İntegral tablosu

Yüksek matematik konuları

Temel Teori Fonksiyonların limiti Süreklilik Vektör hesabı Tensör hesabı Orta değer teoremi

Türevleme

Çarpma kuralı Bölme kuralı Zincir kuralı Örtülü türev Taylor teoremi Bağımlı oranlar Türev listesi L'Hopital Kuralı

İntegral alma

İntegral tablosu Düzensiz integral İntegral Alma Yöntemleri: Parçalama, Disk, Silindirik kabuk, Yerdeğiştirme, Trigonometrik yerdeğiştirme

İntegral, Matematikteki temel işlemlerden biridir. Aşağıdaki tabloda en çok bilinen integrallerin hesaplanışını bulacaksınız.

C harfi integral sabiti'ni belirtmek için kullanılmıştır.

Aşağıdaki formüller i niteliğindedir.

Genel Fonksiyonların İntegralleri için Kurallar

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx$

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(\int g(x)\,dx\right)\,d(f(x))$

Basit Fonksiyonların İntegralleri

Rasyonel Fonksiyonlar

$\int \,dx = x + C$

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ Eğer }n \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

İrrasyonel Fonksiyonlar

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C$

$\int {dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\mbox{arcsec}\,{|x| \over a} + C$

Logaritmik Fonksiyonlar

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

Üstel Fonksiyonlar

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

Trigonometrik Fonksiyonlar

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \frac{1}{\sin{ (\beta x)}} \, dx = \frac{\ln(\tan {\frac{\beta x}{2}})}{\beta} + C$

$\int \frac{1}{\tan{( \beta x)}}\, dx = \frac{\log(\sin{\beta x})}{\beta}+ C$

$\int \frac{1}{\cos{( \beta x)}}\, dx = \frac{arctanh{ (\tan{ \frac{\beta x}{2}})}}{\beta}+C$

$\int \frac{1}{\cot{(\beta x)}} \, dx = -\frac{\log{(\cos{\beta x})}}{\beta}+C$

$\int \arcsin{(\beta x)}\, dx = x \arcsin{\beta x}+ \frac{\sqrt{1 - \beta ^2 x^2}}{\beta} + C$

$\int \arctan{(\beta x)}\, dx = x \arctan{\beta x}-\frac{\log{(1+ \beta ^2 x^2)}}{2 \beta}+C$

$\int \arccos{(\beta x)}\, dx = x \arccos{\beta x} - \frac{\sqrt{1 - \beta ^2 x^2}}{\beta} + C$

$\int \arccot{(\beta x)}\, dx = x \arccot{\beta x} + \frac{\log{(1+ \beta ^2 x^2)}}{2 \beta}+C$

Kapalı formda integrali alınamayan belirli integraller

Bazı fonksiyonların kapalı formda ters türevleri [integralleri] alınamazlar. Buna karşın, belirli integral şeklinde bazı fonksiyonların integral değerleri hesaplanabilir. Bunlardan en çok bilinen ve kullanılanlar şunlardır:

$\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi$ (ayrıca bakınız Gama fonksiyonu)

$\int_0^\infty{e^{-\beta x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac {\pi}{\beta}}\quad ,\quad \beta>0$ (Gauss integrali)

$\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}$ (ayrıca bakınız Bernoulli sayısı)

$\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}$

$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}$

$\int_0^\infty x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)$ ( $\Gamma(z)$ Gama fonksiyonu'dur)

$\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^\frac{b^2-4ac}{4a}$

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ ( $I_{0}(x)$ olduğunda ,Bessel fonksiyonu'nun birinci çeşidi olarak düzenlenebilir.)

$\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$

--

$\int\limits_a^b {f(x)dx = \left( {b - a} \right)} \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^{2^n - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)/2^n ).$

• Not: Daha çok ve ayrıntılı integraller için İngilizce sayfadaki more integrals about ... linklerine tıklanabilir.