ^ Dudley 1978, Section 2, Theorem 2, p. 16; Neale, Vicky (2017). Closing the Gap: The Quest to Understand Prime Numbers. p. 107: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-109243-5. 
  42. ^ du Sautoy, Marcus (2003). The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. Harper Collins. s. 23. ISBN 978-0-06-093558-0. 
  43. ^ Dudley 1978, Section 2, Lemma 5, p. 15; Higgins, Peter M. (1998). Mathematics for the Curious. Oxford University Press. ss. 77-78. ISBN 978-0-19-150050-3. 
  44. ^ Rotman, Joseph J. (2000). A First Course in Abstract Algebra (2.2yayıncı=Prentice Hall bas.). Problem 1.40, p. 56. ISBN 978-0-13-011584-3. 
  45. ^ Letter Goldbach'tan Euler'e Latince, Temmuz 1730.
  46. ^ Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5). s. 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566. 
  47. ^ Ribenboim, Paulo (2004). The little book of bigger primes. Berlin; New York: Springer-Verlag. s. 4. ISBN 978-0-387-20169-6. 
  48. ^ Öklid'in Elementleri, Book IX, Proposition 20. bakınız David Joyce'un Öklid'in ispatının İngilizce çevirisi ya da Williamson, James (1782). The Elements of Euclid, With Dissertations. Oxford: Clarendon Press. s. 63. OCLC 642232959. 
  49. ^ Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley. ss. 82-89. ISBN 978-0-201-52989-0. 
  50. ^ a b c Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Formulas for prime numbers". Tabachnikov, Serge (Ed.). Kvant Selecta: Algebra and Analysis. II. American Mathematical Society. ss. 13-24. ISBN 978-0-8218-1915-9. 
  51. ^ Mackinnon, Nick (June 1987). "Prime number formulae". The Mathematical Gazette. 71 (456): 113-114. doi:10.2307/3616496. JSTOR 3616496. 
  52. ^ Wright, E.M. (1951). "A prime-representing function". American Mathematical Monthly. 58 (9): 616-618. doi:10.2307/2306356. JSTOR 2306356. 
  53. ^ Guy 2013, p. vii.
  54. ^ Guy 2013, C1 Goldbach's conjecture, pp. 105–107.
  55. ^ Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to ". Mathematics of Computation. 83 (288): 2033–2060. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1. MR 3194140.  Geçersiz |doi-access=free (yardım)
  56. ^ Tao 2009, 3.1 Structure and randomness in the prime numbers, pp. 239–247. See especially p. 239.
  57. ^ Guy 2013, p. 159.
  58. ^ Ramaré, Olivier (1995). "On Šnirel'man's constant". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. 22 (4): 645–706. MR 1375315. 2022-02-09 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 2018-01-23. 
  59. ^ Rassias, Michael Th. (2017). Goldbach's Problem: Selected Topics. Cham: Springer. s. vii. doi:10.1007/978-3-319-57914-6. ISBN 978-3-319-57912-2. MR 3674356. 
  60. ^ Koshy 2002, Theorem 2.14, p. 109. Riesel 1994, faktöriyel yerine asal çarpanın kullanıldığı benzer bir mantıksal çıkarımı sunmaktadır.
  61. ^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; riesel-gaps isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
  62. ^ Şablon:Cite OEIS
  63. ^ a b Ribenboim 2004, Gaps between primes, pp. 186–192.
  64. ^ a b Ribenboim 2004, p. 183.
  65. ^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; chan isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
  66. ^ Ribenboim 2004, Prime -tuples conjecture, pp. 201–202.
  67. ^ Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 1986. s 31.<[1] 29 Mart 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.>
  68. ^ Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. ss. 118. ISBN 0-19-285361-9. The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes 
  69. ^ ""Why is the number one not prime?" 9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.". Retrieved 2007-10-02.
  70. ^ ""Arguments for and against the primality of 1 25 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.".
  71. ^ "Chen Asalı". Chen Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 15 Mart 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023. 
  72. ^ "Mersenne Asalı". Mersenne Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 11 Mayıs 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023. 
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Asal_sayı&oldid=32235919" sayfasından alınmıştır