Asal sayı: Revizyonlar arasındaki fark

Etkileşimli olarak geçmişe göz at

[kontrol edilmiş revizyon]

← Önceki sürümle aradaki fark Sonraki sürümle aradaki fark →

İçerik silindi İçerik eklendi

GörselVikimetin

Satır içi

Sayfanın 21.48, 8 Mart 2024 tarihindeki hâli

İki ile on iki arasındaki noktaların grupları, bileşik sayıların (4, 6, 8, 9, 10 ve 12) dikdörtgen şekillerde düzenlenebildiğini fakat asal sayıların bu düzenlemeye uygun olmadığını gösterir — Bileşik sayılar, dikdörtgen biçimlerine düzenlenebilirken, asal sayıların bu biçimde düzenlenmesi mümkün değildir.

Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım (2 × 2) şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Bir sayının asal oluş özelliği, asallık olarak tanımlanır. Verilen bir $n$ sayısının asallığını denetlemek için kullanılan basit fakat zaman alıcı bir yöntem olan asallık testi, $n$ sayısının 2 ile ${\sqrt {n}}$ arasındaki herhangi bir tam sayıya katı olup olmadığını sınar. Daha hızlı algoritmalar arasında, hızlı olmasına karşın küçük bir hata payı barındıran Miller–Rabin asallık testi ve her zaman polinom zamanında doğru sonucu veren fakat pratikte uygulanabilirliği sınırlı olan AKS asallık testi yer alır. Mersenne sayıları gibi özel biçimlere sahip sayılar için özellikle hızlı yöntemler mevcuttur. (Aralık 2018 (2018-12) itibarıyla), bilinen en büyük asal sayı, 24,862,048 ondalık basamağa sahip bir Mersenne asalıdır.^[1]

M.Ö. 300 civarında Öklid tarafından ispatlandığı gibi, asal sayılar sonsuz bir kümedir. Asal sayılar ile bileşik sayıları birbirinden ayıran kesin ve basit bir formül bulunmamaktadır. Bununla birlikte, doğal sayılar arasındaki asal sayıların dağılımı, genel olarak istatistiksel yöntemlerle modellenebilir. Bu bağlamda elde edilen ilk önemli sonuç, 19. yüzyılın sonlarında ispatlanan asal sayı teoremidir; bu teori, büyük bir sayının rastgele seçilmesi durumunda asal olma olasılığının, sayının basamak sayısına, yani logaritmasına ters oranlı olduğunu ifade eder.

Asal sayılara ilişkin tarihsel bazı sorular henüz çözüme kavuşturulmamıştır. Bu sorular içerisinde her 2'den (En küçük asal sayı 2'dir.^[2]) büyük çift tam sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ileri süren Goldbach'ın hipotezi ve ikişer rakam aralıkla sınırsız sayıda ikiz asal sayı çiftinin var olduğunu iddia eden ikiz asal hipotezi yer almaktadır. Bu tür sorular, sayıların analitik ve cebirsel boyutları üzerine yoğunlaşan sayı teorisi alanlarının gelişimini hızlandırmıştır. Asal sayılar, bilgi teknolojisi alanında, özellikle de büyük sayıların asal çarpanlara ayrılmasının güçlüğüne dayanan açık anahtarlı kriptografi gibi çeşitli işlemlerde kullanılmaktadır. Soyut cebirde, asal sayılara genelleştirilmiş bir biçimde benzeyen yapılar arasında asal elemanlar ve asal idealler sayılabilir.

Tanım ve örnekler

Bir doğal sayı (1, 2, 3, 4, 5, 6, vb.), 1'den büyük olması ve kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilememesi durumunda asal sayı olarak nitelendirilir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayılar adı verilir.^[3] Diğer bir ifadeyle, eğer $n$ sayısı, kendinden küçük birden fazla eşit parçaya bölünemez ise,^[4] ya da $n$ kadar nokta tam bir dikdörtgen olarak şekillendirilemez ise^[5], $n$ bir asal sayıdır.

Örneğin, 1 ile 6 arasındaki sayılar içinde, 2, 3 ve 5 sayıları asal sayılardır,^[6] zira bu sayıları kendinden başka tam bölebilen (kalan bırakmaksızın) başka bir sayı yoktur. 1 sayısı, tanım gereği asal olarak kabul edilmez. 4 = 2 × 2 ve 6 = 2 × 3 her ikisi de bileşik sayı kategorisindedir.

Bir doğal sayı $n$ 'in bölenleri, $n$ sayısını eşit olarak bölebilen doğal sayılardır. Her doğal sayı, kendisi ve 1 olmak üzere iki temel bölene sahiptir. Eğer bir sayının bu ikisinden başka bir böleni varsa, asal sayı olamaz. Bu durum, asal sayıların alternatif bir tanımını sunar: Yalnızca iki pozitif bölene sahip olan sayılar asal sayılardır. Bu iki bölen, 1 ve sayının kendisidir. Tek bir bölene sahip olan 1 sayısı, bu tanım çerçevesinde asal kabul edilmez.^[7] Aynı kavramı başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bir sayı $n$ , 1'den büyükse ve $2,3,\dots ,n-1$ sayılarından hiçbiri $n$ sayısını eşit bölmezse, o sayı asaldır.^[8]

İlk 25 asal sayı (100'den küçük tüm asal sayılar) şunlardır:^[9]

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (OEIS'de A000040 dizisi).

2'den büyük hiçbir çift sayı $n$ asal olamaz çünkü herhangi bir böyle sayı $2\times n/2$ olarak ifade edilebilir. Bu nedenle, 2 dışındaki her asal sayı bir tek sayıdır ve tek asal olarak adlandırılır.^[10] Benzer şekilde, alışılagelmiş ondalık sistemde yazıldığında, 5'ten büyük tüm asal sayılar 1, 3, 7 veya 9 ile biter. Diğer rakamlarla biten sayılar hep bileşiktir: 0, 2, 4, 6 veya 8 ile biten ondalık sayılar çifttir ve 0 veya 5 ile biten ondalık sayılar 5'e bölünebilir.^[11]

Tüm asalların kümesi bazen $\mathbf {P}$ (kalın harflerle büyük bir P)^[12] veya $\mathbb {P}$ (tahtaya yazı tipiyle büyük bir P) ile gösterilir.^[13]

Tarihçe

M.Ö. 1550 civarından kalan Rhind Papirüsü, asal ve bileşik sayılar için farklı formdaki Mısır kesri genişlemelerini içerir.^[14] Ancak, asal sayıların incelenmesine dair en eski kayıtlar antik Yunan matematikçilerinden gelmektedir, onlar bu sayılara prōtos arithmòs (Grekçe: πρῶτος ἀριθμὸς) demektedirler. Öklid'in Elementleri (M.Ö. 300 civarı) asal sayıların sonsuzluğunu ve aritmetiğin temel teoremini kanıtlar ve bir Mersenne sayısından nasıl bir mükemmel sayı oluşturulacağını gösterir.^[15] Başka bir Yunan icadı olan Eratosten kalburu, asal sayı listeleri oluşturmak için hala kullanılmaktadır.^[16]^[17]

Miladi 1000 yıllarında, İslam dönemi matematikçisi İbnü'l-Heysem, asal sayıları, $(n-1)!+1$ ifadesini tam bölünebilen $n$ sayıları olarak tanımlayan Wilson teoremi'ni buldu. Ayrıca, tüm çift mükemmel sayıların Öklid'in Mersenne asallarını kullanarak yapılan inşasından geldiğini öne sürdü ancak bunu kanıtlayamadı.^[18] Bir diğer İslam dönemi matematikçisi, Ibn al-Banna' al-Marrakushi, Eratosten kalburunun, üst sınırın kareköküne kadar olan asal bölenleri dikkate alarak hızlandırılabileceğini gözlemledi.^[17] Fibonacci, İslami matematikten gelen yenilikleri Avrupa'ya taşıdı. Onun kitabı Liber Abaci (1202), asallığı test etmek için deneme bölmesini tanımlayan ilk eser oldu ve yine kareköküne kadar olan bölenleri kullanmayı önerdi.^[17]

1640 senesinde, Pierre de Fermat tarafından ispatı yapılmamış olmasına rağmen ortaya atılan Fermat'nın küçük teoremi, sonradan Leibniz ve Euler tarafından ispatlanmıştır.^[19] Fermat, $2^{2^{n}}+1$ formülüyle ifade edilen Fermat sayılarının asallık özelliklerini araştırmış,^[20] Marin Mersenne ise $p$ 'nin asal olduğu durumlarda $2^{p}-1$ formunda tanımlanan Mersenne asallarını incelemiştir.^[21] Goldbach, Euler'e yazdığı 1742 tarihli mektupta, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öneren Goldbach hipotezini dile getirmiştir. Euler, tüm çift mükemmel sayıların Mersenne asalları kullanılarak oluşturulabileceğini gösteren Heysem varsayımını (günümüzde Öklid–Euler teoremi olarak adlandırılır) kanıtlamıştır.^[22] Euler ayrıca, asal sayıların sonsuz olduğunu ve asal sayıların terslerinin toplamının diverjansını, ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots$ , matematiksel analiz metodolojilerini bu alana taşıyarak kanıtlamıştır.^[23] 19. yüzyılın başlarında, Legendre ve Gauss, $x$ sonsuza yaklaştıkça, $x$ 'e kadar olan asal sayıların sayısının, $x/\log x$ ile asimptotik olduğunu tahmin etmişlerdir, burada $\log x$ , $x$ 'in doğal logaritmasıdır. Asal sayıların bu yüksek yoğunluğunun bir zayıf sonucu Bertrand'ın postülatı idir; bu postülat her $n>1$ için, $n$ ile $2n$ arasında bir asal sayı olduğunu öne sürer ve 1852'de Pafnuty Chebyshev tarafından kanıtlanmıştır.^[24] Bernhard Riemann'ın 1859 tarihli zeta-fonksiyonu üzerine yazdığı makalesindeki fikirleri, Legendre ve Gauss'un tahminini kanıtlamak için bir çerçeve çizdi. Yakından ilgili olan Riemann hipotezi hala kanıtlanmamış olmasına rağmen, Riemann'ın çizdiği çerçeve 1896'da Hadamard ve de la Vallée Poussin tarafından tamamlandı ve sonuç şimdi asal sayılar teoremi olarak bilinmektedir.^[25] 19. yüzyılın başka bir önemli sonucu Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi idi, belirli aritmetik dizilerin sonsuz çoklukta asal sayı içerdiğini belirtir.^[26]

Deneme bölmesinin pratikte uygulanabilir olduğu sayılardan daha büyük sayılar için birçok matematikçi asallık testi üzerinde çalışmıştır. Belirli sayı formlarına sınırlı yöntemler arasında Fermat sayıları için Pépin testi (1877),^[27] Proth teoremi (yaklaşık 1878),^[28] Lucas–Lehmer asallık testi (1856'da ortaya çıktı) ve genelleştirilmiş Lucas asallık testi bulunmaktadır.^[17]

Bilgisayarla yapılan asallık testlerinin ve çarpanlara ayırma işleminin artan pratik önemi, kısıtlama olmaksızın büyük sayılarla başa çıkabilen gelişmiş yöntemlerin geliştirilmesine yol açtı.^[16]^[29]^[30] Asal sayılar teorisinin matematiksel gelişimi, asal sayıların keyfi olarak uzun aritmetik dizilerinin olduğunu belirten Green–Tao teoremi (2004) ve Yitang Zhang'ın 2013'te sınırlı büyüklükte sonsuz çoklukta asal boşluklarının olduğunun kanıtı ile de ileriye taşındı.^[31]

1 sayısının asallığı

Antik Yunanlıların çoğu, başlangıçta 1'i bir sayı olarak bile kabul etmemiştir,^[32]^[33] dolayısıyla asallığını tartışmaları mümkün değildi. Nicomachus, Iamblichus, Boethius ve Cassiodorus gibi birkaç Yunan ve sonraki Roma geleneği alimi, asal sayıları tek sayıların bir alt bölümü olarak kabul ettiği için, 2'yi de asal olarak kabul etmemişlerdir. Ancak, Öklid ve diğer birçok Yunan matematikçisi 2'yi asal olarak kabul etmiştir. Ortaçağ İslam matematikçileri genellikle Yunanlıların görüşlerini takip ederek 1'i bir sayı olarak görmemişlerdir.^[32] Orta Çağ ve Rönesans boyunca matematikçiler 1'i bir sayı olarak kabul etmeye başlamış ve bazıları onu ilk asal sayı olarak dahil etmiştir.^[34] 18. yüzyılın ortalarında Christian Goldbach, Leonhard Euler ile olan yazışmalarında 1'i asal olarak listelemiştir; ancak, Euler kendisi 1'i asal olarak kabul etmemiştir.^[35] 19. yüzyılda birçok matematikçi hala 1'i asal olarak kabul etmiş,^[36] ve 1'i içeren asal sayı listeleri en son 1956 yılında yayımlanmıştır.^[37]^[38]

Bir sayının asal olarak tanımlanması değiştirilip 1 asal olarak kabul edilseydi, asal sayılarla ilgili birçok ifade daha zor bir şekilde yeniden formüle edilmek zorunda kalırdı. Örneğin, aritmetiğin temel teoremi, her sayının 1'in istenilen sayıda kopyasıyla çeşitli faktörizasyonları olacağı için, 1'den büyük asallara göre faktörizasyonlar açısından yeniden ifade edilmek zorunda kalırdı.^[36] Benzer şekilde, Eratosthenes kalburu 1'i bir asal olarak ele alırsa doğru çalışmazdı çünkü 1'in tüm katlarını (yani, tüm diğer sayıları) elemek ve sadece 1 sayısını çıkarmak zorunda kalırdı.^[38] Asal sayıların bazı diğer daha teknik özellikleri de 1 numarası için geçerli değildir: örneğin, Euler'in totient fonksiyonu veya bölenler toplamı fonksiyonu için formüller asal sayılar için 1 ile farklıdır.^[39] 20. yüzyılın başlarında, matematikçiler 1'in asal olarak listelenmemesi, ancak daha çok "birim" olarak kendi özel kategorisinde yer alması gerektiği konusunda anlaşmaya başladılar.^[36]

1 sayısı

1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır.^[40] Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.^[41]^[42]^[43]

Asal oturanlar

Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.

Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:
23244 = 2² × 3 × 13 × 149

ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik asal çarpanlara ayırma algoritmaları vardır.

İkiz asallar

Aralarındaki fark iki olan asal sayılar hakkındaki ikiz asallar konjektürü.

Örneğin:

(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)
(59, 61)
(71, 73)
(101, 103)
(107, 109)

Chen asalları

Bir a asal sayısı (a+2) biçiminde yazıldığında asal ya da yarı asal oluyorsa a değeri, Chen asalı olarak adlandırılmaktadır. İkiz asallarda, küçük sayı^[44] aynı zamanda Chen asalıdır.

Asal örnekler:

a = 5 $\Rightarrow$ 5 + 2 = 7
a = 11 $\Rightarrow$ 11 + 2 = 13

Yarı asal örnekler:

a = 2 $\Rightarrow$ 2 + 2 = 4 $\land$ 2 × 2 = 4
a = 7 $\Rightarrow$ 7 + 2 = 9 $\land$ 3 × 3 = 9

Mersenne asalları

Bir a doğal sayısı (2^a – 1) biçiminde yazıldığında hesaplanan değer Mersenne sayısı, asal oluyorsa aynı zamanda Mersenne asalı olarak adlandırılmaktadır. Mersenne asalları hesaplanırken, a sayısı da^[45] asal olarak alınmaktadır. Ancak a sayısının asal olarak alındığı bazı durumlarda, bileşik Mersenne sayıları hesaplanabilmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 2^82,589,933 − 1, Mersenne asalıdır.

Mersenne asalları:

2² – 1 = 3
2⁵ – 1 = 31

Bileşik Mersenne sayıları:

2¹¹ – 1 = 2047

Goldbach hipotezi

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi, doğru gözükmesine rağmen halen ispatlanamamıştır. "Her çift (2 hariç) sayı iki asal sayının toplamı mıdır?"

Örneğin:

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11
16 = 3 + 13
18 = 5 + 13
20 = 3 + 17
22 = 3 + 19
24 = 5 + 19
26 = 7 + 19
28 = 5 + 23
30 = 7 + 23
32 = 3 + 29
34 = 5 + 29
36 = 7 + 29

Riemann hipotezi

Asal sayıların doğal sayılar içerisindeki dağılımı hakkındaki hipotezdir.

Ayrıca bakınız

Sayı sistemleri

Karmaşık

:\;\mathbb {C}

Reel

:\;\mathbb {R}

Rasyonel

:\;\mathbb {Q}

Tam sayı

:\;\mathbb {Z}

Doğal

:\;\mathbb {N}

Sıfır: 0

Bir: 1

Sonlu ondalık sayı
İkili (sonlu ikili)
Devirli ondalık sayı

Kaynakça

^ Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; GIMPS-2018 isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)
^ "Arşivlenmiş kopya". 12 Nisan 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Nisan 2020.
^ Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. s. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
^ Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide. 2nd. Routledge. s. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.
^ Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. s. 16. OCLC 6975809. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
^ Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. s. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
^ Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory. 2nd. W.H. Freeman and Co. s. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.
^ Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31. Elsevier. s. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
^ Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414-416. MR 2039814.
^ Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. s. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.
^ Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. s. 40. MR 0170843. Geçersiz |url-erişimi=limited (yardım)
^ Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.
^ Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (2.2yayıncı=John Wiley & Sons bas.). s. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.
^ Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4). ss. 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458.
^ Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. 3rd. Springer. s. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
^ ^a ^b Pomerance, Carl (December 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6). ss. 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.
^ ^a ^b ^c ^d Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1). ss. 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor Matematik Tarihi arşivi
^ Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45
^ Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. s. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.
^ Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. s. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
^ Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. 4 (2nd bas.). World Scientific. s. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
^ Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. s. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.
^ Tchebychev, P. (1852). "Asal Sayılar Üzerine Bir Bellek" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (Fransızca): 366–390. . (Postulatın kanıtı: 371–382). Ayrıca bkz. Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, cilt 7, sayfa 15–33, 1854
^ Apostol, Tom M. (2000). "Asal sayı teoreminin yüzyıllık tarihi". Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (Ed.). Sayı Teorisi. Matematikte Eğilimler. Basel: Birkhäuser. ss. 1–14. MR 1764793.
^ Apostol, Tom M. (1976). "7. Aritmetik Dizilerdeki Asallar Üzerine Dirichlet Teoremi". Analitik Sayı Teorisi'ne Giriş. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. ss. 146–156. MR 0434929.
^ Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. s. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.
^ Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (4th bas.). Addison-Wesley. s. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.
^ Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. s. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.
^ Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. s. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.
^ Neale 2017, ss. 18, 47.
^ ^a ^b Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "The history of the primality of one: a selection of sources". Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523. For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.
^ Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy. 39. Brill. ss. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.
^ Caldwell et al. 2012, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.
^ Caldwell et al. 2012, s. 15.
^ ^a ^b ^c Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). "What is the smallest prime?" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530.
^ Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2nd bas.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. s. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250.
^ ^a ^b Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. ss. 129–130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
^ Totient için bkz. Sierpiński 1988, s. 245. Bölenlerin toplamı için bkz. Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. s. 59. ISBN 978-0-88385-563-8.
^ Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 1986. s 31.<[1] 29 Mart 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.>
^ Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. ss. 118. ISBN 0-19-285361-9. The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes
^ ""Why is the number one not prime?" 9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.". Retrieved 2007-10-02.
^ ""Arguments for and against the primality of 1 25 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.".
^ "Chen Asalı". Chen Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 15 Mart 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023.
^ "Mersenne Asalı". Mersenne Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 11 Mayıs 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023.

[GIMPS-2018-1] Kaynak hatası: Geçersiz <ref> etiketi; GIMPS-2018 isimli refler için metin sağlanmadı (Bkz: Kaynak gösterme)

[2] "Arşivlenmiş kopya". 12 Nisan 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Nisan 2020.

[Gardiner_1997-3] Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. s. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

[Henderson_2014-4] Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide. 2nd. Routledge. s. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.

[Adler_1960-5] Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. s. 16. OCLC 6975809. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

[Leff_2000-6] Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. s. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

[Dudley_1978-7] Dudley, Underwood (1978). "Section 2: Unique factorization". Elementary number theory. 2nd. W.H. Freeman and Co. s. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0.

[Sierpiński_1988-8] Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31. Elsevier. s. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.

[ziegler-9] Ziegler, Günter M. (2004). "The great prime number record races". Notices of the American Mathematical Society. 51 (4): 414-416. MR 2039814.

[Stillwell_1997-10] Stillwell, John (1997). Numbers and Geometry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. s. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.

[Sierpiński_1964-11] Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Macmillan. s. 40. MR 0170843. Geçersiz |url-erişimi=limited (yardım)

[Nathanson_2000-12] Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notations and Conventions". Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 195. Springer. ISBN 978-0-387-22738-2. MR 1732941.

[Faticoni_2012-13] Faticoni, Theodore G. (2012). The Mathematics of Infinity: A Guide to Great Ideas. Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. 111 (2.2yayıncı=John Wiley & Sons bas.). s. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.

[Bruins_1974-14] Bruins, Evert Marie, review in Mathematical Reviews of Gillings, R.J. (1974). "The recto of the Rhind Mathematical Papyrus. How did the ancient Egyptian scribe prepare it?". Archive for History of Exact Sciences. 12 (4). ss. 291–298. doi:10.1007/BF01307175. MR 0497458.

[stillwell-2010-p40-15] Stillwell, John (2010). Mathematics and Its History. 3rd. Springer. s. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.

[pomerance-sciam-16] Pomerance, Carl (December 1982). "The Search for Prime Numbers". Scientific American. 247 (6). ss. 136–147. Bibcode:1982SciAm.247f.136P. doi:10.1038/scientificamerican1282-136. JSTOR 24966751.

[mollin-17] Mollin, Richard A. (2002). "A brief history of factoring and primality testing B. C. (before computers)". Mathematics Magazine. 75 (1). ss. 18–29. doi:10.2307/3219180. JSTOR 3219180. MR 2107288.

[18] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor Matematik Tarihi arşivi

[19] Sandifer 2007, 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45

[Sandifer_2014-20] Sandifer, C. Edward (2014). How Euler Did Even More. Mathematical Association of America. s. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.

[Koshy_2002-21] Koshy, Thomas (2002). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. s. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.

[Yuan_2002-22] Yuan, Wang (2002). Goldbach Conjecture. Series In Pure Mathematics. 4 (2nd bas.). World Scientific. s. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.

[Narkiewicz_2000-23] Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Sum of Reciprocals of Primes". The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer Monographs in Mathematics. Springer. s. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.

[24] Tchebychev, P. (1852). "Asal Sayılar Üzerine Bir Bellek" (PDF). Journal de mathématiques pures et appliquées. Série 1 (Fransızca): 366–390. . (Postulatın kanıtı: 371–382). Ayrıca bkz. Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, cilt 7, sayfa 15–33, 1854

[25] Apostol, Tom M. (2000). "Asal sayı teoreminin yüzyıllık tarihi". Bambah, R.P.; Dumir, V.C.; Hans-Gill, R.J. (Ed.). Sayı Teorisi. Matematikte Eğilimler. Basel: Birkhäuser. ss. 1–14. MR 1764793.

[26] Apostol, Tom M. (1976). "7. Aritmetik Dizilerdeki Asallar Üzerine Dirichlet Teoremi". Analitik Sayı Teorisi'ne Giriş. New York; Heidelberg: Springer-Verlag. ss. 146–156. MR 0434929.

[27] Chabert, Jean-Luc (2012). A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip. Springer. s. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.

[28] Rosen, Kenneth H. (2000). "Theorem 9.20. Proth's Primality Test". Elementary Number Theory and Its Applications (4th bas.). Addison-Wesley. s. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.

[29] Bauer, Craig P. (2013). Secret History: The Story of Cryptology. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press. s. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.

[30] Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. Dolciani mathematical expositions. 11. Cambridge University Press. s. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.

[neale-18-47-31] Neale 2017, ss. 18, 47.

[crxk-34-32] Caldwell, Chris K.; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "The history of the primality of one: a selection of sources". Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.8. MR 3005523. For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.

[33] Tarán, Leonardo (1981). Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary. Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy. 39. Brill. ss. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.

[34] Caldwell et al. 2012, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.

[35] Caldwell et al. 2012, s. 15.

[cx-36] Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (2012). "What is the smallest prime?" (PDF). Journal of Integer Sequences. 15 (9): Article 12.9.7. MR 3005530.

[37] Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2nd bas.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. s. 36. doi:10.1007/978-1-4612-0251-6. ISBN 978-0-8176-3743-9. MR 1292250.

[cg-bon-129-130-38] Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. ss. 129–130. doi:10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 978-0-387-97993-9. MR 1411676. Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)

[39] Totient için bkz. Sierpiński 1988, s. 245. Bölenlerin toplamı için bkz. Sandifer, C. Edward (2007). How Euler Did It. MAA Spectrum. Mathematical Association of America. s. 59. ISBN 978-0-88385-563-8.

[40] Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, 1986. s 31.<[1] 29 Mart 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.>

[41] Gowers, T (2002). Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford University Press. ss. 118. ISBN 0-19-285361-9. The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes

[42] ""Why is the number one not prime?" 9 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.". Retrieved 2007-10-02.

[43] ""Arguments for and against the primality of 1 25 Ağustos 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.".

[44] "Chen Asalı". Chen Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 15 Mart 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023.

[45] "Mersenne Asalı". Mersenne Prime. Wolfram MathWorld. 24 Ocak 2023. 11 Mayıs 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Şubat 2023.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

@@ 29. satır: / 29. satır: @@
 M.Ö. 1550 civarından kalan [[Rhind Papirüsü]], asal ve bileşik sayılar için farklı formdaki [[Mısır kesri]] genişlemelerini içerir.{{r|Bruins_1974}} Ancak, asal sayıların incelenmesine dair en eski kayıtlar [[Yunan matematiği|antik Yunan matematikçilerinden]] gelmektedir, onlar bu sayılara {{transl|grc|prōtos arithmòs}} ({{dil|grc|πρῶτος ἀριθμὸς}}) demektedirler. [[Öklid]]'in ''[[Öklid'in Elementleri|Elementleri]]'' (M.Ö. 300 civarı) asal sayıların [[Öklid teoremi|sonsuzluğunu]] ve [[aritmetiğin temel teoremi]]ni kanıtlar ve bir [[Mersenne sayısı]]ndan nasıl bir [[mükemmel sayı]] oluşturulacağını gösterir.{{r|stillwell-2010-p40}} Başka bir Yunan icadı olan [[Eratosten kalburu]], asal sayı listeleri oluşturmak için hala kullanılmaktadır.{{r|pomerance-sciam}}{{r|mollin}}
+Miladi 1000 yıllarında, [[Orta Çağ İslam matematiği|İslam dönemi]] matematikçisi [[İbnü'l-Heysem]], asal sayıları, <math>(n-1)!+1</math> ifadesini tam bölünebilen <math>n</math> sayıları olarak tanımlayan [[Wilson teoremi]]'ni buldu. Ayrıca, tüm çift mükemmel sayıların Öklid'in Mersenne asallarını kullanarak yapılan inşasından geldiğini öne sürdü ancak bunu kanıtlayamadı.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham|mode=cs1}}</ref> Bir diğer İslam dönemi matematikçisi, [[Ibn al-Banna' al-Marrakushi]], Eratosten kalburunun, üst sınırın kareköküne kadar olan asal bölenleri dikkate alarak hızlandırılabileceğini gözlemledi.<ref name="mollin"/> [[Fibonacci]], İslami matematikten gelen yenilikleri Avrupa'ya taşıdı. Onun kitabı ''[[Liber Abaci]]'' (1202), asallığı test etmek için [[deneme bölmesi]]ni tanımlayan ilk eser oldu ve yine kareköküne kadar olan bölenleri kullanmayı önerdi.<ref name="mollin"/>
+senesinde, [[Pierre de Fermat]] tarafından ispatı yapılmamış olmasına rağmen ortaya atılan [[Fermat'nın küçük teoremi]], sonradan [[Leibniz]] ve [[Euler]] tarafından ispatlanmıştır.<ref>{{harvnb|Sandifer|2007}}, [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA45 8. Fermat's Little Theorem (November 2003), p. 45]</ref> Fermat, <math>2^{2^n}+1</math> formülüyle ifade edilen [[Fermat sayıları]]nın asallık özelliklerini araştırmış,{{r|Sandifer_2014}} [[Marin Mersenne]] ise <math>p</math>'nin asal olduğu durumlarda <math>2^p-1</math> formunda tanımlanan Mersenne asallarını incelemiştir.{{r|Koshy_2002}} [[Goldbach]], Euler'e yazdığı 1742 tarihli mektupta, her çift sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öneren [[Goldbach hipotezi]]ni dile getirmiştir. Euler, tüm çift mükemmel sayıların Mersenne asalları kullanılarak oluşturulabileceğini gösteren Heysem varsayımını (günümüzde [[Öklid–Euler teoremi]] olarak adlandırılır) kanıtlamıştır.{{r|Yuan_2002}} Euler ayrıca, asal sayıların sonsuz olduğunu ve asal sayıların terslerinin toplamının diverjansını, <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{11}+\cdots</math>, matematiksel analiz metodolojilerini bu alana taşıyarak kanıtlamıştır.{{r|Narkiewicz_2000}}
+. yüzyılın başlarında, [[Legendre]] ve [[Gauss]], <math>x</math> sonsuza yaklaştıkça, <math>x</math>'e kadar olan asal sayıların sayısının, <math>x/\log x</math> ile [[Asimptotik analiz|asimptotik]] olduğunu tahmin etmişlerdir, burada <math>\log x</math>, <math>x</math>'in [[doğal logaritması]]dır. Asal sayıların bu yüksek yoğunluğunun bir zayıf sonucu [[Bertrand'ın postülatı]] idir; bu postülat her <math>n > 1</math> için, <math>n</math> ile <math>2n</math> arasında bir asal sayı olduğunu öne sürer ve 1852'de [[Pafnuty Chebyshev]] tarafından kanıtlanmıştır.<ref>{{cite journal|first=P. |last=Tchebychev |author-link=Pafnuty Chebyshev |title=Asal Sayılar Üzerine Bir Bellek. |journal=Journal de mathématiques pures et appliquées |series=Série 1 |year=1852 |pages=366–390 |url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1852_1_17_A19_0.pdf |language=fr}}. (Postulatın kanıtı: 371–382). Ayrıca bkz. Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, cilt 7, sayfa 15–33, 1854</ref> [[Bernhard Riemann]]'ın [[Verilen Büyüklükten Küçük Asal Sayıların Sayısı Üzerine|1859 tarihli zeta-fonksiyonu üzerine yazdığı makalesindeki]] fikirleri, Legendre ve Gauss'un tahminini kanıtlamak için bir çerçeve çizdi. Yakından ilgili olan [[Riemann hipotezi]] hala kanıtlanmamış olmasına rağmen, Riemann'ın çizdiği çerçeve 1896'da [[Jacques Hadamard|Hadamard]] ve [[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]] tarafından tamamlandı ve sonuç şimdi [[asal sayılar teoremi]] olarak bilinmektedir.<ref>{{cite book | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol | editor1-last = Bambah | editor1-first = R.P. | editor2-last = Dumir | editor2-first = V.C. | editor3-last = Hans-Gill | editor3-first = R.J. | contribution = Asal sayı teoreminin yüzyıllık tarihi | location = Basel | mr = 1764793 | pages = 1–14 | publisher = Birkhäuser | series = Matematikte Eğilimler | title = Sayı Teorisi | contribution-url = https://books.google.com/books?id=aiDyBwAAQBAJ&pg=PA1 | year = 2000}}</ref> 19. yüzyılın başka bir önemli sonucu [[Dirichlet'in aritmetik diziler üzerine teoremi]] idi, belirli [[aritmetik dizi]]lerin sonsuz çoklukta asal sayı içerdiğini belirtir.<ref>{{cite book | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol | contribution = 7. Aritmetik Dizilerdeki Asallar Üzerine Dirichlet Teoremi | contribution-url = https://books.google.com/books?id=3yoBCAAAQBAJ&pg=PA146 | location = New York; Heidelberg | mr = 0434929 | pages = 146–156 | publisher = Springer-Verlag | title = Analitik Sayı Teorisi'ne Giriş | year = 1976 }}</ref>
+Deneme bölmesinin pratikte uygulanabilir olduğu sayılardan daha büyük sayılar için birçok matematikçi [[asallık testi]] üzerinde çalışmıştır. Belirli sayı formlarına sınırlı yöntemler arasında Fermat sayıları için [[Pépin testi]] (1877),<ref>{{cite book|title=A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip|first=Jean-Luc|last=Chabert|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-3-642-18192-4|page=261|url=https://books.google.com/books?id=XcDqCAAAQBAJ&pg=PA261}}</ref> [[Proth teoremi]] (yaklaşık 1878),<ref>{{cite book|title=Elementary Number Theory and Its Applications|first=Kenneth H.|last=Rosen|edition=4th|publisher=Addison-Wesley|year=2000|isbn=978-0-201-87073-2|contribution=Theorem 9.20. Proth's Primality Test|page=342}}</ref> [[Lucas–Lehmer asallık testi]] (1856'da ortaya çıktı) ve genelleştirilmiş [[Lucas asallık testi]] bulunmaktadır.<ref name="mollin"/>
+Bilgisayarla yapılan asallık testlerinin ve çarpanlara ayırma işleminin artan pratik önemi, kısıtlama olmaksızın büyük sayılarla başa çıkabilen gelişmiş yöntemlerin geliştirilmesine yol açtı.<ref name="pomerance-sciam"/><ref>{{cite book|title=Secret History: The Story of Cryptology|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=978-1-4665-6186-1|page=468|url=https://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA468}}</ref><ref>{{cite book|title=Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory|volume=11|series=Dolciani mathematical expositions|first1=Victor|last1=Klee|author1-link=Victor Klee|first2=Stan|last2=Wagon|author2-link=Stan Wagon|publisher=Cambridge University Press|year=1991|isbn=978-0-88385-315-3|page=224|url=https://books.google.com/books?id=tRdoIhHh3moC&pg=PA224}}</ref> Asal sayılar teorisinin matematiksel gelişimi, asal sayıların keyfi olarak uzun aritmetik dizilerinin olduğunu belirten [[Green–Tao teoremi]] (2004) ve [[Yitang Zhang]]'ın 2013'te sınırlı büyüklükte sonsuz çoklukta [[asal boşluk]]larının olduğunun kanıtı ile de ileriye taşındı.<ref name="neale-18-47">{{harvnb|Neale|2017}}, ss. 18, 47.</ref>
+=== 1 sayısının asallığı ===
+Antik Yunanlıların çoğu, başlangıçta 1'i bir sayı olarak bile kabul etmemiştir,<ref name="crxk-34">{{cite journal | last1 = Caldwell | first1 = Chris K. | last2 = Reddick | first2 = Angela | last3 = Xiong | first3 = Yeng | last4 = Keller | first4 = Wilfrid | issue = 9 | journal = [[Journal of Integer Sequences]] | mr = 3005523 | page = Article 12.9.8 | title = The history of the primality of one: a selection of sources | url = https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell2/cald6.html | volume = 15 | year = 2012 }} For a selection of quotes from and about the ancient Greek positions on the status of 1 and 2, see in particular pp. 3–4. For the Islamic mathematicians, see p. 6.</ref><ref>{{cite book|title=Speusippus of Athens: A Critical Study With a Collection of the Related Texts and Commentary|volume=39|series=Philosophia Antiqua : A Series of Monographs on Ancient Philosophy|first=Leonardo|last=Tarán|publisher=Brill|year=1981|isbn=978-90-04-06505-5|pages=35–38|url=https://books.google.com/books?id=cUPXqSb7V1wC&pg=PA35}}</ref> dolayısıyla asallığını tartışmaları mümkün değildi. Nicomachus, Iamblichus, Boethius ve Cassiodorus gibi birkaç Yunan ve sonraki Roma geleneği alimi, asal sayıları tek sayıların bir alt bölümü olarak kabul ettiği için, 2'yi de asal olarak kabul etmemişlerdir. Ancak, Öklid ve diğer birçok Yunan matematikçisi 2'yi asal olarak kabul etmiştir. Ortaçağ İslam matematikçileri genellikle Yunanlıların görüşlerini takip ederek 1'i bir sayı olarak görmemişlerdir.<ref name="crxk-34"/> Orta Çağ ve Rönesans boyunca matematikçiler 1'i bir sayı olarak kabul etmeye başlamış ve bazıları onu ilk asal sayı olarak dahil etmiştir.<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, pp. 7–13. See in particular the entries for Stevin, Brancker, Wallis, and Prestet.</ref> 18. yüzyılın ortalarında [[Christian Goldbach]], [[Leonhard Euler]] ile olan yazışmalarında 1'i asal olarak listelemiştir; ancak, Euler kendisi 1'i asal olarak kabul etmemiştir.<ref>{{harvnb|Caldwell|Reddick|Xiong|Keller|2012}}, s. 15.</ref> 19. yüzyılda birçok matematikçi hala 1'i asal olarak kabul etmiş,<ref name="cx"/> ve 1'i içeren asal sayı listeleri en son 1956 yılında yayımlanmıştır.<ref>{{cite book | last=Riesel | first=Hans | author-link= Hans Riesel | title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization | publisher=Birkhäuser | location=Basel, Switzerland | isbn=978-0-8176-3743-9 | year=1994|page=36|edition=2nd|mr=1292250|url=https://books.google.com/books?id=ITvaBwAAQBAJ&pg=PA36 | doi=10.1007/978-1-4612-0251-6 }}</ref><ref name="cg-bon-129-130">{{cite book | last1=Conway | first1=John Horton | author1-link=John Horton Conway | last2=Guy | first2=Richard K. | author2-link=Richard K. Guy | title=The Book of Numbers | url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw | url-access=registration | publisher=Copernicus | location=New York | isbn=978-0-387-97993-9 | year=1996 | pages = [https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw/page/129 129–130] | mr=1411676 | doi=10.1007/978-1-4612-4072-3 }}</ref>
+Bir sayının asal olarak tanımlanması değiştirilip 1 asal olarak kabul edilseydi, asal sayılarla ilgili birçok ifade daha zor bir şekilde yeniden formüle edilmek zorunda kalırdı. Örneğin, aritmetiğin temel teoremi, her sayının 1'in istenilen sayıda kopyasıyla çeşitli faktörizasyonları olacağı için, 1'den büyük asallara göre faktörizasyonlar açısından yeniden ifade edilmek zorunda kalırdı.<ref name="cx">{{cite journal | last1 = Caldwell | first1 = Chris K. | last2 = Xiong | first2 = Yeng | issue = 9 | journal = [[Journal of Integer Sequences]] | mr = 3005530 | page = Article 12.9.7 | title = What is the smallest prime? | url = https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.pdf | volume = 15 | year = 2012}}</ref> Benzer şekilde, [[Eratosthenes kalburu]] 1'i bir asal olarak ele alırsa doğru çalışmazdı çünkü 1'in tüm katlarını (yani, tüm diğer sayıları) elemek ve sadece 1 sayısını çıkarmak zorunda kalırdı.<ref name="cg-bon-129-130"/> Asal sayıların bazı diğer daha teknik özellikleri de 1 numarası için geçerli değildir: örneğin, [[Totient|Euler'in totient fonksiyonu]] veya [[Bölenler toplamı fonksiyonu|bölenler toplamı fonksiyonu]] için formüller asal sayılar için 1 ile farklıdır.<ref>Totient için bkz. {{harvnb|Sierpiński|1988}}, [https://books.google.com/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA245 s. 245]. Bölenlerin toplamı için bkz. {{cite book|title=How Euler Did It|series=MAA Spectrum|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=978-0-88385-563-8|page=59|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&pg=PA59}}</ref> 20. yüzyılın başlarında, matematikçiler 1'in asal olarak listelenmemesi, ancak daha çok "[[Birim (halka teorisi)|birim]]" olarak kendi özel kategorisinde yer alması gerektiği konusunda anlaşmaya başladılar.<ref name="cx"/>
 == 1 sayısı ==
@@ 311. satır: / 326. satır: @@
 | jstor = 3219180
 }}</ref>
+<ref name="Sandifer_2014">{{cite book
+|title=How Euler Did Even More
+|first=C. Edward
+|last=Sandifer
+|publisher=Mathematical Association of America
+|year=2014
+|isbn=978-0-88385-584-3
+|page=42
+|url=https://books.google.com/books?id=3c6iBQAAQBAJ&pg=PA42}}</ref>
+<ref name="Koshy_2002">{{cite book
+|title=Elementary Number Theory with Applications
+|first=Thomas
+|last=Koshy
+|publisher=Academic Press
+|year=2002
+|isbn=978-0-12-421171-1
+|page=369
+|url=https://books.google.com/books?id=-9pg-4Pa19IC&pg=PA369}}</ref>
+<ref name="Yuan_2002">{{cite book
+|title=Goldbach Conjecture
+|edition=2nd
+|volume=4
+|series=Series In Pure Mathematics
+|first=Wang
+|last=Yuan
+|publisher=World Scientific
+|year=2002
+|isbn=978-981-4487-52-8
+|page=21
+|url=https://books.google.com/books?id=g4jVCgAAQBAJ&pg=PA21}}</ref>
+<ref name="Narkiewicz_2000">{{cite book
+|title=The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood
+|series=Springer Monographs in Mathematics
+|first=Wladyslaw
+|last=Narkiewicz
+|publisher=Springer
+|year=2000
+|isbn=978-3-540-66289-1
+|page=11
+|contribution=1.2 Sum of Reciprocals of Primes
+|contribution-url=https://books.google.com/books?id=VVr3EuiHU0YC&pg=PA11}}</ref>
 }}

g t d Sayılar teorisi
Alanlar	Cebirsel sayı teorisi Analitik sayı teorisi Geometrik sayı teorisi Hesaplamalı sayı teorisi Transandantal sayı teorisi Diophantine geometrisi Aritmetik kombinatorikler Aritmetik geometri Aritmetik topoloji Aritmetik dinamikler
Anahtar kavramlar	Sayılar Doğal sayılar Asal sayılar Rasyonel sayılar İrrasyonel sayılar Cebirsel sayılar Transandantal sayılar p-sel sayılar Aritmetik Modüler aritmetik Aritmetik fonksiyonlar
Gelişmiş kavramlar	İkinci derece (Kuadratik) biçimler Modüler biçimler L-fonskiyonları Diophantine denklemleri Diophantine yaklaştırımı Sürekli kesirler
Kategori Konuların listesi Rekreasyonel konuların listesi Wikibook (en) Wikversity (en)