Cauchy dizisi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Cauchy dizisi tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

bir dizi olsun. Eğer her için,

eşitsizliğinin her () için sağlandığı bir göstergeci varsa, dizisine Cauchy dizisi denir.

Cauchy dizisi ile ilgili teoremler[değiştir | kaynağı değiştir]

Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat:

yakınsak bir dizi olsun., herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine diyelim. Demek ki, öyle bir doğal sayısı vardır ki, her için,

olur. Dolayısıyla, için, olur ve kanıt biter .

Her Cauchy dizisi sınırlıdır[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat:

bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki 'u, seçelim.Demek ki, öyle bir göstergeci vardır ki, her için,

olur. Demek ki, her için, olur; bir başka deyişle,

olur.

ve diye tanımlayalım.

O zaman, her için, olur ve ispat biter .

Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat:

, bir Cauchy dizisi, dizisi de bu dizinin altdizisi olsun. herhangi bir sayı olsun.Öyle bir var ki, her için, dir.

Eğer ise ve olduğundan, olur. .

Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat:

Cauchy dizisi olsun ve bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,

ve için önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz için önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;

2. ifade altdizinin tanımından dolayı 'den küçüktür,

1. ifade ise , olduğundan bir Cauchy dizisidir ve olarak doğrudur.

İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,

ve için

ve ispat biter .

Her Cauchy dizisinin 'de bir limiti vardır[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat: verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)

  1. 'nin monoton bir altdizisi bulunur.
  2. bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır.[1] Demek ki altdizisi de sınırlıdır.
  3. Monoton ve sınırlı olduğundan, dizisi yakınsaktır.[2]
  4. maddelerden, dizisinin yakınsak olduğu görülür.[3]

Dolayısıyla, tamdır ve ispat biter. .

Formal ispat:

'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden 'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

'de bir Cauchy dizisi ve olsun.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm 10. teorem (7.10)http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22
  2. ^ Analiz I - Ali Nesin,7.bölüm Sonuç 4 (7.4)http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22
  3. ^ Analiz I - Ali Nesin,8.bölüm 4. teorem (8.4)http://www.acikders.org.tr/pluginfile.php/4194/mod_resource/content/2/hafta_7.pdf

Dip Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22

Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.

Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]

http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir

http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir