Birleşme özelliği

Birleşme, bir küme üzerine tanımlanmış ikili işlemlerin ayırt edici özelliklerinden biridir. Bu özelliği sağlayan ikili işlemlere birleşmeli işlem denir. Açık olarak bu özellik, (xy)z = x(yz) demektedir, yani üç elemanı "çarparken" işlem sırasının önemli olmadığını söylemektedir, bir başka deyişle birleşme özelliği işlem yaparken paranteze gerek olmadığını söylemektedir. Örneğin tamsayılar kümesi Z üzerine tanımlanmış olan toplama işlemi birleşmeli bir işlemdir ancak çıkarma işlemi birleşmeli değildir, çünkü $(x+y)+z=x+(y+z)$ eşitliği her $x,\, y,\, z$ için sağlanmasına karşın, $(x-y)-z=x-(y-z)$ eşitliği $z \neq 0$ için sağlanmaz.

Üç $x,\,y,\,z$ elemanı için geçerli olan bu özellik elbet $n$ tane eleman için de geçerlidir. Örneğin $(xy)(zt) = ((xy)z)t=(x(yz))t = x(y(zt))$.

$\star$, X kümesi üzerine bir ikili işlem ise ve her $x,\, y, z \in X$ için $(x\star y)\star z = x \star (y \star z)$ ise, $\star$ ikili işleminin birleşmeli işlem olduğu söylenir. Toplama, çarpma gibi cebirde rastlanan işlemlerin birçoğu birleşme özelliğini sağlar. Ancak çıkarma işlemi (tamsayılar kümesi üzerinde) birleşmeli işlem değildir çünkü $x-(y-z)$ sayısı eğer z, 0'a eşit değilse $(x-y)-z$'ye eşit değildir.

Birleşme özelliği sağlayan yapılarda işlemler yapılırken parantez gerekmez. Bu yüzden $(x\star y)\star z$ ve $x \star (y \star z)$ yerine, $x\star y \star z$ yazılır. Aynı şey dört eleman çarpılırken de geçerlidir: Birleşme özelliğini sağlayan bir işlem sözkonusu olduğunda, $(x\star y)\star (z\star t)$, $(x\star (y\star z))\star t$, $x\star ((y\star z))\star t)$, gibi çarpımlar parantezsiz olarak $x\star y\star z\star t$ olarak yazılır.

Birleşme özelliğini sağlamayan yapılarda $x^3$ elemanını tanımlamak bile sorun olabilir, nitekim bu eleman $x\star (x\star x)$ olarak tanımlanabileceği gibi $(x\star x)\star x$ olarak da tanımlanabilir. $x^4$ için çok daha fazla seçenek olabilir.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşme işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer $f,\, g\in$ Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her $x\in X$ için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır.

Cebirde ender olsa da birleşme özelliğini sağlamayan işlemler önemli olabilir. Örneğin Lie cebirlerindeki köşeli parantez işlemi birleşmeli değildir. Öte yandan Lie cebirlerinde köşeli parantez işlemi, Jacobi eşitliği sayesinde, birazcık olsun birleşme özelliğini sağlar.

Kümelerde Birleşim İşareti

kümelerde birleşme işareti "U" şekilindedir.İki ya da daha çok kümenin elemanlarını bir araya getirme işlemidir. A ve B iki küme ise bu iki kümenin birleşimi A U B şeklinde gösterilir.

örneğin: A = { 1, 3, 5, 7 }, B = { 3, a, b } ise A U B kümesini liste yöntemi ile gösterelim A U B={1,3,5,7,a,b}

Örnekler

• Her öbek birleşmelidir.
• Her Halka için işlemler kendi içinde birleşmelidir.
• Her Cisim için işlemler kendi içinde birleşmelidir.
• Dizeyler dizey çarpması işlemine göre birleşmelidir.
• Yöney Çarpımı birleşmeli bir işlem değildir.

$a \times (b \times c) \neq (a \times b) \times c$

$a \cdot (b \times c) = (a \times b) \cdot c$.

Birleşmesiz

S deki $*$ ikili işlemi, birleşme yasasına uymuyorsa buna birleşmesiz (İngilizcesi non-associative) diyoruz. Sembolik olarak,

$\mbox{Bazı } x,y,z\in S \mbox { için, } (x*y)*z\ne x*(y*z)\qquad.$

Değerlendirme sırası işlemi için sorun değildir. Örneğin:

• Çıkarma

$(5-3)-2\ne 5-(3-2)$

• Bölme

$(4/2)/2\ne 4/(2/2)$

• üs alma

$2^{(1^2)}\ne (2^1)^2$

Sonlu toplamanın genellikle ilişkili olmadığına dikkat edin. Örneğin:

$(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\dots=0$

Benzer şekilde

$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+\dots=1$