Totient

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
φ(n) fonksiyonun ilk 1000 değeri

Totient (kısaca φ, n) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsveçli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden phi(\varphi) ile simgelendiği için Phi fonksiyonu olarak da anılabilir.

Örneğin, \varphi(8) = 4 zira 8 ile dört sayı asaldır: 1, 3, 5 ve 7.

Euler fonksiyonu, Euler'in teoremininde de kullanılır. Şöyle ki:

a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n}

Totient fonksiyonu ayrıca RSA kriptografi sisteminde de kilit rol oynamaktadır.

Totient fonksiyonunun hesaplanması[değiştir | kaynağı değiştir]

Fonksiyonun yukarıda verilen tanımına göre \varphi(1)=1 ve eğer p bir asal sayıysa \varphi(p^{k})=(p-1)p^{k-1}. Bunun yanında, m ve n aralarında asallarsa \varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n). (Bu yargının ispatının anahattı: A,B ve C kümeleri sırasıyla m,n ve mn ile aralarında asal ve modlarının kalan kümesi olsun. Bu durumda, Çin Kalan Teoremi'nden yararlanılırsa göürülür ki, AxB ve C arasında eşleme olur.) Yani, \varphi fonksiyonunun değeri aritmetiğin temel teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Eğer

n=p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}

Öyleyse

\varphi(n)=(p_1-1)p_1^{k_1-1} \cdots (p_r-1)p_r^{k_r-1}.

Yukarıdaki formül bir Euler Çarpımı'dır ve genellikle

\varphi(n)=n\cdot\prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right)

şeklinde yazılır.

Hesaplama Örneği[değiştir | kaynağı değiştir]

\varphi(36)=\varphi\left(3^2 2^2\right)=36\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)=36\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=12

Yani yazıyla ifade edersek, 36'nın asal sayı bölenleri 2 ve 3'tür. 36'nın yarısı olan 18 tane sayı iki ile bölünür, dolayısıyla 36 ile aralarında asal değildir. Kalan 18 sayının da 3te biri 3 ile bölünür. Bu durumda 36 sayı içerisinde 36 ile aralarında asal olan sadece 12 sayı kalır.

Fonksiyonun Bazı Değerleri[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk birkaç değer aşağıdaki tabloda ve grafikte gösterilmiştir:

İlk 100 değerin grafiğe dökümü
\varphi(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Fonksiyonun Özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

\varphi(n) sayısı aynı zamanda dairesel grup olan Cnnin olası generatörlerine eşittir. Bu nedenleCnin her elemanı, bir dairesel altgrup oluşturur. Cnnin algrupları Cd formundadır, eğer d böler n (d | n şeklinde yazılır). Böylece

\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n

Buradaki toplam nnin tüm d positif bölenlerine kadar genişler.

Şimdi Möbius formülünü, bu toplamı değiştirmek ve \varphi(n) için bir formül daha elde etmek için kullanabiliriz:

\varphi(n)=\sum_{d\mid n} d \cdot \mu\left(\frac{n}{d} \right)

öyle ki μ pozitif tamsayılarda tanımlanan Möbius fonksiyonudur.

Euler'in teoremine göre, eğer a ile n aralarında asallarsa, bu demektir ki, ebob(an) = 1, yani

 a^{\varphi(n)} \equiv 1\mod n.\,

Bu durum Lagrange'ın teoremini ve anın \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}nin mod n'e göre tamsayı grubuna ait olmasını takip eder. (Ancak ve ancak a ile n aralarında asallarsa).

Formül Geliştirilmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada gösterilen iki fonksiyon da

\sum_{d|n} \varphi(d) = n.

nın sonucudur.

\varphi(n)yi içeren bir Dirichlet Serisi

\sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}

öyle ki ζ(s) Rienmann Zeta Fonksiyonudur. Bunun ispatı aşağıda gösterildiği gibidir:

\zeta(s) \sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s} = \left(\sum_{g=1}^\infty \frac{1}{g^s}\right)\left(\sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s}\right)
\left(\sum_{g=1}^\infty \frac{1}{g^s}\right) \left(\sum_{f=1}^\infty \frac{\varphi(f)}{f^s}\right) = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{fg=h} 1 \cdot \varphi(g)\right) \frac{1}{h^s}
\sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{fg=h} \varphi(g) \right) \frac{1}{h^s} = \sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{d|h} \varphi(d) \right) \frac{1}{h^s}
\sum_{h=1}^\infty \left(\sum_{d|h} \varphi(d) \right) \frac{1}{h^s} =\sum_{h=1}^\infty\frac{h}{h^s}
\sum_{h=1}^\infty \frac{h}{h^s} = \zeta(s-1)

Lambert serisi fonksiyonu,

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n}= \frac{q}{(1-q)^2}

öyle ki |q|<1 için ıraksar.

Bu durumun nedeni

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n) q^n}{1-q^n} =
\sum_{n=1}^{\infty} \varphi(n) \sum_{r\ge 1} q^{rn}

yani


\sum_{k\ge 1} q^k \sum_{n|k} \varphi(n) =
\sum_{k\ge 1} k q^k = \frac{q}{(1-q)^2}.

Fonksiyonun Büyümesi[değiştir | kaynağı değiştir]

\varphi(n)nin fonksiyon olarak büyümesi ilginç bir sorudur; çünkü küçüknler için \varphi(n)in nden küçük olacağı düşüncesi tam olarak doğru değildir. Asimptotik olarak,

\,n^{1-\varepsilon}<\varphi(n)<n

(herhangi bir ε > 0 ve n > N(ε) için)

Aslnda

\,\varphi(n)/n,

ele alınırsa,

1-p^{-1}\,

yazılabilir. p|ni sağlayan p asal sayıları için)

Asal sayı teoremi'nden εnin yerine aşağıdakinin yazılabileceği gösterilebilir:

C\,\log \log n/ \log n.

\varphi de ortalama olarak ne yakındır.

\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n \varphi(k)= \frac{3}{\pi^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\log n }{n}\right)

Yani

\{1, 2, \ldots , n \}ndan rastgele seçilen iki positif sayının aralarında asal olma olasılığı n sonsuza yaklaşırken \frac{6}{\pi^2}a yaklaşır. Bununla ilgili bir sonuç da,


\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\varphi(k)}{k} = 
\frac{6}{\pi^2} + \mathcal{O}\left(\frac{\log n }{n}\right)

ile gösterilir; çünkü \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)}, formül bu şekilde de ifade edilebilir.


\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{\varphi(k)}{k} = 
\frac{1}{\zeta(2)} + \mathcal{O}\left(\frac{\log n }{n}\right)

Euler Totient Fonksiyonu'nu İçeren Diğer Formüller[değiştir | kaynağı değiştir]

  • \;\varphi\left(n^m\right) = n^{m-1}\varphi(n) \text{ for } m\ge 1
  • \text{herhangi } a, n > 1 \text{, öyle vardır ki} l \geq n \text{ öyledir ki } l|\varphi(a^n-1)
  • \text{Herhangi } a > 1 \text{ ve  } n > 6 \text{ öyle vardır ki } 4 \not| n \text{ öyledir ki } l \geq 2n \text{ öyledir ki } l|\varphi(a^n-1)
  • \sum_{d \mid n} \frac{\mu^2(d)}{\varphi(d)} = \frac{n}{\varphi(n)}
  • \sum_{1\le k\le n \atop (k,n)=1}\!\!k = \frac{1}{2}n\varphi(n)\text{ for }n>1
  • \sum_{k=1}^n\varphi(k) = \frac{1}{2}\left(1+ \sum_{k=1}^n \mu(k)\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor^2\right)
  • \sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{k} = \sum_{k=1}^n\frac{\mu(k)}{k}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor
  • \sum_{k=1}^n\frac{k}{\varphi(k)} = \mathcal{O}(n)
  • \sum_{k=1}^n\frac{1}{\varphi(k)} = \mathcal{O}(\log(n))
  • \sum_{1\le k\le n \atop (k,m)=1} 1 = n \frac {\varphi(m)}{m} + 
\mathcal{O} \left ( 2^{\omega(m)} \right ),

Burada m > 1 bir pozitif tam sayıdır ve ω(m) min asal sayı çarpanlarını ifade eder. (Bu formül nden küçük ve m ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını gösterir.)

Eşitsizlikler[değiştir | kaynağı değiştir]

\varphi fonksiyonunu içeren bazı eşitsizlikler:


\varphi(n) > \frac {n} {e^\gamma\; \log \log n + \frac {3} {\log \log n}}
n > 2 için, &gamma Euler sabiti iken,

\varphi(n) \ge \sqrt{\frac {n} {2} }
n için > 0,

ve


\varphi(n) \ge \sqrt{n}\text{ for } n > 6.

n asal sayısı için, açıkça \varphi(n) = n-1.

n birleşik sayısı için


\varphi(n) \le n-\sqrt{n}
.

Rastgele büyüklükteki n için, bu sınırlar halen geliştirilememeiştir ya da daha kesin olmak gerekirse:

\liminf \frac{\varphi (n)}{n}=0 \mbox{ ve } \limsup \frac{\varphi (n)}{n}=1.

\varphi fonksiyonu ile \sigma fonksiyonunu birleştiren birkaç eşitsizlik:


\frac {6 n^2}{\pi^2} < \varphi(n) \sigma(n) < n^2
\mbox{ için } n>1.

Ford'un Teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ford, her k ≥ 2 tamsayısı için φ(x) = m eşitliğinin tam olarak k sağlayanı bulunması durumunu sağlayan bir m sayısının bulunduğunu ispatladı. Ne yazık ki, k = 1 için herhangi bir m bulunamamıştır, Carmichal'ın Totient Fonksiyonu Konjektürü'ne göre, bu durumda böyle bir min varolmadığına inanılır.

Referanslar[değiştir | kaynağı değiştir]