Euler-Mascheroni sabiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematiksel Analiz'in sayı teorisi'nde Euler–Mascheroni sabiti' matematiksel sabit'tir .Yunan harfi γ (gama) ile gösterilir.

Harmonik seri ile Doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir.

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx.

sayısal değerin 50 basamağı:

0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …

\gamma ile e sayısı karıştırılmamalıdır e Euler sayısı,Doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir.

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

Sabit 1735'te isviçre'li matematikçi Leonhard Euler, De Progressionibus harmonicis observationes başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon C ve O dur. 1790'te, Italian matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon A ve a 'dır. γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi,daha sonra gamma fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı.Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.[1]

Tezahürleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür :

Bu tür için daha fazla bilgi,bkz: Gourdon ve Sebah (2004).rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

Kimliği[değiştir | kaynağı değiştir]

γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığıda bilinmiyorsürekli kesir'le rasyonel, γ paydası 10242080 'dan büyük olmalıdır.[kaynak belirtilmeli] Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur.Sondow'a bakınız (2003a).

Daha fazla bilgi için bakınız: Gourdon and Sebah (2002).

Gama fonksiyonu ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.:

 \ -\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1).

Bunun limiti:

 -\gamma = \lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\}
                = \lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z)   + \frac1{z} \right\}.

Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005):

 \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\} = 2\gamma
 \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\} = \frac{\pi^2}{3\gamma^2}.

beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu)

 \gamma = \lim_{n \to \infty} \left \{\frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right\}.
\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(\Gamma(k+1)).

Zeta fonksiyonu ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Pozitif tamsayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar:

\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\ 
 &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m}.\end{align}

zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi:

\begin{align} \gamma &= \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] \\
 &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\
 &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ].\end{align}

Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur.

Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998)

 \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right )

ve

\begin{align} \gamma  =   \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ).\end{align}

rasyonel zeta serisi ifadesi ilede yakında ilişkilidir.

\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n - 
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}

Burada ζ(s,k) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir., Hn. Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler:


H_n =  \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon , burada 0 < \varepsilon < \frac {1} {252n^6}.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Krämer 2005

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]