Gama fonksiyonu

Reel eksen boyunca gama fonksiyonu

Gama fonksiyonu matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }\,t^{z-1}\,e^{-t}dt$

$\Gamma (n)=(n-1)!$

Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tamsayı olmamalıdır,pozitif tamsayı olmalıdır.

Alıştırma

Öncelikle;

$(n+1)n!=(n+1)!$ eşitliğini ele alalım.

$n=0$ alırsak; $1.0!=1!=1$ olur.

Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.

$n=1/2$ alırsak;

$(3/2)(1/2)!=(3/2)!$ olması gerekir. Yani

$(3/2)(1/2)!=(3/2)!$→$(3/2)!/(1/2)!=3/2$ olmalıdır.

$\Gamma (n)=(n-1)!$' olduğundan;

$\Gamma (5/2)$→$(3/2)!$ 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine

$\Gamma (3/2)$→$(1/2)!$ işlemine karşılık gelmelidir.

${\begin{array}{lll}\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\end{array}}$

$\Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2$

Bu da

$\Gamma (5/2)/\Gamma (3/2)=3/2$→$(3/2)!/(1/2)!=3/2$ varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

Tanım

Ana Tanım

karmaşık düzlemle genişletilmiş Gama fonksiyonu

Bu çift $\Gamma (z)$ gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı z'nin gerçel kısmı (Re[z] > 0) şeklindedir. integral'i

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt$

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

$\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)\qquad {\text{(1)}}$

 n ! = n · (n − 1) ! faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }-e^{-t}|_{0}^{k}=-0-(-1)=1\qquad {\text{(2)}}$

Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor. Bütün n Doğal sayılar'ı için .

$\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=n\,(n-1)\,\Gamma (n-1)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,$

Karmaşık düzlem üzerinde Gama fonksiyonu'nun mutlak değeri.

$\Gamma (z)$ genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. z böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. ( z. = −nbasit kutbu ile rezidü (−1) ⁿ/n !).

Alternatif tanımlamalar

0 ve negatif tamsayılar dışında bütün kompleks sayılar z için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından

${\begin{aligned}\Gamma (z)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\\\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\\end{aligned}}$

burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki z nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi basitleştirilmiş şekli,

${\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n)^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n+1)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {(n)}{(z+n+1)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}$

değişik bir gösterim...

$\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!$

Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın terimleri içinde verilir;

$\Gamma (z)=t^{z}\cdot \sum _{n=0}{\frac {L_{n}^{(z)}(t)}{z+n}}$  ,   yakınsaklık için $\Re (z)<{\frac {1}{2}}$ olmalıdır.

• 
  Mutlak değer
• 
  Gerçel kısım
• 
  Sanal kısım

Özellikler

Pi fonksiyonu

Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen Pi fonksiyonu deniyor,gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

$\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t,$

böylece

her negatif olmayan n için.

$\Pi (n)=n!,$

Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

$\Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}$

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

$\Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z).$

ayrıca bazen

$\pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},$

bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur,çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(z) hiçbir kutuba sahip değildir, Π(z)de, Γ(z) gibi,sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap $r_{1},...,r_{n}$ ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

$V_{n}(r_{1},...,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi ({\frac {n}{2}})}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}$

Özel değerler

Ana madde: Gama fonksiyon'unun özel değerleri

${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2.363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0.886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1.329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3.323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Raabe formülü

1840 yılnda Raabe şunu kanıtladı,

$\int \limits _{a}^{a+1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a\geq 0.$

özel olarak, eğer $a=0$ ise

$\int \limits _{0}^{1}\log \Gamma (t)\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Beta fonksiyonu
• Bohr–Mollerup teoremi
• n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
• Digama fonksiyonu
• Elliptik gama fonksiyonu
• Faktöriyel
• Gamma dağılımı
• Gauss sabiti
• Gauss toplamı
• Lanczos yaklaşıklığı
• Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
• Pochhammer k-sembolü
• Poligama fonksiyonu
• Ters Gama fonksiyonu
• Trigama fonksiyonu

Kaynakça

• Bu makale, Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License altında lisanslanan ancak GFDL kapsamında olmayan Citizendium makalesi "Gama fonksiyonu"dan materyal içermektedir.

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
• Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
• Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959)
• Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003
• W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.

Dış bağlantılar

• Şablon:Dlmf
• Cephes - C and C++ language special functions math library
• Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Gamma function calculator
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
• Şablon:WolframFunctionsSite
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
• Computing the Gamma function - various algorithms
• Online tool to graph functions which contain the Gamma function
• Eric W. Weisstein, Gamma function (MathWorld)
• "Elementary Proofs and Derivations"
• "Transformations, Identities and Special Values"