Gradyan

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Bu şekiller açıktan koyuya doğru artan skaler alanları ve artışa doğru yönelmiş yöntürevi vektörünü göstermektedir.

Bir skaler alanın yön türevi (gradyan) artımın en çok olduğu yere doğru yönelmiş bir vektör alanını verir ve büyüklüğü değişimin en büyük değerine eşittir. Örneklemek gerekirse bir odadaki zamandan bağımsız sıcaklık dağılımı düşünülebilir. Sıcaklık dağılımı skaler bir alandır ve kartezyen koordinatlarda \phi=\phi(x,y,z)\, olarak gösterilebilir. Bu dağılımın yöntürevi en çok ısınan yeri işaret edecektir ve yöntürevi büyüklüğü de o yöndeki ısınmanın miktarını verecektir. Başka bir örnek olarak bir yokuş ele alınabilir. Yokuşa onu üstten kesen bir düzlemden bakılırsa ortaya çıkan fonksiyon yokuşun eğim profili H=H(x,y)\,' i verir (basitlik için yokuşu iki boyutta düşünmek faydalı olacaktır). Bu fonksiyonun yöntürevi yokuşun en dik yerini, yöntürevinin büyüklüğü de bu yerin dikliğini verir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

x genelleştirilmiş koordinatların kapalı gösterimi olmak üzere x=(x_1,\dots, x_n) bir f(x) fonksiyonunun yöntürevi

 \nabla f  = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f}{\partial x_n }  \right)

şeklinde gösterilir. Burada \nabla\,, del işlemcisini temsil etmektedir. Başka bir gösterim ise grad f 'tir.

Örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

f(x,y,z)=x^3+e^{2y}-\cos(wz)\, olmak üzere f fonksiyonunun gradyanı:


\nabla f = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{3x^2}, 
{2e^{2y}},
{w\sin(wz)}
\end{pmatrix}.


olarak elde edilir.

Bir göndermeyi doğrusallaştırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi bir f(x) göndermeyi, bir x_0 noktasında


 g(x) = f(x_0) + (\nabla_x f(x_0))^T (x-x_0)


yaklaşımı yapılarak doğrusallaştırılabilir. g(x) doğrusu f(x) göndermesinin x_0 noktasında doğrusallaştırılmış halidir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]