Dizinin limiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
n n sin(1/n)
1 0,841471
2 0,958851
...
10 0,998334
...
100 0,999983

n pozitif tam sayısı çok çok büyük olursa, n sin(1/n) hemen hemen 1'e yaklaşır. Bu durumda "n sin(1/n) dizisinin limiti 1'e eşittir" denir.

Matematikte, bir dizinin limiti, dizinin terimlerinden "elde edilen" bir değerdir. Eğer böyle bir limit varsa diziye yakınsak denir. Eğer yakınsamıyorsa bu durumda ıraksak denir. Bir dizinin limiti kavramı, analizde sıkça kullanılır.

Limitler, herhangi bir metrik veya topolojik uzayda tanımlanabilir. Fakat çoğunlukla, öncelikle reel sayılarla ifade edilirler.

Reel sayılar[değiştir | kaynağı değiştir]

{an} yakınsak dizisinin grafiği mavi ile gösteriliyor. n artarken dizinin limitinin 0'a yaklaştığı görülebiliyor.

Formal tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

(x_n) dizisinin limiti x olursa, aşağıdaki şartlar sağlanır:

Başka bir ifade ile, her \epsilon yakınlık ölçüsü için dizinin terimleri, sonuçta limite yaklaşır. (x_n) dizisi, x limitine yakınsıyorsa veya yakınsaksa, x_n \to x veya \lim_{n \to \infty} x_n = x şeklinde sembolize edilir.

Bir dizi eğer bazı limitlere yakınsıyorsa, dizi yakınsaktır, aksi takdirde ıraksaktır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Sabit x için eğer x_n = c oluyorsa, x_n \to c olur. İspat: N = 1 seçelim. Her n > N için, |x_n - c| = 0 < \epsilon olur.
  • Herhangi bir reel sayı için, ondalık yaklaşımları alınarak bir dizi elde edilebilir. Örneğin, 0,3, 0,33, 0,333, 0,3333, ..., 1/3'e yakınsar.0,3333... ondalık temsilinin, önceki dizinin limiti olduğuna dikkat edin. Bu limit şöyle sembolize edilir;
 0,3333...\triangleq\lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}.
  • \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n limitinde olduğu gibi c her zaman için belli değilse, bu durumda sıkıştırma teoremi sıkça kullanılır.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Genellikle aritmetik işlemler kullanılarak dizilerin limitleri hesaplanabilir. Eğer a_n \to a ve b_n \to b oluyorsa, a_n+b_n \to a+b, a_nb_n \to ab olur. Ya b ya da herhangi bir b_n sıfır ise, a_n/b_n \to a/b olur.

Herhangi bir f süreklilik fonksiyonu için, x_n \to x oluyorsa, f(x_n) \to f(x) olur. Herhangi bir reel değerli f fonksiyonunda süreklilik, ancak ve ancak dizilerin limitlerinin devamlılığıdır (gerçi sürekliliğin genel gösteriminde bunun doğru olması gerekmez).

Reel dizilerin limitlerinin diğer bazı önemli özellikleri şunlardır:

  • Bir dizinin limiti eşsizdir.
  • \lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) =  \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n
  • \lim_{n\to\infty} c a_n =  c \lim_{n\to\infty} a_n
  • \lim_{n\to\infty} (a_n b_n) =  (\lim_{n\to\infty} a_n)( \lim_{n\to\infty} b_n)
  • \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}  {b_n} = \frac{ \lim_{n\to\infty} a_n}{ \lim_{n\to\infty} b_n} (Eğer \lim_{n\to\infty} b_n \ne 0 ise)
  • \lim_{n\to\infty} a_n^p =  \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p
  • Tüm n'ler bazı N'lerden daha büyük ise ve a_n \leq b_n oluyorsa, \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n olur
  • (Sıkıştırma teoremi) Tüm n > N için a_n \leq c_n \leq b_n oluyorsa ve \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L ise, \lim_{n\to\infty} c_n = L olur.
  • Eğer bir dizi sınırlandırılmış ve monotonik ise dizi yakınsaktır.
  • Bir dizi yakınsak ise ancak ve ancak tüm alt dizileri de yakınsaktır.

Bu özellikler, doğrudan kullanımı külfetli olan formal tanımlar olmaksızın limitleri elde etmek için kullanılır. çoğaltılabilir. Yukarıdaki özellikleri kullanarak 1/n \to 0 olduğu ispatlandıktan sonra \frac{a}{b+c/n} \to \frac{a}{b}, (b \ne 0) olduğunu göstermek kolaylaşır.

Sonsuz limitler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir (x_n) dizisi sonsuza yaklaşıyorsa, x_n \to \infty veya \lim_{n\to\infty}x_n = \infty şeklinde yazılır ve her K için bir N varsa, her n \geq N için x_n > K olur. Burada dizinin terimleri, sonuçta her bir sabit K dan daha büyüktür. Benzer şekilde, x_n \to -\infty ise, her K için bir N varsa,.her n \geq N için x_n < K olur. Eğer bir dizi sonsuza yaklaşıyorsa veya eksi sonsuz ise, dizi ıraksaktır (yine de, bir ıraksak dizi artı veya eksi sonsuza yaklaşmalıdır).

Metrik uzaylar[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

(X, d) metrik uzayındaki bir x noktası, (xn) dizisinin limitidir. Eğer tüm ε > 0 ise, bir N vardır. Her n \geq N için, d(x_n, x) < \epsilon olur. X = \mathbb{R} ve d(x, y) = |x-y| olduğunda bu tanım tüm reel sayılar için geçerli olur.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi bir f sürekli fonksiyonu için, eğer x_n \to x oluyorsa, f(x_n) \to f(x) olur. Bir f fonksiyonunda süreklilik, ancak ve ancak dizilerin limitlerinin devamlılığıdır.

Topolojik uzaylar[değiştir | kaynağı değiştir]

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

(X, τ) topolojik uzayında bir x noktası, (xn) dizisinin limitidir. Eğer x noktasının tüm U komşuları için bir N varsa, her n \geq N için, x_n \in U olur. Eğer (X,d) metrik uzay olur ve \tau, d tarafından oluşturulan bir topoloji ise bu tanım metrik uzayını verir.

Bir T topolojik uzayında \left(x_n:n\in \mathbb{N}\right)\; noktasındaki dizinin limiti, fonksiyonun limitinin özel durumudur: \mathbb{N} \cup \lbrace +\infty \rbrace uzayındaki \mathbb{N} tanım kümesi genişletilmiş reel sayılar çizgisinin indüklenmiş topolojisindedir. T değeri ve n fonksiyon argümanı, bu uzaydaki \mathbb{N}'in limit noktası olan +∞'a yaklaşır.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

X Hausdorff uzayındaki dizilerin limitleri var olduğu müddetçe eşsizdirler. Bunun genel bir durum olmadığına dikkat edin. Özellikl, x ve y noktaları topolojik olarak benzer ise, x e yakınsayan herhangi bir dizi y ye de yakınsamalıdır. Bunun tersi de geçerlidir.

Cauchy dizileri[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Cauchy dizisi
Bir (xn) Cauchy dizisinin grafiği mavi ile gösteriliyor. xn, n ye karşıdır. Dizi bir limit noktasına yakınsıyor. Reel sayılarda her Cauchy dizisi bazı limitlere yakınsar.

Cauchy dizisi, terimleri rastgele yakın olan bir dizidir. Cauchy dizisi kavramı, metrik uzayında, özellikle reel analizde ortaya çıkar.

Bir dizi yakınsıyorsa ancak ve ancak Cauchy dizisidir.