Türev

Başlığın diğer anlamları için Türev (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Türev , diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir.

Birinci tanımı(h türev)

Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevin

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$ =

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

limiti olarak tanımlanır. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.

Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y=f(a) eğrisine (a,f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır. Burada :$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.

Türevin birinci tanımını örnekleyerek bir ikinci tanım daha yapabiliriz.

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ifadesinin mantığında {h}sonsuz küçüğünü ekleme işlem

yapılmıştır,oysaki tanımı genelleştirebilmek mümkün;şöyleki sonsuz küçük artırımı yerine sonsuz küçük katının artırımıda yapılabilir.

İkinci tanımı(q türev)

Bir f(x) fonksiyonunu q türevi

$\left(\frac{d}{dx}\right)_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}$

sıklıkla D_qf(x) şeklinde yazılır, q-türev Jackson türevi olarak bilinir.

$\lim_{h\rightarrow 1}\frac{f(a\,h)-f(a)}{a\,h-a}$

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$= $\lim_{h\rightarrow 1}\frac{f(a\,h)-f(a)}{a\,h-a}$

ayrıca;

$\frac{df(a)}{da}=f'(a)$= $\lim_{h\rightarrow 1}\frac{f(a\,h)-f(a)}{a\,(h-1)}$ elde edilebilir.

Türev Alma

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f' sembolüyle gösterilir. Ayrıca

$\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$

formülü de bu durumu ifade etmek için kullanılır.

Fraksiyonel türev

fonksiyon f(x) = x(mavi eğri) için yarı türev (mor eğri) ve birinci türev (kırmızı eğri).

f(x) tek terimli varsayalım

$f(x) = x^k\;.$

Burada kullanılan türev

$f'(x) = {d \over dx } f(x) = k x^{k-1}\;.$

tekrarlana türev şu sonucu verir

${d^a \over dx^a } x^k = { k! \over (k - a) ! } x^{k-a}\;,$

faktöriyel yerine Gama fonksiyonu'nu alalım

${d^a \over dx^a } x^k = { \Gamma(k+1) \over \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}\;.$

x'in yarı türevi

${ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } x = { \Gamma(1 + 1) \over \Gamma ( 1 - {1 \over 2} + 1 ) } x^{1-{1 \over 2}} = { \Gamma( 2 ) \over \Gamma ( { 3 \over 2 } ) } x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2}\; = \frac{2\,x^{1 \over 2}}{\sqrt{\pi}}.$

Bu durumu tekrarlarsak

${ d^{1 \over 2} \over dx^{1 \over 2} } {2 \pi^{-{1 \over 2}}} x^{1 \over 2} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma ( 1 + {1 \over 2} ) \over \Gamma ( {1 \over 2} - { 1 \over 2 } + 1 ) } x^{{1 \over 2} - {1 \over 2}} = {2 \pi^{-{1 \over 2}}} { \Gamma( { 3 \over 2 } ) \over \Gamma ( 1 ) } x^0 = { 1 \over \Gamma (1) } = 1\;,$

Gerçekten burada beklenen sonuç aynıdır.

$\left( \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} \right) x = { d \over dx } x = 1 \,$

Burdaki türev alma işlemi sadece gerçel sayılarla sınırlı değildir örneğin, (1+i)inci türev , (1-i)inci türev iki türevlidir.Ancak negatif değerler için alınan a integrali verir.

Laplace transformu

laplace transformlarınıda alabiliriz Laplace transform. ifade

$\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s(\mathcal L\left\{f\right\})(s)$

ve

$\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s(\mathcal L \left\{Jf\right\} )(s)=\frac1{s^2}(\mathcal L\left\{f\right\})(s)$

etc., bizim beklentimiz

$J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}(\mathcal L\{f\})(s)\right\}$.

örneğin

$\begin{array}{lcr} J^\alpha\left(t^k\right) &= &\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\}\\ &= &\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)}t^{\alpha+k} \end{array}$

beklenti doğrudur. gerçekten, verilen convolusyon kök $\mathcal L\{f*g\}=(\mathcal L\{f\})(\mathcal L\{g\})$ (ve kısaca p(x) = x^{α − 1} doğrulama için) bulunur

$\begin{array}{rcl} (J^\alpha f)(t) &= &\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\left(\mathcal L\{p\}\right)(\mathcal L\{f\})\right\}\\ &=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\ &=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\ &=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\ \end{array}$

Cauchy serisini verir. Laplace transformu bazı fonksiyonların kullanılabilmesi ile ilşkilidir.sıklıkla fraksiyonel diferansiyel denklemler çözümünde kullanılır

Kısmi Türev

Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin, sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Fraksiyonel Kısmi Türev

q Türev 'in tanımına uygun olarak Kısmi türev içinde Fraksiyonel Kısmi Türev tanımı yapılabilir.

Tanım

$z:{{\mathbb{R}}^{n}}\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R}$

z = f(x₁,x₂,...,x_m,...,x_n)

biciminde tanimlanan n tane bagimsiz degsikene bagli surekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki Δx_m degisimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

$\frac{\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}=\frac{f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}$

Δx_m = h

$\frac{\partial z}{\partial {{x}_{m}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}$

ifadesine z fonksiyonunun x_m değişkenine göre kısmi türevi denir.

$\frac{\partial f}{\partial {{x}_{m}}}={{f}_{{{x}_{m}}}}={{D}_{{{x}_{m}}}}f=\frac{\partial z}{\partial {{x}_{m}}}={{z}_{{{x}_{m}}}}$

şeklinde gösterilir.

$z=f\left( x,y \right)$ ise;

${{f}_{x}}\left( x,y \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h,y \right)-f\left( x,y \right)}{h}$

${{f}_{y}}\left( x,y \right)=\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x,y+k \right)-f\left( x,y \right)}{h}$

Örnek:

$\begin{align} & f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{3}}{{y}^{2}}-{{y}^{3}} \\ & {{f}_{x}}={{\left( {{x}^{3}} \right)}_{x}}+{{\left( {{x}^{2}}y \right)}_{x}}-{{\left( {{y}^{3}} \right)}_{x}} \\ & {{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0 \\ & {{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy \\ \end{align}$

Örnekler

Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri

• Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için f(x) = xⁿ fonksiyonu,

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

Bu eşitlik Binom Teoremi'nin bir sonucudur. (Bu formul yalnızca reel sayilarda kullanılır ! )

• sin(x) ve cos(x) trigonometrik fonksiyonları,

$\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)$

$\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$

• e^x fonksiyonu,

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar

• Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}$

limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

• $\sqrt[3]{x}$ fonksiyonu da 0'da türevli olmayıp da başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{0+h}-\sqrt[3]{0}}{h}$

limitinin $\infty$, yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, $\sqrt[3]{x}$ fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.

Temel Teoremler

Çok karmaşık görünümlü fonksiyonların da türevlerini almamızı kolaylaştıracak teknikler (teoremler) mevcuttur.

• (f ± g)'(a) = f'(a) ± g'(a),

• (f × g)'(a) = f'(a) × g(a) + g'(a) × f(a) (Çarpım Kuralı olarak bilinir),

• (f o g)'(a) = f'(g(a)) × g'(a) ( Bileşke fonksiyonun türevi, zincir kuralı olarak bilinir).

• (f / g)'(a) = [f'(a) × g(a) - g'(a) × f(a)] / g²(a) (Fark Kuralı),

Daha fazla bilgi için Türev alma kuralları maddesine bakınız.

Genellemeler

• Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f' , f fonksiyonunun türeviyse ve de f", f' fonksiyonunun türeviyse o zaman f" fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.

• Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f Karmaşık Sayılar veya p-sel Sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (mesela gene karmaşık sayılar kümesi olabilir) alıyor olabilir.

• Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür, ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu Kısmi Türev makalesinde bulunabilir.

Türevin uygulamaları

• f fonksiyonunun a noktasında türevi, f'nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.

• Hesabın temel teoremi'ne göre türev almakla integral almak, birbirlerinin tersi olan iki operasyondur.

• Taylor açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların deşerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.

• Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumuşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin diferansiyel denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.

• Matematiğin diferansiyel geometri ve diferansiyel topoloji alanları öncelikle türevlenebilir fonksiyonlar aracılığıyla tarif edilebilen geometrik yapılarla ilgilenirler.

Çarpım ve Bölüm Fonksiyonlarının Türevi

• Çarpım Fonksiyonunun Türevi

$y=f(x).g(x)\!$ olsun

$y'=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!$'dir

İspat:

$y=f(x).g(x)\!$

$lny=ln[f(x).g(x)]\!$

$lny=lnf(x)+lng(x)\!$

$dlny=d[lnf(x)+lng(x)]\!$

$dlny=dlnf(x)+dlng(x)\!$

$\frac{dy}{y}=\frac{df(x)}{f(x)}+\frac{dg(x)}{g(x)}\!$

$\frac{dy}{y}=\frac{f(x)'dx}{f(x)}+\frac{g(x)'dx}{g(x)}\!$

$\frac{dy}{y}=\frac{f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}\!$

$\frac{dy}{f(x).g(x)}=\frac{f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}\!$

$dy=f(x)'.g(x)dx+g(x)'.f(x)dx\!$

$dy=dx[f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)]\!$

$\frac{dy}{dx}=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!$

$y'=f(x)'.g(x)+g(x)'.f(x)\!$

• Bölüm Fonksiyonunun Türevi

$y=\frac{f(x)}{g(x)}\!$ olsun

$y'=\frac{f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^2}\!$'dir

İspat:

$y=\frac{f(x)}{g(x)}\!$

$lny=ln\frac{f(x)}{g(x)}\!$

$lny=lnf(x)-lng(x)\!$

$dlny=d[lnf(x)-lng(x)]\!$

$dlny=dlnf(x)-dlng(x)\!$

$\frac{dy}{y}=\frac{df(x)}{f(x)}-\frac{dg(x)}{g(x)}\!$

$\frac{dy}{y}=\frac{f(x)'dx}{f(x)}-\frac{g(x)'dx}{g(x)}\!$

$\frac{dy}{y}=\frac{f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}\!$

$\frac{dy}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{f(x).g(x)}\!$

$dy=\frac{[f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx]}{f(x).g(x)}.{\frac{f(x)}{g(x)}}\!$

$dy=\frac{f(x)'.g(x)dx-g(x)'.f(x)dx}{g(x)^2}\!$

$dy=\frac{dx[f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)]}{g(x)^2}\!$

$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^2}\!$

$y'=\frac{f(x)'.g(x)-g(x)'.f(x)}{g(x)^2}\!$

Kaynakça

• (Türkçe) Türev
• İngilizce Vikipedi'deki 03.08.2009 tarihli Q-derivative maddesi
• İngilizce Vikipedi'deki 03.08.2009 tarihli q-Derivative.html maddesi
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus