Digama fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
kompleks düzlem'de Digama fonksiyonu renkli bir noktasına karşı kodlanan değer . Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım

Integral Gösterimleri[değiştir | kaynağı değiştir]

integral gösterimi

şeklindedir.
reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

Taylor serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada

,

yakınsaklık için |z|<1. Burada, Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :

Burada binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

Özyineleme formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

burada Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

Gauss toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama'nın Gaussian toplam formu

şeklindedir.

Tamsayılar için . Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

ve genelleştirilmiş şekli

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

Hesaplama & yaklaşıklık[değiştir | kaynağı değiştir]

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

veya

n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.4
  • Eric W. Weisstein, Digamma function (MathWorld)

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Cephes - C and C++ language special functions math library
  • [1] - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1