Bileşke fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara
Düzenle Bu madde, Vikipedi standartlarına uygun değildir ve bu nedenle düzenlenmesi gerekmektedir.
Maddeyi Vikipedi standartlarına uygun biçimde düzenleyip, geliştirerek Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.
Bu madde Mart 2007 tarihinden beri, düzenleme isteğiyle etiketlidir.
Bu maddeye veya bölüme, konu hakkında uzman birinin ilgi göstermesi gerekiyor.
Uzman birini bulmakta yardımcı olabilirsiniz; ya da mümkünse sayfayı kendiniz geliştirebilirsiniz.
Ayrıntılar için tartışma sayfasına bakınız.

Bileşke kuvvet, bir cisme uygulanan kuvvetlerin birleşimidir.

Eğer f, X kümesinden Y kümesine giden bir fonksiyonsa, g de Y kümesinden Z kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman g\circ f fonksiyonunu, her x\in X için,

(g\circ f)(x) = g(f(x))

kuralıyla tanımlanan X kümesinden Z kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona g ve f fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir. (İngilizcesi "composition").

Demek ki bileşke,

f: X\longrightarrow Y ve g: Y\longrightarrow Z

fonksiyonlarından,

g\circ f: X\longrightarrow Z

fonksiyonunu üretir.

Dikkat: g\circ f yazılımında f ve g'nin sıralamalarına dikkat edin!

İkinci Dikkat: g ve f fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için f fonksiyonunun varış kümesi, g fonksiyonunun kalkış kümesine eşit olmalıdır.

Eğer f, X kümesinden Y kümesine, g de Y kümesinden X kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem g\circ f : X \longrightarrow X fonksiyonundan, hem de f\circ g : Y \longrightarrow Y fonksiyonundan söz edebiliriz.

Bileşke, X'ten X'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk(X,\;X) kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu IdX, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca Fonk(X,\;X) kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Örnek: X = Y = Z = R (gerçel sayılar kümesi) olsun. f fonksiyonu f(x) = x2 ve g fonksiyonu g(x) = x + 1 olarak tanımlansın. O zaman,

(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1) = (x+1)^2

dir. Ama

(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2) = x^2+1

dir. Demek ki

f\circ g \neq g \circ f,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin - şimdi açıklayacağımız -- birleşme özelliği vardır:

X,\,Y,\,Z,\,T dört küme olsun.
f:X\longrightarrow Y,
g:Y\longrightarrow Z,
h:Z\longrightarrow T

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edebiliriz:

g\circ f: X \longrightarrow Z,
h\circ(g\circ f): X \longrightarrow T,
h\circ g: Y \longrightarrow T,
(h\circ g)\circ f: X \longrightarrow T.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)

eşitliği geçerlidir. Bunu kanıtlayalım. X kümesinden herhangi bir x elemanı alalım ve her iki fonksiyonu da bu x elemanında değerlendirelim.

((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ g)(f(x))= h(g(f(x)))

ve

(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x)) = h(g(f(x))).

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan, sol tarafları da eşittir, yani

((h\circ g)\circ f)(x)= (h\circ (g\circ f))(x).

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani (h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f) eşitliği çıkar.

"http://tr.wikipedia.org/wiki/Bile%C5%9Fke_fonksiyon"'dan alındı