Gamma dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
Gamma
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Gamma dağılımları için olasılık yoğunluk fonksiyonlari grafiği
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Gamma dağılımları için yığmalı dağılım grafiği
Parametreler şekil (reel)
ölçek (reel)
Destek
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF)
Ortalama
Medyan basit kapalı form yok
Mod
Varyans
Çarpıklık
Fazladan basıklık
Entropi
Moment üreten fonksiyon (mf)
Karakteristik fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında gamma dağılımı iki parametreli bir sürekli olasılık dağılımıdir. Bu parametrelerden biri ölçek parametresi θ; diğeri ise şekil parametresi k olarak anılır. Eğer k tamsayı ise, gamma dağılımı k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder; rassal değişkenlerin her biri nin üstel dağılımı için parametre olur.

Karakteristikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir rassal değişken olan Xin θ ölçek parametresi ve k şekil parametresi ile tanımlanmış bir gamma dağılımı ile ifade edilmesi için şu notasyon kullanılır:

Olasılık yoğunluk fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde bir gamma fonksiyonu ile ifade edilebilir:

Bu çesit parametrelerle ifade edilme yukarıda verilen bilgi kutusunda ve grafiklerde kullanılmıştır.

Alternatif bir şekilde, gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir şekil parametresi ile ölcek parametresinin tersi olan oran parametresi kullanılarak şöyle elde edilir:

Eger bir pozitif tamsayı ise, o halde

Olasılık yoğunluk fonksiyonu her iki şekli de istatistikçiler tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır.

Yığmalı dağılım fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş gamma fonksiyonudur ve bir tamamlanmamış gamma fonksiyonu şeklinde şöyle ifade edilir:

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Toplama[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer i = 1, 2, ..., N için rassal değişken Xiin dağılımı bir Γ(αi, β) olursa; o halde

Ancak bütün Γ(αi, β) istatistiksel bağımsız olması gerekir.

Gamma dağılımı sonsuz bölünebilirlik özelliği gösterir.

Ölçekleme[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi bir t için tX bir Γ(k, tθ) dağılımı goösterir; bu ifade θnın bir ölçek parametresi olduğunu gösterir.

Üstel ailesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Gamma dağılımı iki-parametreli üstel ailesinin bir üyesidir ve doğal parametreler değerleri ve ; ve doğal istatistikleri ve olur.

Enformasyon entropisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Enformasyon entropisi şöyle verilir:

burada ψ(k) bir digama fonksiyonu olur.

Kullback–Leibler ayrılımı[değiştir | kaynağı değiştir]

'Gerçek' dağılım olan Γ(α0, β0) ile yaklaşık fonksiyon olan Γ(α, β) arasındaki yönlendirilmiş Kullback-Leibler ayrılması şu fonksiyonla verilir:

Laplace dönüşümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Gamma dağılımının Laplace dönüşümü şudur:

Parametre tahmini[değiştir | kaynağı değiştir]

Maksimum olabilirlilik tahmini[değiştir | kaynağı değiştir]

Birbirlerinden bagimsiz ve ayni dagilim gosteren N sayida gozlem , , , için olabilirlik fonksiyonu sudur:

Bundan bir log-olabilirlilik fonksiyonu turetilebiliriz:

Bunun 'ya gore maksimim değerini bulmak için bu log-olabilirlilik fonksiyonunun birinci turevini alip sifira esitlersek, θ parametresi için maksimum-olabilirlilik kestirimini buluruz:

BUnu tekrara log-degisebilirlilik fonksiyonuna koyarsak, elde edilen ifade su olur:

Bunu k'ye gore maksimumunu bulmak icin birinci turevini aliriz ve bunu sifira esitleriz. Sonus sudur:

Burada

olup bir digamam fonksiyonudur.

k icin kapali-sekilli bir cozum bulunmamaktadir. Bu fonksiyon numerik olarak, hesaplamaya uygun davranis gosterir ve bunun icin bir numerik cozum istenirse, ornegin numerik Newton Yontemi, sonuclar yeterli dakik olur. Bu numerik cozumler icin ilk değer ya "momentler metodu" kullanılarak bulunur ya da su yaklasim kullanilabilir:

Eger su ifadeyi kullanirsak

k yaklasik su degerdedir:

Bu genellikle gercek degerden +/- %1,5 hatali olabilecegi bulunmustur. Bu ilk tahminin Newton-Raphson yontemi icin iyilestirilmesi Choi ve Wette (1969) soyle verilmistir:

burada trigamma fonksiyonunu (yani digamma fonksiyonunun birinci turevini) ifade eder.

Digamma ve trigamma fonksiyonlarini cok dakiklikle hesaplamak guc olabilir. Fakat, su verilen yaklasim formulleri kullanarak birkaca onemli ondalikli sayiya kadar iyi yaklasim sayilarai bulmak imkâni vardir:

ve

Ayrintilar icin bakiniz Choi ve Wette (1969).

Bayes tipi minimum ortalama-kareli hata[değiştir | kaynağı değiştir]

Bilinen degerde k ve bilinmeyen degerde ', icin theta icin sonrasal olasilik yogunluk fonksiyonu ( icin standard olcek-degeistilmez oncel kullanarak) su elde edilir:

Su ifade verilsin

Bunun θ entegrasyonu degiskenlerin degistirilmesi yontemi kullanılarak mumkun olur. Bunun sonucunda 1/θ ifadesinin

parametreleri olan bir gamma dagilimi gosterdigi ortaya cikartilir.

Momentler (m ile m = 0) orantisi alinarak hesaplanabilir:

Buna gore theta'nin sonsal dagiligiminin ortalama +/- standart sapma kestiriminin soyle olur:

+/-

Gamma dağılım gösteren rassal değişken üretimi[değiştir | kaynağı değiştir]

İlişkili dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Özel dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • , then

-->

Diğerleri[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eger X bir Γ(k, θ) dagilimi gosterirse 1/X k ve θ−1

parametreleri olan bir ters-gamma dagilimi gosterir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • R. V. Hogg and A. T. Craig. Introduction to Mathematical Statistics, 4th ed. New York: Macmillan, 1978. (Bak Section 3.3.)
  • Eric W. Weisstein, Gamma distribution (MathWorld)
  • [1] Engineering Statistics El Kilavuzu.
  • S. C. Choi and R. Wette. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69