Kare (cebir)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
1≤x≤25 koşulunu sağlayan tüm x tamsayıları için y=x²

Cebirde bir sayının karesi o sayının kendisiyle çarpılması sonucu elde edilen sayıdır. Karesi alınan x sayısı x² biçiminde yazılır.

x bir pozitif gerçel sayı ise x² değeri, ayrıt uzunluğu x olan bir karenin alanına eşittir.

Bir sayının karesi toplam biçiminde de ifade edilebilir.

0 ≤ n için

1 + 1 + 2 + 2 + ... + (n - 1) + (n - 1) + n

Örneğin, 4'ün karesi

1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16'ya eşittir.

Sonuç, üç birimlik bir kareye bir sütun ve bir satır eklenmesiyle oluşan yeni şeklin alanını ifade etmektedir. Bu yöntem, büyük sayıların karelerini kolay yoldan hesaplama olanağı sunmaktadır. Örneğin,

52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704

Bu işlem bir dizi biçiminde ifade edilmek istenirse

N^2 = \sum_{n=0}^{N-1} (2n+1)

eşitliği yazılabilir.

Bir sayının karesi farklı yollarla da ifade edilebilir. N pozitif bir tamsayı olmak üzere N'nin karesi ilk N tek tamsayının toplamına eşittir.

Örneğin, 7'nin karesi

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49

biçiminde hesaplanabilir.

Kullanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Negatif ve pozitif gerçel sayıların karelerinin pozitif oluşu önemli sonuçlar doğurmaktadır. Bunlardan ilki, hiçbir negatif sayıya gerçel sayılar kümesi üzerinde karekök alma işlemi uygulanamıyor oluşudur. Bu olgunun gerçel sayılar sisteminde yarattığı boşluk karmaşık sayılar tarafından doldurulmaktadır.

Kare alma işlemi istatistikte bir dizi değerin standart sapmasını hesaplamak amacıyla da kullanılmaktadır. Her x_i\, değerinin \overline{x} \, ortalamasından sapma büyüklüğü x_i - \overline{x} \, farkı olarak tanımlanmaktadır. Bu sapmaların karesi alındıktan sonra yeni bir ortalama belirlenmektedir. Varyans olarak adlandırılan bu değerin karekökü standart sapmayı vermektedir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]