N-küre hacminin türevi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Geometri'de,bir küre'nin hacmi için bir özel durum n-boyutlu Euclid uzayı içindeki bir kürenin n-boyutlu hacmidir .

n-kürenin hacimlerinin türevleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel form (özyineleme formu)[değiştir | kaynağı değiştir]

n-kürenin yarıçapı r. olmak üzere V(n)[r] , n-küre

hacmi

V^{(1)}[r]=2r \,

Çünkü bu yarıçapın iki katı uzunlukta düz bir çizgidir i.e.

\{x\in\mathbb R:|x|\le r\}.

n ≥ 1 için:

V^{(n+1)}[r] = \int_{-r}^r V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-x^2}\,\right]\,dx.

ninci kuvvetten yarıçaplı hacim[değiştir | kaynağı değiştir]

ninci kuvvetten yarıçaplı n-küre'nin hacmini indüksiyon yoluyla gösterebiliriz .Tek boyutludan yararlanmak n boyutlu çıkarımlar için destek olur:

V^{(n)}[r] = r^nV^{(n)}[1]. \,

Buradan:

V^{(n+1)}[r] = \int_{-r}^r V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-x^2}\,\right] dx,
V^{(n+1)}[r] = r \int_{-1}^1 V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-(rx)^2}\,\right] \, dx,
V^{(n+1)}[r] = r \int_{-1}^1 V^{(n)}\left[r\sqrt{(1-x^2)}\,\right] dx,
V^{(n+1)}[r] = r \int_{-1}^1 r^n V^{(n)}\left[\sqrt{(1-x^2)}\,\right] dx = r^{n+1}V^{(n+1)}[1].

Biz şimdi bütün n ≥ 1,için ninci kuvvetten yarıçap uzunlukluklu n-kürenin hacmini; birim kürenin hacmini n-kürenin V^{(n)} ile gösterirsek:

V^{(n)}[r] = r^nV^{(n)}, \,
V^{(n+1)} = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\,\right)^nV^{(n)}\, dx,
V^{(n+1)} = V^{(n)}\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\,\right)^n\, dx.

İlk birkaç adım[değiştir | kaynağı değiştir]

V^{(2)} durumunda
V^{(2)} = V^{(1)}\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = 2\left.\frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x} 2 \right|_{x=-1}^1 = \pi,

birim çember bölgesinden,son türevler(çıkarımlar)'la,birim küre hacmi, kolayca:

V^{(3)} = V^{(2)} \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)dx = \frac 4 3 \pi.

Genel Durum[değiştir | kaynağı değiştir]

Genlleştirilmiş herhangi boyutta bir türevlerini denemek için:

V^{(n+1)} = V^{(n)} \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)^{n/2} dx
= V^{(n)} \cdot 2\int_0^1 \left(1-x^2\right)^{n/2} dx

Burada integrandın davranışını grafik yoluyla kolayca görselleştirebiliriz:

Hyperball.png

Görüldüğü gibi,hiperküre boyut sayısı arttıkça sıkıştıkça sıkışır.

u değişken değiştirmesi koyarak  = 1 − x2 :

x=\sqrt{1-u} \text{ ve } dx = \frac{-du}{2\sqrt{1-u}}
V^{(n+1)} = V^{(n)} \cdot 2\int_0^1 \left(1-x^2\right)^{n/2} \, dx
     = V^{(n)} \int_0^1 u^{n/2}(1-u)^{-1/2}\, du

integral'in sağı beta fonksiyonu olarak bilinir:

V^{(n+1)} = V^{(n)} \mathrm B\left(\frac n 2 + 1, \frac 1 2 \right),

gama fonksiyonu terimleri ilede gösterilebilir:

V^{(n+1)} = V^{(n)} \frac {\Gamma\left(\frac n 2 + 1\right)\Gamma\left( \frac 1 2 \right)} {\Gamma\left(\frac n 2 + \frac 3 2\right)}.

Bütün l n ≥ 1 için

\Gamma\left(\frac 1 2\right) = \sqrt \pi, den dolayı induksiyon'la kolayca doğrulanabilir:
V^{(n)} = \frac {\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}.

Genel form ve yüzey alanı[değiştir | kaynağı değiştir]

n-kürenin "yüzey alanı" ("n" − 1)-boyutlu (n − 1)-kürenin hacim ölçümü ,n-küre hacimli kürenin yarıçapı ile kolayca bulunabilir .

Bu nedenle n-küre yarıçapı r ile gösterirsek

V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} r^n}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)},

Buradan "yüzey alanı"

S^{(n-1)}[r] = \frac \partial{\partial r} V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} nr^{n-1}}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}
                    = \frac {2\pi^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma\left( \frac n 2 \right)}.

İleri genelleme[değiştir | kaynağı değiştir]

p ≠ 2 üzerindeki durumlarda integrasyon metodu,Lp uzay kürelere taşınmalıdır göründüğü gibi sorun pek kolay değil,bu problemin bilgi teorisi ve kodlama teorisi için çok büyük önemi vardır. Nükleer patlamalarda atomaltı kuvvetlerin kuvvetlerin simülasyonunda saçılma kesrinin Çok boyutlu hiperküre hacminin doğru ve titiz hesaplanmasıyla alakalıdır. Ayrıca, başlangıç ifadeler (n) karmaşık analitik sürekli oldukları için boyutsal düzenleme'de ve standart model'de temel parçacıklarla ilgili hesaplamalarda temel bir adım olarak kullanılır.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

ileri kaynak[değiştir | kaynağı değiştir]