Kısmi türev

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Kısmi türev çok değişkenli bir işlevin, sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmi diferansiyel denklem denir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

z:{{\mathbb{R}}^{n}}\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to \mathbb{R}


z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})

biciminde tanimlanan n tane bagimsiz degsikene bagli surekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki \Delta {{x}_{m}} degisimine karşılık fonksiyonun değişim hızı

\frac{\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}=\frac{f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}


\Delta {{x}_{m}}=h


\frac{\partial z}{\partial {{x}_{m}}}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}

ifadesine z fonksiyonunun {{x}_{m}} değişkenine göre kısmi türevi denir.

\frac{\partial f}{\partial {{x}_{m}}}={{f}_{{{x}_{m}}}}={{D}_{{{x}_{m}}}}f=\frac{\partial z}{\partial {{x}_{m}}}={{z}_{{{x}_{m}}}}

şeklinde gösterilir.


z=f\left( x,y \right) ise;

{{f}_{x}}\left( x,y \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h,y \right)-f\left( x,y \right)}{h}


{{f}_{y}}\left( x,y \right)=\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x,y+k \right)-f\left( x,y \right)}{h}

Örnek:

\begin{align}
 & f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{3}}{{y}^{2}}-{{y}^{3}} \\ 
 & {{f}_{x}}={{\left( {{x}^{3}} \right)}_{x}}+{{\left( {{x}^{2}}y \right)}_{x}}-{{\left( {{y}^{3}} \right)}_{x}} \\ 
 & {{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0 \\ 
 & {{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy \\ 
\end{align}