Gradyan

Bu şekiller açıktan koyuya doğru artan skaler alanları ve artışa doğru yönelmiş yöntürevi vektörünü göstermektedir.

Bir skaler alanın yöntürevi (gradyan) artımın en çok olduğu yere doğru yönelmiş bir vektör alanını verir ve büyüklüğü değişimin en büyük değerine eşittir. Örneklemek gerekirse bir odadaki zamandan bağımsız sıcaklık dağılımını düşünülebilir. Sıcaklık dağılımı skaler bir alandır ve kartezyen koordinatlarda $\phi=\phi(x,y,z)\,$ olarak gösterilebilir. Bu dağılımın yöntürevi en çabuk ısınan yeri işaret edecektir, yöntürevi büyüklüğü de o yöndeki ısınmanın hızını verecektir. Başka bir örnek olarak bir yokuş ele alınabilir. Yokuşa onu üstten kesen bir düzlemden bakılırsa ortaya çıkan fonksiyon yokuşun eğim profili $H=H(x,y)\,$' i verir (basitlik için yokuşu iki boyutta düşünmek faydalı olacaktır). Bu fonksiyonun yöntürevi yokuşun en dik yerini, yöntürevinin büyüklüğü de bu yerin dikliğini verir.

Tanım

x genelleştirilmiş koordinatların kapalı gösterimi olmak üzere $x=(x_1,\dots, x_n)$ bir f(x) fonksiyonunun yöntürevi

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1 }, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n } \right)$

şeklinde gösterilir. Burada $\nabla\,$, del işlemcisini temsil etmektedir. Başka bir gösterim ise grad f 'tir.

Örnek

$f(x,y,z)=x^3+e^{2y}-\cos(wz)\,$ olmak üzere f fonksiyonunun gradyanı:

$\nabla f = \begin{pmatrix} {\frac{\partial f}{\partial x}}, {\frac{\partial f}{\partial y}}, {\frac{\partial f}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {3x^2}, {2e^{2y}}, {w\sin(wz)} \end{pmatrix}.$

olarak elde edilir.

Bir göndermeyi doğrusallaştırma

Herhangi bir f(x) göndermeyi, bir $x_0$ noktasında

$g(x) = f(x_0) + (\nabla_x f(x_0))^T (x-x_0)$

yaklaşımı yapılarak doğrusallaştırılabilir. g(x) doğrusu f(x) göndermesinin $x_0$ noktasında doğrusallaştırılmış halidir.

Ayrıca bakınız

• Kısmi türev
• Diverjans
• Rotasyonel
• Del İşlemcisi
• Yöney Analizi