Beta fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
beta fonksiyonunun kontür çizimi
Pozitif x ve y degerleri için beta fonksiyonunun bir çizimi

Matematik'te, beta fonksiyonu, Euler integrali'nin ilk türüdür,

için bu özel fonksiyon'unun tanımı


Beta fonksiyonu Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre'ye adandı.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Beta fonksiyonu simetrik'tir, yani

yerine konulan Birçok diğer formlarıda vardır:


Burada gama fonksiyonu'dur.

özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,

.
.

Kartezyen Koordinatlar'daki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir .

Sadece tamsayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:

Ayrıca her tamsayısı için, 'nın sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki[değiştir | kaynağı değiştir]

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

Şimdi, , ,yazalım,böylece

Kutupsal koordinatlara dönüşümü , :

Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:

Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

and , sonuç kolayca:
.

Türevleri[değiştir | kaynağı değiştir]

türevleri sırasıyla:

burada digama fonksiyonu'dur.

Integralleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .

Yaklaşıklıklar[değiştir | kaynağı değiştir]

Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı'nı verir.

x büyük y büyük ise,

diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,

Tamamlanmamış beta fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diger sinirinin açik olmasi demektir. Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.

Tanımı

x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasındada vardır..

düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu ) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:

a ve b tamsayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

Binom dağılımı'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir ve burada :

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]