Digama fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
kompleks düzlem'de  \psi(s) Digama fonksiyonu renkli bir  s noktasına karşı kodlanan değer  \psi(s) . Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya \digamma (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım

\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + 
\sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}

Integral Gösterimleri[değiştir | kaynağı değiştir]

integral gösterimi

\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt şeklindedir.
x reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz
\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{z}{n(n+z)} \right), z \neq -1, -2, -3, ...

Taylor serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada

\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k,

yakınsaklık için |z|<1. Burada, \zeta(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :

\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k}

Burada \textstyle{s \choose k} binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }

Özyineleme formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

\Delta [\psi] (x) = \frac{1}{x}

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

 \psi(n)\ =\ H_{n-1} - \gamma

burada \gamma\, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

\psi(x+1) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty 
\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k} \right)

Gauss toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama'nın Gaussian toplam formu

\frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k 
\sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) =
\zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = 
\frac{1}{2} - \frac{m}{k} şeklindedir.

Tamsayılar için 0<m<k. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve B_n(x) 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right)
 =-k(\gamma+\log k),

ve genelleştirilmiş şekli

\sum_{p=0}^{q-1}\psi(a+p/q)=q(\psi(qa)-\ln(q)),

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) 
-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
+2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil}
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
\ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)

Hesaplama & yaklaşıklık[değiştir | kaynağı değiştir]

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

 \psi(x) = ln(x) -\frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + O\left(\frac{1}{x^8}\right)

veya

 \psi(x) = ln(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}
 \psi(x) = ln(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B(2n)}{2n(x^{2n})}

n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve \zeta(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

 \psi(1) = -\gamma\,\!
 \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
  • Eric W. Weisstein, Digamma function (MathWorld)

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Cephes - C and C++ language special functions math library
  • [1] - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1