Beta fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür, \textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0.\,

için bu özel fonksiyon'unun tanımı


 \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!


Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani


 \Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\!

yerine konulan Birçok diğer formlarıda vardır:


 \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\!

 \Beta(x,y) =
  2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta,
  \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!

 \Beta(x,y) =
  \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,
  \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!

 \Beta(x,y) =
  \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},
\!

 \Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!

 \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!


Burada \Gamma\, gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

\Gamma(1/2) = \sqrt \pi.

Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir .

Sadece tamsayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:

{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}.

Ayrıca her n tamsayısı için, \Beta\,'nın k sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

{n \choose k} = (-1)^n n! \cfrac{\sin (\pi k)}{\pi \prod_{i=0}^n (k-i)}.

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki[değiştir | kaynağı değiştir]

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;


 \Gamma(x)\Gamma(y) =
  \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv.
\!

Şimdi, u \equiv a^2, v \equiv b^2,yazalım,böylece

\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db \\
& {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,da \,db.
\end{align}
\!

Kutupsal koordinatlara dönüşümü a = r\cos\theta, b = r\sin\theta:

\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, dr \,d\theta \\
& {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, d\theta \\
& {} = \frac{1}{2}\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) 4\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) 2\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, d\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y).
\end{align}

Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:


 \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

f(u):=e^{-u} u^{x-1} 1_{\R_+} and g(u):=e^{-u} u^{y-1} 1_{\R_+}, sonuç kolayca:
\Gamma(x)\Gamma(y)=\left(\int_{\R}f(u)du\right)\left(\int_{\R}g(u)du\right)=\int_{\R}(f*g)(u)du=\Beta(x, y)\,\Gamma(x+y).

Türevleri[değiştir | kaynağı değiştir]

türevleri sırasıyla:

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

burada \ \psi(x) digama fonksiyonu'dur.

Integralleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

Yaklaşıklıklar[değiştir | kaynağı değiştir]

Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.

x büyük y büyük ise,

\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.

Tamamlanmamış beta fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

 \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasındada vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu ) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

 I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

a ve b tamsayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

 I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.

Binom dağılımı'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :

F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1).

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

 I_0(a,b) = 0 \,
 I_1(a,b) = 1 \,
 I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]