Gauss sabiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Matematikte, Gauss sabiti, G ile gösterilir,1 ve karekök 2 aritmetik-geometrik ortalama'sının tersi olarak tanımlanır.

 G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots

sabit 30 Mayıs, 1799 da keşfetmiş,olan Carl Friedrich Gauss'un adına atfedilmiştir.

 G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

so that

 G = \frac{1}{2\pi}\beta(\begin{matrix} \frac{1}{4}\end{matrix}, \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix})

burada β beta fonksiyonu'dur.

Diğer sabitlerle ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Gama fonksiyonu Gauss sabitinin kapalı formu olarak kullanılırsa değişkene 1/4 verildiğinde :

 \Gamma( \begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }

ve böylece π ve Γ(1/4) cebrik olmayan sayılardır, Gauss sabiti aşkın sayıdır.

Lemniscate sabiti[değiştir | kaynağı değiştir]

Gauss sabiti lemniskat sabitinin tanımında kullanılır , birincisi:

 L_1\;=\;\pi G

ve ikinci sabit:

 L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}

Bununla bir lemniskat'ın yay uzunluğu bulunur. .

Diğer formüller[değiştir | kaynağı değiştir]

Jacobi teta fonksiyonu'nun bir formülünün terimlerinin içerisinde G verilir.

G = \vartheta_{01}^2(e^{-\pi})

gibi hızlı yakınsak serisi

G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^{\infty} (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.

sonsuz çıkarım için

G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).

Gauss's sabiti için sürekli kesir'de [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].sayıları vardır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]