Çift merkezli dörtgen

Çift merkezli dörtgenler $ABCD$ ve $EFGH$ için Poncelet doğal sonucu

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir iç teğet çembere hem de çevrel çembere sahip olan bir dışbükey (konveks) dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem teğetler dörtgeninin hem de kirişler dörtgeninin tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.

İç içe iki çember, çift merkezli bir dörtgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberiyse, çevrel çemberdeki her nokta, aynı iç teğet çembere ve çevrel çembere sahip çift merkezli bir dörtgenin tepe noktasıdır. Bu, Fransız matematikçi Jean-Victor Poncelet (1788–1867) tarafından kanıtlanan Poncelet doğal sonucunun (porizminin) bir sonucudur.

Özel durumlar

Bir dik deltoid

Çift merkezli dörtgenlerin örnekleri, kareler, dik deltoidler ve ikizkenar teğet yamuklardır.

Tanımlama

Çift merkezli dörtgen $ABCD$ ve temas dörtgen $WXYZ$

Kenarları $a$, $b$, $c$, $d$ olan bir dışbükey dörtgen $ABCD$, ancak ve ancak karşı kenarlar teğetler dörtgeni için Pitot teoremini ve zıt açıların bütünler olduğu kirişler dörtgeni özelliğini sağlıyorsa çift merkezlidir; yani,

${\begin{cases}a+c=b+d\\A+C=B+D=\pi .\end{cases}}$

Diğer üç nitelendirme, teğetler dörtgenindeki iç teğet çemberin kenarlara teğet olduğu noktalarla ilgilidir. Çember, sırasıyla $W$, $X$, $Y$, $Z$'de $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ kenarlarına teğet ise, teğetler dörtgeni $ABCD$ ancak ve ancak aşağıdaki üç koşuldan herhangi biri geçerliyse aynı zamanda kirişler dörtgenidir:

• $WY$, $XZ$'ye diktir.
• ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
• ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

Bu üçünden ilki, temas dörtgeni WXYZ'nin bir ortodiyagonal dörtgen olduğu anlamına gelir.

$E$, $F$, $G$, $H$ sırasıyla $WX$, $XY$, $YZ$, $ZW$'nin orta noktaları ise, teğetler dörtgeni $ABCD$, ancak ve ancak $EFGH$ dörtgeni bir dikdörtgense aynı zamanda kirişler dörtgenidir.

Başka bir nitelendirmeye göre, eğer $I$, karşıt kenarların uzantılarının $J$ ve $K$'de kesiştiği bir teğetler dörtgenindeki iç teğet çemberin merkezi ise, o zaman dörtgen de, ancak ve ancak $\angle JIK$ bir dik açı ise kirişler dörtgenidir.

Yine bir başka gerekli ve yeterli koşul, teğetler dörtgen $ABCD$'nin, ancak ve ancak Newton doğrusu, temas dörtgeni $WXYZ$'nin Newton doğrusuna dik olması durumunda kirişler dörtgeni olmasıdır. (Bir dörtgenin Newton doğrusu, köşegenlerinin orta noktaları tarafından tanımlanan doğrudur.)

Çizim

Temas dörtgeni $WXYZ$ ile çift merkezli dörtgen $ABCD$. Animasyon için buraya bakın.

Çift merkezli bir dörtgen oluşturmak için basit bir yöntem vardır:

Merkez $I$ etrafında $r$ yarıçaplı $C_{r}$ iç teğet çemberi ile başlar ve daha sonra $C_{r}$ iç teğet çemberi içinde birbirine dik iki $WY$ ve $XZ$ kirişleri çizilir. Kirişlerin uç noktalarında, iç teğet çembere $a$, $b$, $c$ ve $d$ teğetleri çizilir. Bunlar, çift merkezli bir dörtgenin köşeleri olan dört $A$, $B$, $C$ ve $D$ noktasında kesişir. Çevrel çemberi çizmek için, çift merkezli dörtgen sırasıyla $a$ ve $b$ kenarlarına iki dik açıortay $p_{1}$ ve $p_{2}$ çizilir. Dikey açıortaylar $p_{1}$ ve $p_{2}$, çevrel çember $C_{R}$'nin merkezi $O$'da iç teğet çember $C_{r}$'nin merkezi $I$ arasındaki $x$ mesafede kesişir. Çevrel çember, merkez $O$ etrafında çizilebilir.

Bu yapının geçerliliği, bir teğetler dörtgeni $ABCD$'de, temas dörtgeni $WXYZ$'nin, ancak ve ancak teğetler dörtgeninin aynı zamanda kirişler dörtgeni olması durumunda dikey köşegenlere sahip olduğu nitelendirmesinden kaynaklanmaktadır.

Alan

Dört nicelik cinsinden formüller

Çift merkezli bir $K$ dörtgeninin alanı, dörtgenin dört niceliğiyle (kenar uzunlukları) birkaç farklı şekilde ifade edilebilir. Kenarlar $a$, $b$, $c$, $d$ ise, alan: $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}.$

Bu, Brahmagupta formülünün özel bir halidir. Ayrıca bir teğetler dörtgeninin alanı için trigonometrik formülden doğrudan türetilebilir. Tersinin geçerli olmadığına dikkat edin: Çift merkezli olmayan bazı dörtgenler de $\displaystyle K={\sqrt {abcd}}$ alanına sahiptir. Böyle bir dörtgene bir örnek, kare olmayan bir dikdörtgendir.

Alan ayrıca teğet uzunlukları $e$, $f$, $g$, $h$ cinsinden de aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

$K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).$

İç teğet çemberin merkezi $I$ olan çift merkezli dörtgen $ABCD$'nin alanı için bir formül aşağıdaki gibidir: $K=AI\cdot CI+BI\cdot DI.$

Çift merkezli bir dörtgenin teğet kirişleri $k$, $l$ ve köşegenleri $p$, $q$ varsa, alanı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

$K={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2}}}.$

Eğer $k$, $l$ teğet kirişleri ve $m$, $n$ dörtgenin bimedyanlarıysa, alan aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.

$K=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl$

Dörtgen bir dik deltoid ise bu formül kullanılamaz, çünkü bu durumda payda sıfırdır.

$M$ ve $N$ köşegenlerin orta noktaları ve $E$ ve karşıt kenarların uzantılarının kesişme noktaları ise, çift merkezli bir dörtgenin alanı şu şekilde verilir:

$K={\frac {2MN\cdot EI\cdot FI}{EF}}$

burada $I$ iç teğet çemberin merkezidir.

Üç nicelik cinsinden formüller

Çift merkezli bir dörtgenin alanı, iki karşıt kenar ve köşegenler arasındaki $\theta$ açısı cinsinden ifade edilebilir. $K=ac\tan {\frac {\theta }{2}}=bd\cot {\frac {\theta }{2}}.$

İki komşu açı ve iç teğet çemberin yarıçapı $r$ cinsinden, alan aşağıdaki formül ile verilmiştir.

$K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {A}}}+{\frac {1}{\sin {B}}}\right).$

Alan, çevrel çemberin yarıçapı $R$ ve iç teğet çemberin yarıçapı $r$ cinsinden aşağıdaki şekilde verilebilir.

$K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta$

burada $\theta$, köşegenler arasındaki açıdır.

$M$ ve $N$ köşegenlerin orta noktaları ve $E$ ve $F$ karşıt kenarların uzantılarının kesişme noktaları ise, alan da şu şekilde ifade edilebilir:

$K=2MN{\sqrt {EQ\cdot FQ}}$

burada $Q$, iç teğet çemberin merkezinden geçen $EF$ doğrusuna dik olan ayağıdır.

Eşitsizlikler

Eğer $r$ ve $R$ sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevresel çemberin yarıçapı ise, $K$ alanı aşağıdaki eşitsizlikleri sağlar: $\displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.$

Sadece dörtgen bir kare ise her iki taraf için de eşitlik söz konusudur.

Alan için bir başka eşitsizlik ise

$K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}$'dir.

burada $r$ ve $R$ sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.

Alan için bir öncekinden daha keskin bir üst sınır veren benzer bir eşitsizlik ise: $K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})$'dir.

eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir dik deltoid ise geçerlidir.

Ek olarak, $a$, $b$, $c$, $d$ ve yarı çevre $s$ kenarları ile:

$2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};$

$6K\leq ab+ac+ad+bc+bd+cd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};$

$4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}{9}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}).$

Açı formülleri

$a$, $b$, $c$, $d$ sırasıyla $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ çift merkezli dörtgenin kenarlarına karşılık gelen uzunluklar ise, $ABCD$tepe açıları tanjant fonksiyonu ile hesaplanabilir: $\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},$

$\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.$

Aynı gösterimleri kullanarak, sinüs ve kosinüs fonksiyonları için aşağıdaki formüller geçerlidir: $\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},$

$\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},$

$\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},$

$\cos {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.$

Köşegenler arasındaki $\theta$ açısı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

$\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.$

İç yarıçap (inradius) ve dış yarıçap (circumradius)

Çift merkezli bir dörtgenin iç teğet çemberinin yarıçapı $r$, aşağıdaki ifadeye göre $a$, $b$, $c$, $d$ kenarlarıyla belirlenir.

$\displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}}{a+c}}={\frac {\sqrt {abcd}}{b+d}}.$

Çevrel çemberin yarıçapı $R$, Parameshvara formülünün özel bir durumu olarak aşağıda verilmiştir. $\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}.$

İç teğet çemberin yarıçapı, aşağıdaki formüle göre ardışık teğet uzunlukları $e$, $f$, $g$, $h$ cinsinden de ifade edilebilir:

$\displaystyle r={\sqrt {eg}}={\sqrt {fh}}.$

Bu iki formül gerçekte, iç teğet çemberinin yarıçapı $r$ olan bir teğetler dörtgeninin kirişler dörtgeni olması için gerekli ve yeterli koşullardır.

Çift merkezli bir dörtgenin dört kenarı $a$, $b$, $c$, $d$, dördüncü dereceden denklemin dört çözümüdür.

$y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2}-2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0$

burada $s$ yarı çevre, $r$ ve $R$ ise sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.

Teğet uzunlukları $e$, $f$, $g$, $h$ ve iç teğet çemberinin yarıçapı $r$ olan çift merkezli bir dörtgen varsa, teğet uzunlukları $e^{v}$, $f^{v}$, $g^{v}$, $h^{v}$ ve iç teğet çemberinin yarıçapı $r^{v}$ olan çift merkezli bir dörtgen vardır, burada $v$ herhangi bir gerçel sayı olabilir.

Çift merkezli bir dörtgen, aynı kenar uzunluk dizisine sahip diğer herhangi bir teğetler dörtgenine göre daha büyük bir yarıçapa sahiptir.

Eşitsizlikler

Çevrel çemberin yarıçapı $R$ ve iç teğet çemberin yarıçapı $r$ aşağıdaki eşitsizliği sağlar:

$R\geq {\sqrt {2}}r$

Bu eşitsizlik, L. Fejes Tóth tarafından 1948'de kanıtlanmıştır. Sadece iki çember eş merkezli olduğunda (birbirleriyle aynı merkeze sahip olduklarında) eşitlik geçerli olur; o zaman dörtgen bir karedir. Eşitsizlik, yukarıdaki alan için çifte eşitsizlik kullanılarak birkaç farklı şekilde kanıtlanabilir.

Önceki eşitsizliğin bir uzantısı

${\frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D}{2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1$

burada ancak ve ancak her iki tarafta da eşitlik olduğu zaman dörtgen bir karedir.

Bir çift merkezli dörtgenin yarı çevresi $s$, aşağıdaki eşitsizliği sağlar:

${\sqrt {8r\left({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r$

burada $r$ ve $R$ sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.

Ayrıca,

$2sr^{2}\leq abc+abd+acd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}$

ve

$abc+abd+acd+bcd\leq 2{\sqrt {K}}(K+2R^{2}).$

İç teğet çemberin merkezi (incenter) ve çevrel çemberin merkezi (circumcenter) arasındaki uzunluk

İç teğet çemberin merkezi $I$ ve çevrel çemberin merkezi $O$ ile bir ABCD çift merkezli dörtgeni

Fuss teoremi

Fuss teoremi, herhangi bir çift merkezli dörtgenin iç teğet çemberinin yarıçapı $r$ ve çevrel çemberinin yarıçapı $R$ ile iç teğet çemberinin merkezi $I$ ve çevrel çemberinin merkezi $O$ arasındaki $x$ uzunluğu arasında bir ilişki verir. Bu ilişki, aşağıdaki gibi ifade edilebilir: ${\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},$

veya eşdeğer olarak,

$\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.$

1792'de Leonhard Euler'in öğrencisi olan İsviçreli matematikçi Nicolaus Fuss (1755–1826) tarafından türetilmiştir. Denklemi $x$ için çözersek;

$x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.$

Üçgenler için Euler teoreminin analogu olan çift merkezli dörtgenler için Fuss teoremi, eğer bir dörtgen çift merkezli ise, iki ilişkili çemberin yukarıdaki denklemlere göre birbiriyle ilişkili olduğunu söyler. Aslında, tersi de geçerlidir: Fuss teoremindeki koşulu sağlayan merkezler arasında $R$ ve $r$ yarıçaplı ve iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık $x$ mesafeli iki çember (biri diğerinin içinde) verildiğinde, bunlardan birini çevreleyen ve diğerine içeriden teğet olan bir dışbükey dörtgen vardır. (ve sonra Poncelet kapanma teoremine göre, sonsuz sayıda vardır).

Fuss teoreminin ifadesinde $x$’in $r$ ve $R$ cinsinden ifade edilerek $x^{2}\geq 0$ uygulanması, yukarıda belirtilen eşitsizliği $R\geq {\sqrt {2}}r$ olarak elde etmenin başka bir yoludur. Bir genelleme aşağıdaki şekilde yapılabilir:

$2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.$

Carlitz özdeşliği

İç teğet çember ve çevrel çemberin merkezleri arasındaki mesafe $x$ için bir başka formül, Amerikan matematikçi Leonard Carlitz (1907-1999) tarafından verilmiştir. İfade aşağıdaki gibi yazılır:

$\displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu$

burada $r$ ve $R$, sırasıyla iç teğet çemberin ve çevrel çemberin yarıçapları ve

$\displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}$'dir.

Burada $a$, $b$, $c$, $d$, çift merkezli dörtgenin kenarlarıdır.

Teğet uzunlukları ve kenarlar için eşitsizlikler

Teğet uzunlukları $e$, $f$, $g$, $h$ için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:

$4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}$

ve

$4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})$

burada $r$ iç teğet çemberin yarıçapı, $R$ çevrel çemberin yarıçapı ve $x$, iç teğet çemberin merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki mesafedir. $a$, $b$, $c$, $d$ kenarları aşağıdaki eşitsizlikleri sağlar

$8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}$

ve

$4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).$

İç teğet çemberin merkezinin diğer özellikleri

Çevrel çemberin merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve çift merkezli dörtgenin köşegenlerinin kesişimleri aynı doğru üzerindedir yani doğrusaldır.

$I$ iç teğet çemberin merkezinden bir $ABCD$ çift merkezli dörtgeninin dört köşesine olan dört mesafe ile ilgili aşağıdaki eşitlik söz konusudur: ${\frac {1}{AI^{2}}}+{\frac {1}{CI^{2}}}={\frac {1}{BI^{2}}}+{\frac {1}{DI^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$

burada $r$ iç teğet çemberin yarıçapıdır.

Eğer $P$, iç teğet çemberinin merkezi $I$ olan bir çift merkezli dörtgen $ABCD$'nin köşegenlerinin kesişme noktası ise aşağıdaki eşitlik geçerlidir. ${\frac {AP}{CP}}={\frac {AI^{2}}{CI^{2}}}.$

Bir çift merkezli dörtgen $ABCD$ içinde, iç teğet çemberin yarıçapı $r$ ve çevrel çemberin yarıçapı $R$’ye ilişkin bir eşitsizlik aşağıdaki şekilde yazılabilir. $4r^{2}\leq AI\cdot CI+BI\cdot DI\leq 2R^{2}$

burada $I$, iç teğet çemberin merkezidir.

Köşegenlerin özellikleri

Çift merkezli bir dörtgende köşegenlerin uzunlukları, sırasıyla kirişler dörtgeni ve teğetler dörtgeninde sağlanan formüller olan kenarlar veya teğet uzunlukları cinsinden ifade edilebilir.

Köşegenleri $p$ ve $q$ olan çift merkezli bir dörtgende, aşağıdaki özdeşlik geçerlidir: $\displaystyle {\frac {pq}{4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1$

burada $r$ ve $R$ sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır. Bu eşitlik, aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: $r={\frac {pq}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}}$

veya köşegenlerin çarpımı için ikinci dereceden bir denklem olarak çözerek, aşağıdaki biçim elde edilir:

$pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).$

Çift merkezli bir dörtgende $p$ ve $q$ köşegenlerin çarpımı için bir eşitsizlik aşağıdaki gibidir: $\displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}$

burada $a$, $b$, $c$, $d$ kenarlardır. Bu eşitsizlik, 1967'de Amerikan matematikçi Murray S. Klamkin tarafından kanıtlanmıştır.

Bir çember üzerinde yer alan dört iç teğet çember merkezi

$ABCD$ bir çift merkezli dörtgen ve $O$, çevrel çemberin merkezi olsun. O zaman $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ gibi dört üçgenin iç teğet çemberlerinin merkezleri bir çember üzerinde yer alır.

Ayrıca bakınız

• Çift merkezli çokgen
• Dış teğetler dörtgeni