Diverjans

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Vektör hesaplamada, divergence (ıraksama, uzaksama, uzaklaşma) bir vektör alanının kaynak ya da batma noktasından uzaktaki bir noktada genliğini ölçen işleçtir; yani bir vektör alanının uzaksaması işaretli (artı ya da eksi) bir sayıdır. Örneğin ısındıkça genişleyen havanın hızını gösteren bir vektör alanının uzaksaması pozitif olacakdır, çünkü hava genişlemektedir. Eğer hava soğuyup daralıyorsa uzaksama negatif olacaktır. Bu özel örnekte uzaksama yoğunluğun değişiminin ölçüsü olarak düşünülebilir.

Uzaksaması heryerde 0 olan vektör alanına selenoidal denir.


\vec F(x,y,z) ile gösterilen bir vektör alanın diverjansı fiziksel anlamda en basit olarak alanın akısıyla betimlenebilir. Diverjans, hacim sıfıra giderken, \vec F(x,y,z)'in birim hacime düşen akısı olarak tanımlanabilir. Sembolik olarak

\mbox{div} \vec{F} \equiv \lim_{\Delta v \rightarrow 0} \frac{\oint_S{\vec{F}\cdot d\vec{s}}}{\Delta v}

burada  \scriptstyle S hacmi saran kapalı yüzeyi belirtmektedir. Diverjans teoremi yardımıyla, diverjansın nabla operatörü (\vec \nabla) ile \vec F'nin skaler çarpımına eşit olduğu belirlenebilir. Kartezyen koordinatlarda

\mbox{div} \vec F = \vec \nabla \cdot \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Genel olarak \scriptstyle u_1, u_2,u_3 \, gibi genel dik koordinatlarda \scriptstyle \vec F \equiv (F_1, F_2, F_3) için diverjansın tanımı şöyledir,

 \nabla \cdot \vec F = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1} h_2 h_3 F_1+\frac{\partial}{\partial u_2} h_1 h_3 F_2+\frac{\partial}{\partial u_3} h_1 h_2 F_3 \right]

burada \scriptstyle h_1, h_2, h_3\, ilgili koordinatların metrik katsayılarının karekökünü belirtmektedir.

Diverjansın tensör notasyonunda yazılımı,

\mbox{div} \vec F = \partial_i F_i veya \mbox{div} \vec F = F_{i,i} olur.

\scriptstyle \phi\, skaler bir alan, \vec F ve \vec G de vektörel bir alan olmak üzere, diverjans alma işleminin özellikleri şöyle sıralanabilir:

\vec \nabla \cdot (\vec F + \vec G) = \vec \nabla \cdot \vec F + \vec \nabla \cdot \vec G
\vec \nabla \cdot (\phi \vec F) = (\vec \nabla \phi) \cdot \vec F + \phi(\vec \nabla \cdot \vec F)
\vec \nabla \cdot (\vec F \times \vec G) = \vec G \cdot(\vec \nabla \times \vec F) - \vec F \cdot (\vec \nabla \times \vec G)
\vec \nabla \cdot (\vec \nabla \times F) = 0