Log-normal dağılım

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Log-normal
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Lognormal için olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterimi
μ=0
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Lognormal için yığmalı yoğunluk fonksiyonu için gösterim
μ=0
Parametreler \sigma > 0
-\infty < \mu < \infty
Destek  [0,+\infty)\!
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{\left(\ln(x)-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right]
Yığmalı dağılım fonksiyonu (YDF) \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]
Ortalama e^{\mu+\sigma^2/2}
Medyan e^{\mu}\,
Mod e^{\mu-\sigma^2}
Varyans (e^{\sigma^2}\!\!-1) e^{2\mu+\sigma^2}
Çarpıklık (e^{\sigma^2}\!\!+2)\sqrt{e^{\sigma^2}\!\!-1}
Fazladan basıklık {e^{4\sigma^2}+2e^{3\sigma^2}+3e^{2\sigma^2}-6}
Entropi \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln(2\pi\sigma^2) + \mu
Moment üreten fonksiyon (mf) (Ham momentler icin metine bakin)
Karakteristik fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında log-normal dağılım logaritması normal dağılım gösteren herhangi bir rassal değişken için tek-kuyruklu bir olasılık dağılımdır. Eğer Y normal dağılım gösteren bir rassal değişken ise, bu halde X exp(Y) için olasılık dağılımı bir log-normal dağılımdır; aynı şekilde eğer X log-normal dağılım gösterirse o halde log(X) normal dağılım gösterir. Logaritma fonksiyonu için bazın ne olduğu önemli değildir: Herhangi iki pozitif sayı olan ab ≠ 1 için eğer loga(X) normal dağılım gösterirse, logb(X) fonksiyonu da normaldir.


Karekterizasyon[değiştir | kaynağı değiştir]

Olasılık yoğunluk fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Log-normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu x>0 için şudur:

f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(\ln (x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}

Burada μ ve σ degiskenin logaritma degerleri icin ortalama ve standart sapmasidir. Bu halde parametreler kullanılan logaritma türünde (ya e bazlı, 2 bazlı veya 10 bazlı) birimlerdedir. Ancak radyo komunikasyon incelemelerinde bu parametreler tipik olarak desibel birimleri iledir.


Yığmalı dağılım fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Log-normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{erf}\left[\frac{\ln(x)-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right]

Momentler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bütün momentler şu ifadelerle verilmiştir:

\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}.

Moment üreten fonksyon[değiştir | kaynağı değiştir]

Log-normal dağılım için moment ureten fonksiyon bulunmamaktadır.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Ortalama ve standart sapma[değiştir | kaynağı değiştir]

Beklenen değer (ortalama) şudur:

\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}\,\!

Varyans şöyle ifade edilir:

\mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}\,\!

ve standart sapma şu olur:

\mathrm{Std Dev}(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{(e^{\sigma^2} - 1)} e^{\mu + \sigma^2/2}\,\!

Beklenen değer ve varyans verilmiş olduğu halde μ ve σ2 değerlerini elde etmek için kullanılan bağlantılar şöyle ifade edilir:

\mu = \ln(\mathrm{E}(X))-\frac{1}{2}\ln\left(1+\frac{\mathrm{Var}(X)}{(\mathrm{E}(X))^2}\right)\,\!
\sigma^2 = \ln\left(\frac{\mathrm{Var}(X)}{(\mathrm{E}(X))^2}+1\right)\,\!

Mod ve medyan[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu dağılım için mod şudur:

\mathrm{Mode}(X) = e^{\mu - \sigma^2}\,\!

Medyan şudur:

\tilde{X} = e^{\mu}\,\!

Geometrik ortalama ve geometrik standart sapma[değiştir | kaynağı değiştir]

Log-normal dağılım için geometrik ortalama e^{\mu}\,\! ve geometrik standart sapma e^{\sigma}\,\! olur.

Eğer bir örneklem veri serisi log-normal dağılım gösteren bir anakütleden gelmişse, geometrik ortalama ve geometrik standart sapma güvenlilik aralık kestirimi elde etmek için kullanılabilir. Bu noramal dağılım gösteren anakütleden gelen örneklem verilerinden aritmetik ortalama ve standart sapma kullanilarak güvenlilik aralığı bulmaya benzemektedir.

Güvenlik aralığı sınırları Log uzayi Geometrik
3σ alt sınır \mu - 3\sigma\,\! \mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^3\,\!
2σ alt sınır \mu - 2\sigma\,\! \mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}^2\,\!
1σ alt sınır \mu - \sigma\,\! \mu_\mathrm{geo} / \sigma_\mathrm{geo}\,\!
1σ üst sınır \mu + \sigma\,\! \mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}\,\!
2σ üst sınır \mu + 2\sigma\,\! \mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^2\,\!
3σ üst sınır \mu + 3\sigma\,\! \mu_\mathrm{geo} \sigma_\mathrm{geo}^3\,\!

Burada geometrik ortalama \mu_\mathrm{geo} = \exp(\mu)\,\! ve geometrik standart sapma \sigma_\mathrm{geo} = \exp(\sigma)\,\! olur.

Momentler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu dağılım için ilk birkaç ham momentler şunlardır:

\mu_1=e^{\mu+\sigma^2/2}\,\!
\mu_2=e^{2\mu+4\sigma^2/2}\,\!
\mu_3=e^{3\mu+9\sigma^2/2}\,\!
\mu_4=e^{4\mu+16\sigma^2/2}\,\!
\mu_k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}\,\!

Kısmî bekleyişler[değiştir | kaynağı değiştir]

Parametrelerin maksimum olabilirlilik kestirimi[değiştir | kaynağı değiştir]

İlişkili dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eğer X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu_m,\sigma_m^2), \ m={1,...,n} \ bağımsız olarak parametreleri aynı μ ve değişik σ olan log-normal dağılım gösteren değişkenlerse ve Y = \prod_{m=1}^n X_m ise, o halde Y de log-normal dağılım gösteren değişkendir; yani Y \sim \operatorname {Log-N} \left( n\mu, \sum _{m=1}^n \sigma_m^2 \right) olur.


Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]