Vikipedi, özgür ansiklopedi
Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları içinde matris normal dağılımı tek değişebilirli normal dağılımının çok değişkenli olarak genelleştirilmesidir. [1]
Matris normal dağılım gösteren çoklu rassal değişkenler matrisi, (rassal matris) X (n × p ) için olasılık yoğunluk fonksiyonu matris terimleriyle şu şekli almaktadır:
p
(
X
|
M
,
Ω
,
Σ
)
=
(
2
π
)
−
n
p
/
2
|
Ω
|
−
n
/
2
|
Σ
|
−
p
/
2
exp
(
−
1
2
tr
[
Ω
−
1
(
X
−
M
)
T
Σ
−
1
(
X
−
M
)
]
)
.
{\displaystyle p(\mathbf {X} |\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }})=(2\pi )^{-np/2}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-n/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-p/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\mbox{tr}}\left[{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\right]\right).}
Burada M matrisi n × p , Ω matris p × p ve Σ matrisi n × n .
İki kovaryans matrisini tanımlamak için çeşitli alternatifler bulunmaktadır. Bir alternatif şöyle ifade edilir:
Σ
=
E
[
(
X
−
M
)
(
X
−
M
)
T
]
,
Ω
=
E
[
(
X
−
M
)
T
(
X
−
M
)
]
/
c
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}=E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]\;,\;\;\;\;{\boldsymbol {\Omega }}=E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )]/c,}
Burada c bir sabit olup Σ matrisine bağımlıdır ve uygun bir güç normalleştirme işleminin yapılmasını sağlamak için kullanılmaktadır.
Matris normal dağılımı n şu şekilde çokdeğişirli normal dağılım ile bağlantısı bulunmaktadır: Eğer mutlaka
v
e
c
X
∼
N
n
p
(
v
e
c
M
,
Ω
⊗
Σ
)
,
{\displaystyle \mathrm {vec} \;\mathbf {X} \sim N_{np}(\mathrm {vec} \;\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }}\otimes {\boldsymbol {\Sigma }}),}
ifadesi geçerli ise
X
∼
M
N
n
×
p
(
M
,
Ω
,
Σ
)
{\displaystyle \mathbf {X} \sim MN_{n\times p}(\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }})}
olur. Burada
⊗
{\displaystyle \otimes }
Kronecker çarpımıdır ve
v
e
c
M
{\displaystyle \mathrm {vec} \;\mathbf {M} }
de
M
{\displaystyle \mathbf {M} }
ifadesinin vektörleştirilmesini gösterir.
Ayrıca bakınız
Kaynakça