Cebirsel sayılar

Kenar uzunlukları birim uzunluk olan bir dik-üçgen hipotenüsünün uzunluğu (karekök 2), cebirsel bir sayı örneğidir.

Cebirsel sayılar, rasyonel (veya bununla eş değer olarak, tam sayı) katsayıları olan tek değişkenli sıfırdan farklı bir polinomun kökü olarak ifade edilebilen sayılardır. Mesela, altın oran, $(1+{\sqrt {5}})/2$, cebirsel bir sayı örneğidir çünkü x² − x − 1 polinomunun bir köküdür. Bu durumda, söz konusu polinomun değerinin sıfıra eşitlendiği x değeridir. Diğer bir örnek olarak, $1+i$ biçimindeki karmaşık sayı, x⁴ + 4 polinomunun bir kökü olduğundan dolayı cebirsel sayı olarak kabul edilir.

Tüm tam ve rasyonel sayılar, cebirsel sayıların birer örneğidir; bunun yanında, tam sayıların köklerini içeren sayılar da cebirsel niteliktedir. π ve e gibi, cebirsel olmayan reel ve karmaşık sayılar, transandantal sayı olarak tanımlanmaktadır.

Cebirsel sayılar kümesi, sayılabilir sonsuz bir yapıya sahiptir ve sayılamaz karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesi olarak, Lebesgue ölçümü çerçevesinde ölçüsü sıfır değerindedir. Bu bağlamda, karmaşık sayıların büyük çoğunluğu transandantal karakterdedir.

Örnekler

• Tüm rasyonel sayılar, cebirsel sayı kategorisindedir. Bir tam sayı a ile sıfırdan farklı bir doğal sayı b'nin oranı olarak ifade edilen her rasyonel sayı, önceden belirtilen tanımı karşılar çünkü x = a/b ifadesi, sıfırdan farklı bir polinomun, özellikle bx − a polinomunun, köküdür.
• Tam sayı katsayılarına sahip ax² + bx + c kuadratik polinomunun irrasyonel çözümleri olan kuadratik irrasyonel sayılar, cebirsel sayılardır. Eğer kuadratik polinom monik karakterdeyse (a = 1), bu kökler kuadratik tam sayı olarak nitelendirilir.
  • Her iki a ve b değeri de tam sayı olan karmaşık sayılar a + bi, Gauss tam sayıları olarak adlandırılır ve kuadratik tam sayılardır. Bunun nedeni, a + bi ve a − bi'nin, x² − 2ax + a² + b² kuadratik denkleminin iki kökü olmasıdır.
• Bir cetvel ve pergel kullanılarak belirlenmiş bir birim uzunluktan hareketle oluşturulabilecek sayılara çizilebilir sayı denir. Tüm kuadratik irrasyonel kökleri, tüm rasyonel sayıları ve bu sayıların temel aritmetik işlemler ve karekök çıkarma kullanılarak oluşturulabilen tüm sayıları içerir. (Karmaşık sayılar için +1, -1, +i, ve -i yönlerinin belirlenmesiyle, $3+i{\sqrt {2}}$ gibi sayılar çizilebilir olarak düşünülür.)
• Temel aritmetik işlemler ve n'inci kök çıkarımı kullanılarak cebirsel sayılardan türetilen herhangi bir ifade, bir başka cebirsel sayıyı meydana getirir.
• Temel aritmetik işlemler ve n'inci kök çıkarımı aracılığıyla açıklanamayan polinom kökleri (mesela, x⁵ − x + 1 gibi polinomların kökleri) bulunmaktadır. Bu durum, 5 veya daha yüksek dereceli pek çok polinom için mümkündür ancak tümü için geçerli değildir.
• π'nin rasyonel çarpanları ile oluşturulan açıların trigonometrik fonksiyonlar değerleri (tanımsız oldukları durumlar hariç): örneğin, cos π/7, cos 3π/7, ve cos 5π/7, 8x³ − 4x² − 4x + 1 = 0 polinomunu karşılar. Bu polinom, rasyonel sayılar üzerinde indirgenemezdir ve dolayısıyla söz konusu üç kosinüs, eşlenik cebirsel sayılar olarak nitelendirilir. Aynı şekilde, tan 3π/16, tan 7π/16, tan 11π/16, ve tan 15π/16 sayıları, indirgenemez x⁴ − 4x³ − 6x² + 4x + 1 = 0 polinomunu sağladığı için, eşlenik cebirsel tam sayılardır. Bu, derecelerle ölçüldüğünde rasyonel sayılara denk gelen açıların bir eşdeğeridir.
• İrrasyonel sayıların bir kısmı cebirsel olabilirken, bir kısmı cebirsel olmayabilir:
  • Örneğin, ${\sqrt {2}}$ ve ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ sayıları, sırasıyla x² − 2 ve 8x³ − 3 polinomlarının kökü oldukları için cebirsel sayılar kategorisindedir.
  • φ simgesi ile gösterilen altın oran, x² − x − 1 polinomunun bir kökü olması nedeniyle cebirsel bir sayıdır.
  • π ve e gibi sayılar, cebirsel sayılar kategorisinde yer almazlar (bu konu hakkında daha fazla bilgi için Lindemann–Weierstrass teoremine bakınız).

Ayrıca bakınız

Sayı sistemleri Karmaşık $:\;\mathbb {C}$ Reel $:\;\mathbb {R}$ Rasyonel $:\;\mathbb {Q}$ Tam sayı $:\;\mathbb {Z}$ Doğal $:\;\mathbb {N}$ Sıfır: 0 Bir: 1 Asal sayılar Bileşik sayılar Negatif tam sayılar Kesir Sonlu ondalık sayı İkili (sonlu ikili) Devirli ondalık sayı İrrasyonel Cebirsel irrasyonel Aşkın Sanal

Kaynakça

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886 
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, Edward M. (1972), An introduction to the theory of numbers (5th bas.), Oxford: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990) [1st ed. 1982], A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd bas.), Berlin: Springer, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716 
• Lang, Serge (2002) [1st ed. 1965], Algebra (3rd bas.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Niven, Ivan M. (1956), Irrational Numbers, Mathematical Association of America 
• Ore, Øystein (1948), Number Theory and Its History, New York: McGraw-Hill