Normal dağılım

Normal

Olasılık yoğunluk fonksiyonu Standard normal dağılım yeşil çizgi ile gösterilir
Yığmalı dağılım fonksiyonu Renkler yukarıdaki grafik ile aynıdır
Parametreler	$\mu$ yerleşim (reel) $\sigma ^{2}>0$ kare ölçek (reel)
Destek	$x\in \mathbb {R} \!$
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF)	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!$
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF)	${\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!$
Ortalama	$\mu$
Medyan	$\mu$
Mod	$\mu$
Varyans	$\sigma ^{2}$
Çarpıklık	0
Fazladan basıklık	0
Entropi	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!$
Moment üreten fonksiyon (mf)	$M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$
Karakteristik fonksiyon	$\chi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen birçok alanda pratik uygulaması olan çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesinden biridir.

Bu dağılım ailesinin her bir üyesi sadece iki parametre ile, tam olarak tanımlanabilir: Bunlar konum gösteren ortalama (μ aritmetik ortalama) ve ölçek gösteren varyans (σ2² "değişkenlik")dir.

Standard normal dağılım ortalama değeri 0 ve varyans değeri 1 olan normal dağılım ailesinin tek bir elemanıdır. Carl Friedrich Gausss bu dağılımlar grubu ile, astronomik verileri analiz etmekte iken, ilgilenmiş ve bu dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu ilk defa tanımlamıştır . Bu olasılık fonksiyonunun grafik şekli bir çan gibi görüntü verdiği için çoğu kez çan eğrisi olarak da anılır.

Doğa ve davranış bilimleri içinde bulunan birçok fenomenin niceliksel modeli yapılmasında normal dağılımın kullanılmasına neden merkezi limit teoreminin uygulanmasından doğmaktadır. Birçok psikolojik ölçümler ve fiziksel fenomen normal dağılım kullanılarak çok iyi yaklaşık olarak açıklanmaktadır. Bu fenomenlerin altında yatan mekanizmalar çoğu zaman bilinmemekte fakat normal dağılım modelinin açıklamada uygulanmaktadır. Bunun pratik yaklaşımın teorik olarak savunması ise her bir reel gözlemin oluşması için geri planda çok sayıda birbirinden bağımsız etkilerin ayrı ayrı toplam olarak katkıda bulundukları varsayımıdır.

Normal dağılım istatistik biliminin birçok alanında kullanılmaktadır. Örneğin örneklem ortalaması için örnek dağılımı, örneğin kaynağı olan anakütle için dağılımın normal olmadığı gayet açık olsa bile, yaklaşık olarak normal dağılım göstermektedir. Bunun yanında, değerleri bilinen ortalaması ve varyansı olan bütün dağılımlar içinde enformasyon entropisini maksimum yapan dağılımın normal olduğu ispat edilmiştir. Böylece örnek ortalaması ve varyansı ile özetlenen her veri için bilinmeyen kaynak dağılımı olarak normal dağılımı kullanmak gayet doğal bir yaklaşım olması çok uygun bir davranıştır. İstatistikte kullanılan dağılımlar aileleri arasında normal dağılım pratikte en çok kullanılanıdır ve birçok istatistiksel test, normal dağılımın varolduğu varsayımına dayanılarak geliştirilmiştir ve kullanılmaktadır. Olasılık teorisi içinde birkaç sürekli ve ayrık değişken dağılımlarının limite giden dağılımları yani rastsal değişkenlerin yakınsama analizinde kullanılmaktadır.

Tarihçe

İstatistik ve olasılığın önemli dağılımlarından biri olan normal dağılım, ilk olarak 1733'te Abraham de Moivre tarafından yayinlanan bir yazida ilk ortaya cikartilmistir ve 1738de yayinlanan The Doctrine of Chances (Sanslar Doktrini) adli kitabinin ikinci baskisinda p değişmemek koşuluyla n degerinin artisiyla binom dağılımının limit şekli yaklasim olarak gosterilmiştir. de Moivre'in bu sonucu Laplace tarafindan 1812de basilan Analytical Theory of Probabilities (Olasiliklar Icin Analitik Teori) gelistirilmistir ve bu sonuc simdi de Moivre-Laplace teoremi olarak isimlendirilmektedir.

Laplace normal dagilimi incelemkte oldugu deneylemelerde hatalarin analizi konusunda uygulamistir. 1805de Legendre cok onemli olan en kucuk kareler yontemini ortaya atmistir. Gauss, bu yontemi 1794den beri kullandigini iddia etmistir ama en kesin surette hatalarin normal dagilimi varsayimi ile birlikte yayinladigi eser 1809dadir.

Can egrisi teriminin ilk kullanilisi Jouffret tarafindan 1875de bir bagimsiz parcalardan olusan ikidegisirli normal hakkinda yazida can yuzeyi teriminin kullanmasina kadar goturulebilir. Normal dagilim sozcugu ise Charles S. Peirce, Francis Galton ve Wilhelm Lexis tarafindan ayri ayri 1875 civarlarinda ortaya atilmistir.

Bu dagilima normal adi vermek bazan hatali gorulmektedir; cunku bazi hallerde diger dagilimlar pratige cok daha uygunluk gostermektedirler.

Karekteristikler

There are various ways to characterize a probability distribution. The most visual is the probability density function (PDF). Equivalent ways are the cumulative distribution function, the moments, the cumulants, the characteristic function, the moment-generating function, the cumulant-generating function, and Maxwell's theorem. See probability distribution for a discussion.

To indicate that a real-valued random variable X is normally distributed with mean μ and variance σ² ≥ 0, we write

$X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}).\,\!$

While it is certainly useful for certain limit theorems (e.g. asymptotic normality of estimators) and for the theory of Gaussian processes to consider the probability distribution concentrated at μ (see Dirac measure) as a normal distribution with mean μ and variance σ² = 0, this degenerate case is often excluded from the considerations because no density with respect to the Lebesgue measure exists.

The normal distribution may also be parameterized using a precision parameter τ, defined as the reciprocal of σ². This parameterization has an advantage in numerical applications where σ² is very close to zero and is more convenient to work with in analysis as τ is a natural parameter of the normal distribution.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Normal dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu

The continuous olasılık yoğunluk fonksiyonu of the normal dağılım is the Gaussian function

$\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),\quad x\in \mathbb {R} ,$

where σ > 0 is the standard deviation, the real parameter μ is the expected value, and

$\varphi (x)=\varphi _{0,1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\quad x\in \mathbb {R} ,$

is the density function of the "standard" normal dağılım, i.e., the normal dağılım with μ = 0 and σ = 1. The integral of $\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}$ over the real line is equal to one as shown in the Gaussian integral article.

As a Gaussian function with the denominator of the exponent equal to 2, the standard normal density function $\scriptstyle \varphi$ is an eigenfunction of the Fourier transform.

The olasılık yoğunluk fonksiyonu has notable properties including:

• symmetry about its mean μ
• the mode and median both equal the mean μ
• the inflection points of the curve occur one standard deviation away from the mean, i.e. at μ − σ and μ + σ.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonu

Bir olasilik dagilimi icin yığmalı dağılım fonksiyonu (cdf) of a probability distribution, evaluated at a number (lower-case) x, is the probability of the event that a random variable (capital) X with that distribution is less than or equal to x. The Yığmalı dağılım fonksiyonu of the normal distribution is expressed in terms of the density function as follows:

${\begin{aligned}\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)&{}=\int _{-\infty }^{x}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(u)\,du\\&{}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp {\Bigl (}-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\ {\Bigr )}\,du\\&{}=\Phi {\Bigl (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\Bigr )},\quad x\in \mathbb {R} ,\end{aligned}}$

where the standard normal yığmalı dağılım fonksiyonu, Φ, is just the genel yığmalı dağılım fonksiyonu evaluated with μ = 0 and σ = 1:

$\Phi (x)=\Phi _{0,1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp {\Bigl (}-{\frac {u^{2}}{2}}{\Bigr )}\,du,\quad x\in \mathbb {R} .$

The standard normal yığmalı dağılım fonksiyonu can be expressed in terms of a special function called the error function, as

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} ,$

and the cYığmalı dağılım fonksiyonu itself can hence be expressed as

$\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} .$

The complement of the standard normal cdf, $1-\Phi (x)$, is often denoted $Q(x)$, and is sometimes referred to simply as the Q-function, especially in engineering texts. This represents the tail probability of the Gaussian distribution. Other definitions of the Q-function, all of which are simple transformations of $\Phi$, are also used occasionally.

The inverse standard normal cumulative distribution function, or quantile function, can be expressed in terms of the inverse error function:

$\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1),$

and the inverse cumulative distribution function can hence be expressed as

$\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$

This quantile function is sometimes called the probit function. There is no elementary primitive for the probit function. This is not to say merely that none is known, but rather that the non-existence of such an elementary primitive has been proved. Several accurate methods exist for approximating the quantile function for the normal distribution - see quantile function for a discussion and references.

The values Φ(x) may be approximated very accurately by a variety of methods, such as numerical integration, Taylor series, asymptotic series and continued fractions.

Yığmalı dağılım fonksiyonu için kesin alt ve üst sınırlar

For large x the standard normal cdf $\scriptstyle \Phi (x)$ is close to 1 and $\scriptstyle \Phi (-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi (x)$ is close to 0. The elementary bounds

${\frac {x}{1+x^{2}}}\varphi (x)<1-\Phi (x)<{\frac {\varphi (x)}{x}},\qquad x>0,$

in terms of the density $\scriptstyle \varphi$ are useful.

Using the substitution v = u²/2, the upper bound is derived as follows:

${\begin{aligned}1-\Phi (x)&=\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\varphi (u)\,du=\int _{x^{2}/2}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{x^{2}/2}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}$

Similarly, using $\scriptstyle \varphi '(u)\,{=}\,-u\,\varphi (u)$ and the quotient rule,

${\begin{aligned}{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}(1-\Phi (x))&=\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du\\&>\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\varphi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}$

Solving for $\scriptstyle 1\,{-}\,\Phi (x)\,$ provides the lower bound.

Üretici fonksiyonlar

Moment üretici fonksiyon

The moment üretici fonksiyon is defined as the expected value of exp(tX). For a normal distribution, moment üretici fonksiyon is

${\begin{aligned}M_{X}(t)&{}=\mathrm {E} \left[\exp {(tX)}\right]\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}\exp {(tx)}\,dx\\&{}=\exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}\end{aligned}}$

as can be seen by completing the square in the exponent.

Kümülant üretici fonksiyon

The cumulant üretici fonksiyon is the logarithm of the moment üretici fonksiyon: g(t) = μt + σ²t²/2. Since this is a quadratic polynomial in t, only the first two cumulants are nonzero.

Karekteristik fonksiyon

The characteristic function is defined as the expected value of $\exp(itX)$, where $i$ is the imaginary unit. So the characteristic function is obtained by replacing $t$ with $it$ in the moment-generating function.

For a normal distribution, the characteristic function is

${\begin{aligned}\chi _{X}(t;\mu ,\sigma )&{}=M_{X}(it)=\mathrm {E} \left[\exp(itX)\right]\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\exp(itx)\,dx\\&{}=\exp \left(i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}$

Özellikleri

Normal dağılım ilk uygulamalarında doğal olaylara oldukça başarılı bir biçimde uyum göstermiştir. Dağılıma uygun anlamındaki "normal" adı da buradan kaynaklanmaktadır. Ancak zaman içinde uygulama alanı genişledikçe deney ya da gözlemlere konu olan olayların dağılımın matematik yapısında görülen simetriyi göstermemesi, ilginin simetrik olmayan dağılımlara kaymasına sebep olmuştur. Bununla birlikte normal dağılmayan bazı değişkenlerin uygun bir dönüşüm sonucu örneğin,

$logx=z$ ,$x^{1}/2=z$, $x^{2}=z$ gibi

ya da limit şekilllerinin normale yaklaşması gibi nedenlerle normal dağılım günümüzde de önemli bir dağılım olma özelliğini korumaktadır.

X, sürekli bir rastsal değişken iken, x'in yoğunluk fonksiyonu,

(I)

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$ , $-\infty <x<+\infty$

ise f(x)'e normal dağılım, X'e de normal dağılmış rastsal değişken denir.

Dağılım iki parametre ile tam olarak tanımlanır:

• $\mu$ (Mü diye okunur): Beklenen değer veya aritmetik ortalama
• $\sigma ^{2}$ (sigmakare diye okunur): Varyans

X, normal dağılmış bir rastsal değişken ise, kısaca $x~N(\mu ,\sigma ^{2})$ ile gösterilir.

Eğer X normal dağılım gösteriyorsa iki X-değer arasında bulunan olasılık bu iki değer arasında normal dağılım eğrisinin altında kalan alan olarak bulunabilir. Matematikte genel olarak bir eğrinin altındaki alan yoğunluk fonksiyonunun entegrasyon bulunur. Ancak Normal Dağılım yoğunluk fonksiyonunun entegrasyonunu bulmak çok zor hatta imkansızdır. Bu nedenle değişik bir yöntem kullanılmak gerekir. Önce verilen X değerler 'standart normal dağılım' için rassal değişken olan Z-değere değiştirilir. Standart normal dağılım özel bir normal dağılımdır ve bu özel normal dağılımı tam olarak tanımlayan paramatreler $\mu$=0 ve $\sigma ^{2}$=1 olur; yani 'standart normal dağılım' kısaca X ~ N( 0 , 1 ). Z-değer transformasyonu şu denklemle yapılır.

$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$

Bulunan iki Z-değer için standart normal dağılım eğrisinin altında bulunan alan standart normal dağılım tablosu kullanılarak bulunur.

Normal dağılıma sahip bir X değişkenin ortalamasına 1 standart sapma eklenerek ve 1 standart sapma çıkartılarak bulunan iki değer arasında kalan alanların oranı %34.1 + %34.1 = %68.2 dir. 2 standart sapma eklenerek ve çıkartılarak bulunan iki değer arasında kalan alanların oranı %95.4 tür. 3 standart sapma eklenerek ve çıkartılarak bulunan iki değer arasında kalan alanların oranı ise %99.7 dir.

İçsel bağlantılar

• A tipik normal dağılım tablosu
• Behrens-Fisher problemi
• Çan eğrisine göre not verme
• Veri dönüşümleri (istatistik) - Verileri normal dagilima donusturmek icin basit teknikler
• Erdős-Kac teoremi, Sayi teorisi icinde normal dadagilimin meydana cikisi.
• Gauss-tipi blur, convolution using the normal distribution as a kernel
• Gauss-tipi fonksiyon
• Gauss-tipi sürec
  • Wiener-tipi sürec
  • Brownian bridge
  • Ornstein-Uhlenbeck süreci
• Iannis Xenakis, {{Muzik]] icin Gauss-tipi dağılımı.
• Ters Gauss-tipi dağılım
• Lognormal dağılım
• Çokdeğişirli normal dağılım
• Matris normal dağılımı
• Normal-gamma dağılımı
• Normal dagilim gosterme ve korelasyon olmamasi bagimsizlik ifade etmez (an example of two normally distributed uncorrelated random variables that are not independent; this cannot happen in the presence of joint normality)
• Probit fonksiyonu
• Örneklem büyüklüğü
• Çarpık normal dağılım
• Student'in t-dağılımı
• Tweedie dağılımları

Dışsal bağlantılar

Normal dağılım

• Mathworld: Normal Distribution
• GNU Scientific Library – Reference Manual – The Gaussian Distribution
• PlanetMath: normal random variable
• Intuitive derivation.
• Is normal distribution due to Karl Gauss? Euler, his family of gamma functions, and place in history of statistics
• Maxwell demons: Simulating probability distributions with functions of propositional calculus

Yazılım sonuçları ve uygulamaları

• Normal distribution table
• Public Domain Normal Distribution Table
• Distribution Calculator – Calculates probabilities and critical values for normal, t, chi-square and F-distribution.
• Java Applet on Normal Distributions
• Interactive Distribution Modeler (incl. Normal Distribution).
• Free Area Under the Normal Curve Calculator from Daniel Soper's Free Statistics Calculators website.
• Interactive Graph of the Standard Normal Curve Quickly Visualize the one and two-tailed area of the Standard Normal Curve

Algoritmalar ve yaklaşımlar

• Calculating the Cumulative Normal distribution, C++, VBA, sitmo.com
• An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function by Peter J. Acklam – has examples for several programming languages
• An Approximation to the Inverse Normal(0, 1) Distribution, gatech.edu
• Handbook of Mathematical Functions: Polynomial and Rational Approximations for P(x) and Z(x), Abramowitz and Stegun