Liouville sayısı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Sayı teorisinde, bir Liouville sayıları bir irrasyonel sayı x özellikleri ile, her pozitif tamsayı n için, burada p ve q ile q > 1 tamsayıları var ve böylece

0<  \left |x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^{n}}.

Bir Liouville sayısı böylece "çok yakından" rasyonel sayıların bir dizisi ile yakınsanabilir. 1844'de, Joseph Liouville gösterdiki tüm Liouville sayıları aşkın sayılar'dır, böylece ilk zaman için aşkın sayıların varlığını kurar .

Liouville sayılarının (Liouville sabiti) kurulumu[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada Liouville sayılar gibi sayılar üreten bir kurulum sergileyerek var olduğu gösteriliyor.

herhangi tamsayı b ≥ 2 için, ve herhangi (a1 tamsayısının dizisia2, …, ), böylece ak ∈ {0, 1, 2, …, b - 1}, ∀k ∈ {1, 2, 3, …}, sayıların tanımı

x = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}\;

(Özel durumda b = 10, ve ak = 1, ∀k ∈ {1, 2, 3, …}, Elde edilen sayı x sabiti denir.)

x ki onun taban-b tanımından gösterimi

x = (0.a_1a_2000a_300000000000000000a_4000...)_b\;.

Nedeniyle bu taban-b gösterimi tekrarlamayan aşağıdaki x rasyonel olamaz. Bunun için, herhangi p/q rasyonel sayısı için elimizde olan |x − p/q | > 0.

Şimdi,herhangi tamsayı n ≥ 1 için, qn tanımı ve pn olarak aşağıda:

q_n = b^{n!}\,; \quad p_n = q_n \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}} \; .

İse,

0 < \left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=(n+1)!}^\infty \frac{b-1}{b^k} = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^k} = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\cdot\frac{b}{b-1} = \frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}} = \frac{1}{{q_n}^n}\,,

...burada bu son eşitlik aslında aşağıdadıır

n\cdot n! = n\cdot n! + n! - n! = (n+1)! - n!\;.

Bunun için, bizim conclude herhangi x gibi bir sonucumuz Liouville sayısıdır.

Sayılamazlık[değiştir | kaynağı değiştir]

Örnek için bu sayıları düşünelim,

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 sıfır)1(17 sıfır)5(95 sıfır)9(599 sıfır)2... burada rakamlar π'nin ondalık açılımı içinde ondalık noktaların ninci rakamı burada n! rakamına eşit konumu içinde sıfır varlığıdır .

Liouville sayılarının varlığı üzerindeki kesiti içinde gösterilen, bu sayılar, hemde başka bir sonlanamayan ondalık sıfır-dışı rakamlarla benzer durulardır ve bir Liouville sayılarının tanımı doyurucudur. Bu nedenle boş-olmayan rakamların tüm dizilerinin kümesi has the sürekliliğinin önem düzeyi aynı oluşan şey tüm Liouville sayılarının kümesinde var.

Dahası, Liouville sayıları gerçek sayıların kümesinin yoğun altküme formudur.

Liouville sayıları ve ölçümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Ölçüm teorisinin bakış açısından,tüm Liouville sayıları Lin kümesi küçüktür. Daha kesin bir ifadeyle, onun Lebesgue ölçümü sıfırdır. John C. Oxtoby tarafından bazı fikirler aşağıda kanıt olarak verilmiştir.[1]:8

pozitif n > 2 tamsayıları veq ≥ 2 kümesi:

V_{n,q}=\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)

elimizde olan

L\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty V_{n,q}.

Araştırılan her pozitif n ≥ 2 vem ≥ 1 tamsayı için , ayrıca elimizde olan

L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty V_{n,q}\cap(-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-mq}^{mq} \left( \frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right).

Nedeniyle

\left|\left(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)-\left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}\right)\right|=\frac{2}{q^n}

ve n > 2 ile

m(L\cap (-m,\, m))\leq\sum\limits_{q=2}^\infty\sum_{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n}=\sum\limits_{q=2}^\infty\frac{2(2mq+1)}{q^n}\leq (4m+1)\sum\limits_{q=2}^\infty\frac{1}{q^{n-1}}\leq (4m+1)\int^\infty_1\frac{dq}{q^{n-1}}\leq\frac{4m+1}{n-2}.

Şimdi

\lim_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0

ve onun aşağıda bu her pozitif tamsayısı m için, L ∩ (−m, m) Lebesgue ölçümü sıfırdır. Kanıt için, böylece L vardır.

Karşıt olarak, tüm gerçek aşkın sayıların T kümesinin Lebesgue ölçümü sonsuzdur (bu nedenle T bir boş kümenin tamamlayıcısıdır).

Aslında, LinHausdorff boyutu sıfırdır, bu Lin bu Hausdorff ölçümü ifadesi tüm dimension d > 0 boyutlar için sıfırdır.[1] Hausdorff dimension of L under other dimension functions has also been investigated.[2]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category. Graduate Texts in Mathematics. 2 (2nd bas.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90508-1. 
  2. ^ L. Olsen and Dave L. Renfro (February 2006). "On the exact Hausdorff dimension of the set of Liouville numbers. II". Manuscripta Mathematica 119 (2): 217–224. doi:10.1007/s00229-005-0604-z. 

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]