Bölme kuralı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Yüksek matematik konuları

Temel Teori
Fonksiyonların limiti
Süreklilik
Vektör hesabı
Tensör hesabı
Orta değer teoremi

Türevleme

Çarpma kuralı
Bölme kuralı
Zincir kuralı
Örtülü türev
Taylor teoremi
Bağımlı oranlar
Türev listesi
L'Hopital Kuralı

İntegral alma

İntegral tablosu
Düzensiz integral
İntegral Alma Yöntemleri: Parçalama, Disk,
Silindirik kabuk, Yerdeğiştirme,
Trigonometrik yerdeğiştirme

Bölme kuralı, yüksek matematikte diğer iki işlevin bölümü şeklinde olan bir işlev in türevinin hesaplanmasında kullanılır.

\frac{d}{dx} \left (\frac{f(x)}{g(x)} \right ) = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,


\begin{alignat}{4}
 \frac{d}{dx}(fg^{-1}) & = f'g^{-1} + f (g^{-1})' \\
                       & = f'g^{-1} + f(-1)g^{-2}g' \\
                       & = \frac{g^2}{g^2} \left (f'g^{-1} - fg^{-2}g' \right )\\
                       & = \frac{f'g - fg'}{g^2}\\
\end{alignat}

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus (g^{-1})'\, türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

(4x - 2)/(x^2 + 1) ifadesinin türevi:

\begin{align}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}\right] &= \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\\
& = \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end{align}

Yukardaki örnekte

g(x) = 4x - 2
h(x) = x^2 + 1

olarak seçmiştik. Benzer bir şekilde (x ≠ 0 iken) sin(x)/x2 ifadesinin türevi aynı yöntemi kullanarak:

\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}

olarak bulunur.