Kirişler dörtgeni

Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeni^[a] veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen,^[b] köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere çevrel çember^[c] denir ve köşelerin aynı çember içinde^[d] olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla çevrel merkez^[e] ve çevrel yarıçap^[f] olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeni^[g] ve kordal dörtgen^[h]dir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.

Çembersel^[i] kelimesi Antik Yunancadan gelmektedir. Grekçe: κύκλος (kuklos), "çember" veya "tekerlek" anlamına gelir.

Tüm üçgenler bir çevrel çembere sahiptir, ancak tüm dörtgenler sahip değildir. Çembersel olamayan bir dörtgen örneği kare olmayan bir eşkenar dörtgendir. Aşağıdaki tanımlamalar bölümü, bir dörtgenin bir çevrel çembere sahip olması için hangi gerek ve yeter koşulları sağlaması gerektiğini belirtir.

Özel durumlar

Herhangi bir kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk veya antiparalelkenar^[j] çevrimseldir. Bir uçurtma ancak ve ancak iki dik açıya sahipse - bir dik uçurtma^[k] ise- çevrimseldir. Bir çift merkezli dörtgen,^[l] aynı zamanda teğetsel^[m] olan çevrimsel bir dörtgendir ve bir dış-çift merkezli dörtgen,^[n] aynı zamanda dış-teğetsel^[o] olan çevrimsel bir dörtgendir. Bir harmonik dörtgen, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımının eşit olduğu bir çevrimsel dörtgendir.

Tanımlamalar

Çevrel merkez

Dışbükey bir dörtgen ancak ve ancak kenarlara dik dört açıortay tek noktada kesişirse^[p] çevrimseldir. Bu ortak nokta çevrel merkez yani çevrel çemberin merkezidir.^[1]

Tamamlayıcı açılar

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeni ancak ve ancak karşıt açıları tamamlayıcı ise çevrimseldir,^[1]^[2] yani:

\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radyan}}\ (=180^{\circ }).

Doğrudan teorem, Öklid'in Elementler adlı eserinin 3. kitabındaki 22. önermedir.^[3] Eşit bir şekilde, bir dışbükey dörtgen ancak ve ancak her dış açı karşıt iç açıya eşitse çevrimseldir.

1836 yılında Duncan Gregory, bu sonucu aşağıdaki şekilde genelleştirmiştir: Herhangi bir dışbükey çevrimsel 2n-geni verildiğinde, iç "ters" açıların^[s] ikişerli toplamının her biri $(n-1)\pi$ 'ye eşittir.^[4] Bu sonuç, aşağıdaki şekilde daha da genelleştirilebilir: Eğer A1A2... A2n (n > 1), tepe noktası Ai->Ai+k (tepe noktası Ai, Ai+k ile birleştirilir) olan herhangi bir çevrimsel 2n-geni ise, iç ters açıların ikişerli toplamının her biri $m\pi$ 'ye eşittir (burada m = n-k ve k = 1, 2, 3, ... toplam dönüştür).^[5]

Her bir açının stereografik izdüşümü (yarım açı tanjantı) alındığında, bu yeniden ifade edilebilir,

{\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .

Bu da şu anlama gelir:^[6]

\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1

Kenarlar ve köşegenler arasındaki açılar

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeni ancak ve ancak bir kenar ile bir köşegen arasındaki açı, karşı kenar ile diğer köşegen arasındaki açıya eşitse çevrimseldir.^[7]

Yani, örneğin,

\angle ACB=\angle ADB.

Pascal noktaları

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgenin çevrimsel olması için gerek ve yeter diğer koşullar şunlardır: $E$ köşegenlerin kesişme noktası olsun, $F$ ise $AD$ ve $BC$ kenarlarının uzantılarının kesişme noktası olsun, $\omega$ , çapı $EF$ doğru parçası olan bir çember olsun ve $P$ ile $Q$ , $\omega$ çemberinin oluşturduğu $AB$ ve $CD$ kenarları üzerindeki Pascal noktaları olsun.
(1) $ABCD$ ancak ve ancak $P$ ile $Q$ noktaları $\omega$ çemberinin merkezi $O$ ile aynı hizada ise çevrimsel bir dörtgendir.
(2) $ABCD$ ancak ve ancak $P$ ile $Q$ noktaları $AB$ ve $CD$ kenarlarının orta noktaları ise çevrimsel bir dörtgendir.^[2]

Köşegenlerin kesişimi

Biri $AC$ doğru parçasını, diğeri $BD$ doğru parçasını içeren iki doğru $E$ noktasında kesişiyorsa, $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dört noktası ancak ve ancak şu koşullarda aynı çember içinde olur:^[8]

\displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.

Kesişim noktası $E$ , çemberin içinde ya da dışında olabilir. İlk durumda çevrimsel dörtgen $ABCD$ , ikinci durumda ise çevrimsel dörtgen $ABDC$ olur. Kesişim iç tarafta olduğunda eşitlik, $E$ 'nin bir köşegeni böldüğü parça uzunluklarının çarpımının diğer köşegeninkine eşit olduğunu belirtir. Bu kesişen kirişler teoremi^[t] olarak bilinir çünkü çevrimsel dörtgenin köşegenleri çemberin kirişleridir.

Batlamyus teoremi

Batlamyus teoremi, çevrimsel bir dörtgenin $e$ ve $f$ köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğunu ifade eder:^[2]^[9]^:p.25

\displaystyle ef=ac+bd,

burada a, b, c, d sırasıyla kenar uzunluklarıdır. Bunun tersi de doğrudur. Yani, bu denklem dışbükey bir dörtgende sağlanırsa, çevrimsel bir dörtgen oluşur.

Köşegen üçgen

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninde $EFG$ , $ABCD$ 'nin köşegen üçgeni olsun ve $\omega$ $EFG$ 'nin dokuz nokta çemberi olsun. $ABCD$ ancak ve ancak $ABCD$ bimedyanlarının kesişim noktası dokuz nokta çemberi $\omega$ 'ya aitse çevrimseldir.^[2]^[10]^[11]

Alan

Kenarları $a$ , $b$ , $c$ , $d$ olan çevrimsel bir dörtgenin alanı $K$ , Brahmagupta formülü ile aşağıdaki gibi hesaplanabilir.^[9]^:p.24

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,

burada $s$ , yarı çevreyi göstermekte olup, $s = 1 / 2 (a + b + c + d)$ şeklinde bulunur. Bu, Bretschneider formülünün genel dörtgen için bir sonucudur, çünkü karşıt açılar çevrimsel olması durumunda tamamlayıcıdır. Eğer ayrıca $d =0$ ise, çevrimsel dörtgen bir üçgene dönüşür ve formül Heron formülüne indirgenir.

Çevrimsel dörtgen, aynı kenar uzunluklarına sahip tüm dörtgenler arasında (sıralamaya bakılmaksızın) maksimum alana sahiptir. Bu, Bretschneider formülünün bir başka sonucudur. Ayrıca kalkülüs kullanılarak da kanıtlanabilir.^[12]

Her biri diğer üçünün toplamından daha az olan ve eşit olmayan dört uzunluk, Brahmagupta formülüne göre hepsi aynı alana sahip üç eşlenik olmayan çevrimsel dörtgenin^[13] her birinin kenarlarıdır. Özellikle, $a$ , $b$ , $c$ ve $d$ kenarları için, $a$ kenarı $b$ , $c$ veya $d$ kenarlarından herhangi birinin karşısında olabilir.

Ardışık kenarları $a$ , $b$ , $c$ , $d$ olan çevrimsel bir dörtgenin alanı, $a$ ve $d$ kenarları arasındaki $A$ açısı ve $a$ ve $b$ kenarları arasındaki $B$ açısı şu şekilde ifade edilebilir:^[9]^:p.25

K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

veya

K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}

veya^[9]^:p.26

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

burada $θ$ , köşegenler arasındaki herhangi bir açıdır. Eğer $A$ bir dik açı değilse, alan şu şekilde de ifade edilebilir:^[9]^:p.26

K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.

Bir diğer formül ise,^[14]^:p.83

\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }

burada $R$ çevrel çemberin yarıçapıdır. Doğrudan bir sonuç olarak,^[15]

K\leq 2R^{2}

burada ancak ve ancak dörtgen bir kare ise eşitlik söz konusudur.

Köşegenler

Ardışık köşeleri $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ve kenarları $a = AB$ , $b = BC$ , $c = CD$ ve $d = DA$ olan çevrimsel bir dörtgende, köşegenlerin uzunlukları $p = AC$ ve $q = BD$ taraflar cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:^[9]^:p.25,^[16]^[17]^{:p. 84}

p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

ve

q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}

böylece Batlamyus teoremi gösterilmiş olur:

pq=ac+bd.

Batlamyus'un ikinci teoremi'ne göre,^[9]^:p.25,^[16]

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

yukarıdaki gibi aynı notasyonları kullanır.

Köşegenlerin toplamı için şu eşitsizliğe sahibiz:^[18]^:p.123,#2975

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

Eşitlik, ancak ve ancak köşegenlerin eşit uzunlukta olması durumunda geçerlidir, bu da AO-GO eşitsizliği kullanılarak kanıtlanabilir.

Ayrıca,^[18]^:p.64,#1639

(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

Herhangi bir dışbükey dörtgende, iki köşegen birlikte dörtgeni dört üçgene böler; çevrimsel bir dörtgende, bu dört üçgenin zıt çiftleri birbirlerine benzerdir.

Eğer $ABCD$ , $AC$ ile $BD$ 'nin $E$ 'de kesiştiği çevrimsel bir dörtgen ise^[19]

{\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek kenarlar kümesi, her biri aynı çemberde aynı alana sahip bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek üç farklı diziden herhangi birinde düzenlenebilir (Brahmagupta'nın alan formülüne göre alanlar aynıdır). Bu çevrimsel dörtgenlerden herhangi ikisinin ortak bir köşegen uzunluğu vardır.^[17]^{:p. 84}

Açı formülleri

Ardışık kenarları $a$ , $b$ , $c$ , $d$ olan çevrimsel bir dörtgen için yarı çevre $s$ ve $a$ ve $d$ kenarları arasındaki $A$ ise, $A$ açısının trigonometrik fonksiyonları şu şekilde verilir:^[20]

\cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},

\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.

Karşılıklı kenarları $a$ ve $c$ olan köşegenler arasındaki $θ$ açısı aşağıdaki ifadeyi sağlar^[9]^:p.26

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.

Karşılıklı kenarlar $a$ ve $c$ 'nin uzantıları $φ$ açısıyla kesişiyorsa,

\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}

burada $s$ , yarı çevredir.^[9]^:p.31

$B$ $a$ ve $b$ kenarları arasındaki açıyı, $C$ $b$ ve $c$ arasındaki açıyı ve $D$ $c$ ve $d$ arasındaki açıyı göstersin:^[21]

{\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}

Parameshvara çevrel yarıçap formülü

Ardışık kenarları $a$ , $b$ , $c$ , $d$ ve yarı çevresi $s$ olan çevrimsel bir dörtgen, aşağıdaki şekilde verilen çevrel yarıçapa (çevrel çemberin yarıçapı) sahiptir^[16]^[22]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.

Bu ifade, 15. yüzyılda Hintli matematikçi Vatasseri Parameshvara tarafından türetilmiştir (Yarıçapın herhangi bir kenar uzunluğunun değişimi altında değişmez olduğunu unutmayın).

Brahmagupta formülünü kullanarak, Parameshvara formülü şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}

burada $K$ çevrimsel dörtgenin alanıdır.

Karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar

Her biri çevrimsel bir dörtgenin bir kenarına dik olan ve karşı kenarın orta noktasından geçen dört doğru parçası, aynı noktada kesişir.^[23]^:p.131;^[24] Bu doğru parçalarına orta nokta rakımının kısaltması olan maltitüdler^[v] adı verilir.^[25] Ortak noktalarına karşıt merkez^[w] adı verilir. Çevrel merkezin "tepe merkezi"ndeki^[x] yansıması olma özelliğine sahiptir. Dolayısıyla, çevrimsel bir dörtgende, çevrel merkez, "tepe merkezi" ve karşıt merkez doğrudaştır.^[24]

Eğer bir çevrimsel dörtgenin köşegenleri $P$ noktasında kesişiyorsa ve köşegenlerin orta noktaları $M$ ve $N$ ise, o zaman dörtgenin karşıt merkezi $MNP$ üçgeninin ortosentr^[y]ıdır.

Bir çevrimsel dörtgenin karşıt merkezi, köşelerinin Poncelet noktasıdır.

Diğer özellikler

Çevrimsel bir $ABCD$ dörtgeninde, $DAB$ , $ABC$ , $BCD$ ve $CDA$ üçgenlerindeki iç merkezler M₁, M₂, M₃, M₄ (sağdaki şekle bakın) bir dikdörtgenin köşeleridir. Bu, Japon teoremi olarak bilinen teoremlerden biridir. Aynı dört üçgenin ortosentrları $ABCD$ 'ye eşleşik bir dörtgenin köşeleridir ve bu dört üçgendeki geometrik merkezler^[z] başka bir çevrimsel dörtgenin köşeleridir.^[7]
Merkez noktası $O$ olan $ABCD$ çevrimsel dörtgeninde $P$ , $AC$ ve $BD$ köşegenlerinin kesiştiği nokta olsun. O zaman $APB$ açısı $AOB$ ve $COD$ açılarının aritmetik ortalamasıdır. Bu, iç açı teoremi^[aa] ve dış açı teoreminin^[ab] doğrudan bir sonucudur.
Ne aritmetik ne de geometrik dizide rasyonel alana ve eşit olmayan rasyonel kenarlara sahip çevrimsel dörtgenler yoktur.^[26]
Eğer bir çevrimsel dörtgenin kenar uzunlukları bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, bu dörtgen aynı zamanda dış-çift merkezlidir.
Bir çevrimsel dörtgenin karşılıklı kenarları $E$ ve $F$ noktalarında kesişecek şekilde uzatılırsa, $E$ ve $F$ noktalarındaki açıların iç açıortayları diktir.^[13]

Brahmagupta dörtgenleri

Bir Brahmagupta dörtgeni^[27] kenarları, köşegenleri ve alanı tam sayı olan çevrimsel bir dörtgendir. Kenarları $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , köşegenleri $e$ , $f$ , alanı $K$ olan tüm Brahmagupta dörtgenleri ve çevresel yarıçapı $R$ , $t$ , $u$ ve $v$ rasyonel parametrelerini içeren aşağıdaki ifadelerden paydadan kurtarmayla elde edilebilir:

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]

b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Ortodiyagonal durum

Çevrel yarıçap ve alan

Aynı zamanda ortodiyagonal olan (dik köşegenlere sahip) bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişiminin bir köşegeni $p 1$ ile $p 2$ uzunluğundaki parçalara böldüğünü ve diğer köşegeni $q 1$ ile $q 2$ uzunluğundaki parçalara böldüğünü varsayalım. O zaman,^[28] (ilk eşitlik Archimedes'in Book of Lemmas kitabındaki 11. önermedir)

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

burada $D$ çemberin çapıdır. Bu geçerlidir çünkü köşegenler bir çemberin kirişlerine diktir. Bu denklemler çevrel yarıçap $R$ 'nin,

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}

olarak veya dörtgenin kenarları cinsinden^[23]

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.

şeklinde ifade edilebileceğini gösterir. Aynı zamanda şu sonucu da doğurur:^[23]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Böylece, Euler dörtgen teoremine göre çevrel yarıçapı, $p$ ve $q$ köşegenleri ve köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe $x$ cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.

Alan $K$ için bir formül, çevrimsel ortodiyagonal dörtgenin dört kenarı cinsinden Batlamyus teoremi ve ortodiyagonal dörtgenin alanı formülü birleştirildiğinde doğrudan elde edilir. Sonuç şudur;^[29]^:p.222

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Diğer özellikler

Çevrimsel ortodiyagonal bir dörtgende, karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar köşegenlerin kesiştiği nokta ile çakışır.^[23]
Brahmagupta teoremi, aynı zamanda ortodiyagonal olan bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişme noktasından geçen herhangi bir kenardan gelen dikmenin karşı kenarı ikiye böldüğünü belirtir.^[23]
Eğer bir çevrimsel dörtgen aynı zamanda ortodiyagonal ise, çevrel merkez ile herhangi bir kenar arasındaki mesafe karşı kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.^[23]
Çevrimsel bir ortodiyagonal dörtgende, köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe, çevrel merkez ile köşegenlerin kesiştiği nokta arasındaki mesafeye eşittir.^[23]

Çevrimsel küresel dörtgenler

Küresel geometride, kesişen dört büyük çemberden oluşan küresel bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt açıların toplamları eşitse, yani dörtgenin α, β, γ, δ ardışık açıları için α + γ = β + δ ise çevrimseldir.^[30] Bu teoremin bir yönü 1782 yılında Anders Johan Lexell tarafından kanıtlanmıştır.^[31] Lexell, bir kürenin küçük bir çemberi içine yerleştirilmiş küresel bir dörtgende karşıt açıların toplamlarının eşit olduğunu ve çevrel dörtgende karşıt kenarların toplamlarının eşit olduğunu göstermiştir. Bu teoremlerden ilki, bir düzlem teoreminin küresel benzeşimidir ve ikinci teorem onun dualitesidir, yani büyük çemberler ile kutuplarının yer değiştirmesinin sonucudur.^[32] Kiper ve diğ.^[33] teoremin tersini kanıtladılar: Eğer küresel bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşitse, o zaman bu dörtgen için bir iç teğet çember vardır.

Notlar

^ ing: inscribed quadrilateral
^ ing: cyclic quadrilateral
^ ing: circumcircle veya circumscribed circle
^ ing: concyclic
^ ing: circumcenter
^ ing: circumradius
^ ing: concyclic quadrilateral
^ ing: chordal quadrilateral
^ ing: cyclic
^ ing: antiparallelogram
^ ing: right kite
^ ing: bicentric quadrilateral
^ ing: tangential quadrilateral
^ ing: ex-bicentric quadrilateral
^ ing: ex-tangential quadrilateral
^ ing: concurrent lines
^ ing: inscribed angle
^ ing: opposite angles
^ ing: alternate interior angle
^ ing: intersecting chords theorem
^ ing: diagonal triangle
^ ing: midpoint altitude
^ ing: anticenter
^ ing: vertex centroid
^ ing: orthocenter
^ ing: centroid
^ ing: inscribed angle theorem
^ ing: exterior angle theorem

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ ^a ^b Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), "10. Cyclic quadrilaterals", The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, ss. 63-65, ISBN 978-1-59311-695-8
^ ^a ^b ^c ^d Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), "Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51 (6), ss. 913-938, doi:10.1080/0020739X.2019.1683772
^ Joyce, D. E. (June 1997), "Book 3, Proposition 22", Euclid's Elements, Clark University
^ Gregory, Duncan (1836), "Geometrical Theorem", Cambridge Mathematical Journal, cilt 1, s. 92 .
^ De Villiers, Michael (1993), "A unifying generalization of Turnbull's theorem", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, cilt 24, ss. 191-196, doi:10.1080/0020739930240204 .
^ Hajja, Mowaffaq (2008), "A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic" (PDF), Forum Geometricorum, cilt 8, ss. 103-6, 26 Kasım 2019 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 2 Ekim 2024
^ ^a ^b Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), "2.3 Cyclic quads", Mathematical Olympiad Treasures, Springer, ss. 44-46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063
^ Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, s. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8
^ Fraivert, David (July 2019). "New points that belong to the nine-point circle". The Mathematical Gazette. 103 (557). ss. 222-232. doi:10.1017/mag.2019.53.
^ Fraivert, David (2018). "New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals" (PDF). International Journal of Geometry. 7 (1). ss. 5-16. 7 Haziran 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 2 Ekim 2024.
^ Peter, Thomas (September 2003), "Maximizing the area of a quadrilateral", The College Mathematics Journal, 34 (4), ss. 315-6, doi:10.2307/3595770, JSTOR 3595770
^ ^a ^b Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967), "3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula", Geometry Revisited, Mathematical Association of America, ss. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
^ Prasolov, Viktor, Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry (PDF), 21 Eylül 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 6 Kasım 2011
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), "4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals", When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Mathematical Association of America, s. 64, ISBN 978-0-88385-342-9
^ ^a ^b ^c Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, cilt 7, ss. 147-9, 11 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 2 Ekim 2024
^ ^a ^b Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ ^a ^b Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", 2007, [1] 30 Ağustos 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
^ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2] 28 Mayıs 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Accessed 18 March 2014.
^ Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, s. 202, OCLC 429528983
^ José García, Emmanuel Antonio (2022), "A generalization of Mollweide's formula (rather Newton's)" (PDF), Matinf, 5 (9-10), ss. 19-22, 30 Aralık 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 29 Aralık 2023
^ Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette, 84 (499), ss. 69-70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle, 2nd, Courier Dover, ss. 131, 137-8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045
^ ^a ^b Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cyclic quadrilaterals", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, 37, Cambridge University Press, ss. 35-39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Eric W. Weisstein, Maltitude (MathWorld)
^ Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999), "Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression", Bulletin of the Australian Mathematical Society, 59 (2), ss. 263-9, doi:10.1017/S0004972700032883 , hdl:1959.13/803798 , MR 1680787
^ Sastry, K.R.S. (2002). "Brahmagupta quadrilaterals" (PDF). Forum Geometricorum. Cilt 2. ss. 167-173. 22 Nisan 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Ekim 2024.
^ Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1970), "Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.", Challenging Problems in Geometry, 2nd, Courier Dover, ss. 104-5, ISBN 978-0-486-69154-1
^ Josefsson, Martin (2016), "Properties of Pythagorean quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 100 (July), ss. 213-224, doi:10.1017/mag.2016.57 .
^ Wimmer, Lienhard (2011). "Cyclic polygons in non-Euclidean geometry". Elemente der Mathematik. 66 (2). ss. 74-82. doi:10.4171/EM/173 .
^ Lexell, Anders Johan (1786). "De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum". Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. '6': 1782 (1). ss. 58-103, figures tab. 3.
^ Rosenfeld, B. A. (1988). A History of Non-Euclidean Geometry - Springer. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. 12. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1. ISBN 978-1-4612-6449-1.
^ Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1 Mayıs 2012). "Homothetic Jitterbug-like linkages". Mechanism and Machine Theory. Cilt 51. ss. 145-158. doi:10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014.

Konuyla ilgili okumalar

D. Fraivert, Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral

Dış bağlantılar

[1] : inscribed quadrilateral

[2] : cyclic quadrilateral

[3] : circumcircle veya circumscribed circle

[4] : concyclic

[5] : circumcenter

[6] : circumradius

[7] : concyclic quadrilateral

[8] : chordal quadrilateral

[9] : cyclic

[10] : antiparallelogram

[11] : right kite

[12] : bicentric quadrilateral

[13] : tangential quadrilateral

[14] : ex-bicentric quadrilateral

[15] : ex-tangential quadrilateral

[16] : concurrent lines

[18] : inscribed angle

[19] : opposite angles

[22] : alternate interior angle

[28] : intersecting chords theorem

[30] : diagonal triangle

[46] : midpoint altitude

[48] : anticenter

[49] : vertex centroid

[50] : orthocenter

[51] : centroid

[52] : inscribed angle theorem

[53] : exterior angle theorem

[Usiskin-17] Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), "10. Cyclic quadrilaterals", The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, ss. 63-65, ISBN 978-1-59311-695-8

[Fraivert-20] Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2020), "Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 51 (6), ss. 913-938, doi:10.1080/0020739X.2019.1683772

[21] Joyce, D. E. (June 1997), "Book 3, Proposition 22", Euclid's Elements, Clark University

[23] Gregory, Duncan (1836), "Geometrical Theorem", Cambridge Mathematical Journal, cilt 1, s. 92 .

[24] De Villiers, Michael (1993), "A unifying generalization of Turnbull's theorem", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, cilt 24, ss. 191-196, doi:10.1080/0020739930240204 .

[25] Hajja, Mowaffaq (2008), "A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic" (PDF), Forum Geometricorum, cilt 8, ss. 103-6, 26 Kasım 2019 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 2 Ekim 2024

[Andreescu-26] Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), "2.3 Cyclic quads", Mathematical Olympiad Treasures, Springer, ss. 44-46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063

[27] Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, s. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC 213434422

[Durell-29] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8

[31] Fraivert, David (July 2019). "New points that belong to the nine-point circle". The Mathematical Gazette. 103 (557). ss. 222-232. doi:10.1017/mag.2019.53.

[32] Fraivert, David (2018). "New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals" (PDF). International Journal of Geometry. 7 (1). ss. 5-16. 7 Haziran 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 2 Ekim 2024.

[33] Peter, Thomas (September 2003), "Maximizing the area of a quadrilateral", The College Mathematics Journal, 34 (4), ss. 315-6, doi:10.2307/3595770, JSTOR 3595770

[Coxeter-34] Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967), "3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula", Geometry Revisited, Mathematical Association of America, ss. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2

[35] Prasolov, Viktor, Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry (PDF), 21 Eylül 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 6 Kasım 2011

[Alsina-36] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), "4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals", When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Mathematical Association of America, s. 64, ISBN 978-0-88385-342-9

[Alsina2-37] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, cilt 7, ss. 147-9, 11 Temmuz 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 2 Ekim 2024

[Johnson-38] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[Crux-39] Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", 2007, [1] 30 Ağustos 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..

[40] A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2] 28 Mayıs 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Accessed 18 March 2014.

[41] Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, s. 202, OCLC 429528983

[42] José García, Emmanuel Antonio (2022), "A generalization of Mollweide's formula (rather Newton's)" (PDF), Matinf, 5 (9-10), ss. 19-22, 30 Aralık 2023 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF), erişim tarihi: 29 Aralık 2023

[43] Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette, 84 (499), ss. 69-70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477

[Altshiller-Court-44] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle, 2nd, Courier Dover, ss. 131, 137-8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045

[Honsberger-45] Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cyclic quadrilaterals", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, 37, Cambridge University Press, ss. 35-39, ISBN 978-0-88385-639-0

[47] Eric W. Weisstein, Maltitude (MathWorld)

[Buchholz-54] Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999), "Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression", Bulletin of the Australian Mathematical Society, 59 (2), ss. 263-9, doi:10.1017/S0004972700032883 , hdl:1959.13/803798 , MR 1680787

[55] Sastry, K.R.S. (2002). "Brahmagupta quadrilaterals" (PDF). Forum Geometricorum. Cilt 2. ss. 167-173. 22 Nisan 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 2 Ekim 2024.

[56] Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1970), "Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.", Challenging Problems in Geometry, 2nd, Courier Dover, ss. 104-5, ISBN 978-0-486-69154-1

[57] Josefsson, Martin (2016), "Properties of Pythagorean quadrilaterals", The Mathematical Gazette, 100 (July), ss. 213-224, doi:10.1017/mag.2016.57 .

[58] Wimmer, Lienhard (2011). "Cyclic polygons in non-Euclidean geometry". Elemente der Mathematik. 66 (2). ss. 74-82. doi:10.4171/EM/173 .

[59] Lexell, Anders Johan (1786). "De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum". Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. '6': 1782 (1). ss. 58-103, figures tab. 3.

[60] Rosenfeld, B. A. (1988). A History of Non-Euclidean Geometry - Springer. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. 12. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1. ISBN 978-1-4612-6449-1.

[61] Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1 Mayıs 2012). "Homothetic Jitterbug-like linkages". Mechanism and Machine Theory. Cilt 51. ss. 145-158. doi:10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014.

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]

[i]

[j]

[k]

[l]

[m]

[n]

[o]

[p]

[1]

[q]

[r]

[2]

[3]

[s]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[t]

[9]

[u]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[v]

[25]

[w]

[x]

[y]

[z]

[aa]

[ab]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]