Ölçülme ölçeği

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematik ve istatistik bilim dallarında, bir değişken için sayısal veri ölçülme ölçeği, o değişken içindeki nesneleri temsil eden sayısal değerlerin kapsadıkları bilgilerin özelliklerinin belirli bir şekilde sınıflandırmasıdır. İncelenen kavramlar Amerikan uygulamalı matematikçi Stanley Smith Stevens tarafından teklif edilip geliştirilmiştir. [1] [2]. Stevens'in ölçekler kuramına göre bir değişken için sayısal veriler dört değişik şekilde ölçülme ölçeğine sahip olabilirler: isimsel, sırasal, aralıksal ve oransal. Bu değişik ölçeklere göre değişken verilerine, değişik matematik ve istatistiksel işlemlerin ve ölçümlerin değişik şekilde uygulanması gerekmektedir.

Sayısal veri ölçeklerinin sınıflanması[değiştir | kaynağı değiştir]

Stevens dört değişik ölçülme ölçeği önermistir. Bunlar

  • isimsel
  • sırasal
  • aralıksal
  • oransal

ölçeklerdir.

Stevens'in sınıflanma düzenine göre, istatistik uygulaması için, yani betimsel istatistik ve çıkartımsal istatistik yöntemleri uygulamaları icin, kullanılan verilerin ölçülme ölçeklerine uygunluk göstermesi gerekmektedir. Bu veri ölçekleri ve bunların sınıflanması en zayıftan başlayıp giderek daha güçlenen matematiksel yapıya göre hazırlanmıştır. Buna göre ne kadar daha fazla matematiksel işlem ve ikisel ilişki için uygulama mümkünse, bazı istatistik tekniklerini kullanmak için o kadar fazla uygunluk ortaya çıkmaktadır. Stevens'in ölçeklerini, hangi istatistiklerle tanımlandıklarını, nasıl ilişki veya işlem kullanilabilineceğini ve nasıl matematiksel ifadeye uygun olacağını şu tablo özetlemektedir:

Ölçek Tanımlanabilen İlişki veya İşlem Matematiksel yapı
İsimsel Mod eşitlik (=) Set
Sırasal Medyan sıralama (<) Tüm sıralanmış set
Aralıksal Ortalama, standart sapma Çıkartma (-) ve ağırlıklı ortalama Afin doğru
Oransal Geometrik ortalama, varyasyon katsayısı Toplama (+) ve çarpma (×) alan

Stevens bu veri ölçek sınıflamasını ortaya attığı yayınında, birçok istatistik ile ilgili ders kitabında aynen alınmış ifade ile şu öneriyi ortaya çıkartmıştır:

"Ölçülme, nesnelere ve olaylara belli bir kurala göre sayı saptamaktir."

Ölçülme ölçeği ve özellikle bu şekilde ölçülmenin tanımlanması matematikçiler ve teorik ve uygulamalı istatistikçiler arasında büyük tartışmalara ve anlaşmazlıklara yol açmıştır; (Tenkitçiler arasında Duncan (1984) ve Mitchell (1986, 1999)yayınları örnek olarak verilebilir.) [3][4]). Bu tenkitlere kavramlar genişletildikten sonra değinilecektir. Ancak hemen söylemek gereklidir ki bu ölçülme ölçekleri sınıflanması çok geniş alanlarda, özellikle uygulamacı istatistikçiler ve veri analizcileri tarafından, pratikte kabul edilip kullanılmaktadır.


İsimsel ölçek[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu tip ölçüm için her bir değişik nesneye veya kişiye bir kategori isiminin bir etiket gibi belirlenmesi gereklidir. Kategori isimlerini belirlemesi için yapilan ilk çalışma, iyice belirlenmiş bir yordam kullanıp benzerlikleri ve ayrımları ayırt ederek ölçümde kullanılacak her bir etiket isim kategorisini açıkca tarif etmek şeklinde olur. Sonra birbirlerine benzerliği iyice karakterize edilmiş her kategori ismi için bir sayı belirlenir. Bu işlemlerle kategorilere verilmiş olan sayı değerleri isimsel ölçekli sayı olarak adlandırılır. Kategori isimlerine verilen isimsel ölçekli sayı, kategorinin sanki hüviyet numarası olur. İsimsel ölçekli sayılar ve bunların ifade ettigi kategoriler şeklinde ölçülen değişkene isimsel değişken adı da verilir.

Kategori tanımlanmasi ve kategoriye sayısal isim belirlenmesi önemlidir, ama her bir sayısal isim verilmiş kategori için belirlenmiş sayının matematiksel önemi çok azdır. Çünkü verilen sayı değerleri ile çok sınırlı matematiksel işlem uygulanabilir. Bir kategori için verilen isimsel ölçekli sayılar, genel olarak kısa, nötr ve üniversel (yani kullanılan dile bağlı olmayan) bir ifade sağladıkları için ve sayıları çok kolay işleme koyan bilgisayarda bilgi depolanmasına ve tasnif işlemlerine yardımcı olmaları nedeni ile önem kazanırlar.

İsimsel ölçekli sayılar için tek anlamlı matematiksel işlem uygulaması eşitlik veya eşitsizliğin tayini şeklinde olabilir. Kategoriler için belirlenen herhangi iki isimsel ölçekli sayı için karşılaştırmalı daha küçük veya karşılaştırmalı daha büyük ilişkileri kurulamaz; toplama, çıkartma, çarpma ve bölme gibi aritmetik işlemler tümüyle anlamsızdır.

Sosyal araştırmalarda ve birçok işletme ile ilgili araştırmalarda (örneğin pazarlama veya iş gücü planması ve idaresi için) isimsel değişkenler arasında cinsiyet, medeni durum, doğum yeri, ailenin asılı, ırk, din veya mezhep, bilinen lisan, tutulan parti, tutulan spor takımı, son eğitim durumu v.b. sayılabilir. Diğer önemli isimsel değişkenler: ikamet coğrafyası ile ilgili olarak ikamet edilen veya nüfusa kayıt il numarası; adres posta kodu; ev ve daire numaraları v.b.; işletme ve ticaretle ilgili olarak: üretilen, depolanan, nakil edilen, satılan ve satın alınan mal tipi, mal cinsi ve mal markası v.b. Bu liste istenirse çok genişletilebilir. Ölçüm ölçeği kavramını ortaya çıkartan ve geliştiren Amerikan psikolojist S.S.Stevens'in verdiği örnek, çocukların renk algılaması üzerine yaptığı araştırmada, değişik renklere verdiği isimsel sayılardır.

İsimsel ölçekli sayısal veriler için betimsel istatistik incelemesi olarak sadece merkezsel konum ölçüsü olarak modun kullanılması ve isimsel değişkenlere özel olan kategorik değişkenler için yayılım ölçüleri kullanılması mümkündür. İsimsel ölçekli verilere uygulanabilen çıkarımsal istatistik teknikleri için özel parametrik olmayan istatistik yöntemleri geliştirilmiştir. Ortalama, medyan, dörttebirlik vb. merkezsel konum ölçüleri veya standart sapma, varyans, değişim açıklığı ve daha az bilinen mutlak sapma ölçüleri kullanılması anlamsızdır. Bunlarla ilişkili kestirim ve parametrik sınama teknikleri de kullanılamaz.

İki kategoriden oluşan (evet/hayır veya sayısal olarak 0/1) isimsel değişkenlere uygulabilecek istatistiksel yöntemler üzerinde istatistikçiler arasında görüş ayrılılıkları bulunmakta ve bazı isimsel ölçekli verilere uygulanamıyacak işlem veya yöntemlerin bu iki kategorili isimsel değişkenler için anlamlı olabileceği iddia edilmektedir.

Sırasal ölçek[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Sırasal ölçek

Sırasal ölçekli sayısal değişkenler iki değişik şekilde ortaya çıkarlar ve değişik şekilde işlem görmeleri gerekir.

Birinci şekilde, sayılar artan ve eksilen bir şekilde eldeki değişken için bütün veriler (yani örneklem için n tane veya tamsayım için tüm anakütle için N tane) sıralama düzenini gösterir. Bir veri serisi bir değişkene göre sıralama düzenine konulmuş olabilir ve her bir veri elemanına ya artan şekilde (1'den n'e veya 1'den N'e kadar) ya da azalan şekilde (n'den '1'e veya N'den '1'e kadar) özel bir şekil sırasal ölçekli sayı veya daha uygun bir terimle sıra numarası verilir. Genellikle bu türlü sıralama düzeni için kullanılan sıra numaraları birbirini takip eden tamsayılardır. Ancak bu bir pratik alışkanlıktan ortaya çıkmıştır ve matematiksel olarak monotonik olma karakterini korudukça herhangi bir değişik sıra numarası vermek mümkündür. Buna en iyi örneğin belli bir değişken için veri elemanları için sıralama düzeni hazırlanırken, bu değişken için iki veya daha çok sayıda veri elemanı beraberlik gösterirlerse, beraberlik gösteren elemanlara verilen sıra numaraları için özel bir strateji uygulanması gerekir ve beraberlik gösteren elemanlara ya tamsayı ya da kesirli sayı olan, birbirine eşit sıra numarası verilir. Özellikle beraberlik halinde uygulanan kurallar için sıralama düzeni maddesine bakınız.

Diğer şekilde sırasal ölçekli sayısal veriler, incelenen değişken için belli sırasal kategoriler bulunması halinde ortaya çıkar. Örneğin bir tüketici anketi için bir karekteri tercih göstermesi için 3 kategori sayısı (1=tercihli, 2=tarafsız, 3=tercihsiz) veya tatmin olma göstermesi için 5 kategori sayısı (1=çok tatmin edici, 2=tatmin edici, 3=tarafsız, 4=tatmin etmeyici, 5=çok tatmin etmeyici) v.b kullanılabilir. Her örneklem veya tamsayım elemanına bu çeşit değişken için (örneğin 1 ile 3 arasında veya 1 ile 5 arasında) bir kategori sayısı (veya kategori puanı) veri serisi oluşturulur. Bu sayı şeklinde veriler de (isimsel ölçekli değişken verileri gibi) birer katagoriyi gösterir; ama kategori sayı numaraları arasında bir sıralama veya rütbe ilişkisi vardır. Böyle değişken için sayı verileri sırasal ölçeklidir; bazan bu değişkene sırasal değişken veya rütbe değişkeni adı da verilmektedir.

Sırasal ölçekli veriler için (yine isimsel ölçekli değişken verileri gibi) karşılaştırmalı küçük veya karşılaştırılmalı büyük olma işlemleri anlamlıdır. Ama buna ilaveten sırasal ölçekli verilere eşitlik ve eşitsizlik işlemleri de anlamlı olarak uygulanabilir. Ancak sırasal ölçekli veriler için bazı çok iyi bilinen aritmetik işlemler, yani toplama, çıkartma, çarpma ve bölme işlemleri uygulanmaları, anlamsız olur.

Sosyal bilimler, psikoloji, işletme bilimleri alanlarında pratikte birçok istatistiksel veri sırasal ölçekli olarak elde edilir . Örneğin tercih, tatmin olma, davranış, yargı gibi subjekif skorlar; muhafazakarlık, önyargılılık, sosyal sınıf v.b değişkenler sırasal ölçekli veriler ortaya çıkartırlar. Pozitif bilim alanında da sırasal ölçekli veriler bulunur: minerallerin çizilme sertliğini gösteren Mohs sertlik skalası, deprem şiddeti için Richter ölçeği vb.

Sırasal ölçekli veriler için betimsel istastiklerden merkezsel konum ölçüsü olarak medyan ve (isimsel ölçekli veriler gibi) mod kullanılması uygun olur. Ancak toplama ve bölme işlemleri uygun olmadığı için ortalama tanımlanamaz. Dörttebirlik, ondabirlik, yüzdebirlik, maksimum, minimum vb tanımlanabilir. İstatistiksel yayılım için özel kategorik veriler için yayılım ölçüleri hesaplanıp kullanılabilir. Buna karşılık çıkartma anlamsız olduğu için açıklığı, dörtebirlik açıklığı kulanılamaz. Alışılagelen yayılım ölçümleri olan varyans, standart sapma, mutlak sapmalar da anlamsızdır. Çıkarımsal istatistikler için parametrik sınama ve kestirim uygulamaları anlamsızdır. Ancak orantısal çokluklar dağılımı ve orantılar için hiptotez sınamaları ve kestirimler pratikte uygulanmaktadır. Ayrıca birçok parametrik olmayan istatistikler sırasal ölçekli değişkenlere tatbik edilebilir.

Teorik olarak sırasal ölçekli değişken verilerinin istatistiksel işlemlar uygun olup olmayacağı teoriye çok bağlı birçok ististikçi tarafından uygun olmadığı kabul edilmekle beraber, (özellikle davranış bilimleri ile ilgili olan) belli bir grup istatistikçi bunu kabul etmemekte ve birçok istatistikçinin anlamsız bulduğu istatistik yöntemleri sırasal ölçekli değişkenler ve veriler için uygulamaktadırlar. Birçok uygulamalı bilim ve pratik kullanımda da sırasal ölçekli veri olan değişkenler ile niceliksel (aralıksal veya oransal ölçekli) değişkenler arasında fark gözetilmemektedir. Örneğin, üniversitelerde öğrencilerin ders değerlendirilme anketlerinden ortaya çıkan tercih ve tatmin gösteren sırasal ölçekli verilerin ortalamaları ve standart sapmaları üniversite ve devlet eğitim idarecileri tarafından sanki birer niceliksel veri sonuçları imiş gibi üniversite, bölüm, bilim dalı ve ders değerlendirilmeleri için kullanılmaktadır.

Aralıksal ölçek[değiştir | kaynağı değiştir]

Aralıksal ölçekli sayılar nesnelere tahsis edilince sırasal ölçekli sayıların tüm özelliklerin sahiptirler ama bunlara ek olarak aralıklı ölçekli sayılarda ölçümlerdeki farklar her halde eşit olan aralıkları temsil etmektedir. Bu demektir ki, rasgele alınan bir çift nesne için yapılan ayrı ölçümler birbirleriyle karşılaştırılabilirler. Bu nedenle ortalama alma ve çıkartma gibi aritmetik operasyonlar anlamlıdır. Ancak toplama operasyonunun anlamı bulanıktır Çünkü bu ölçekte mutlak bir sıfır başlangıç noktası bulunmaz ve değişik nesneler için değişik keyfi orijin noktaları kullanma imkânı ve bu değişik orijinli ölçümlerin karıştırılma imkânı bulunur. Biçimsel matematik terminolojiye göre bu sayılar afin uzayı elemanlarıdır. Aralıksal ölçekli olarak ölçülen değişkenlere aralıksal değişkenler denilmektedir. Bazan aynı kavrama ölçülme birimleri anlamlı olduğu için ölçeklenmiş değişkenler denilmektedir ama bu kullanış tarzı tavsiye edilmemektedir.

Aralıksal ölçekli sayılar için iki sayı arasındaki oran anlamlı değildir. Onun için çarpma ve bölme işlemleri doğrudan doğruya tatbik edilemez. Ancak farkların orantıları anlamlıdır; örneğin bir fark diğer bir farkdan 2 misli büyük olabilir.

Aralıksal ölçekli değişkenlere çok kullanılan örnekler şunlardır: Miladî, Hicrî, Çinli vb gibi çok değişik takvim şekli olduğu için takvim tarihleri; yine santigrad, [fahrenhayt] vb kullanarak ısı ölçme.

Aralıksal ölçekli değişken verileri için merkezsel konum ölçüleri mod, medyan veya aritmetik ortalama olabilir. İstatistiksel yayılım ölçüsü sadece farklar ve ortalama almayı kapsayan açıklık, çeyrekler açıklığı veya (farkların oranı anlamlı olduğu için) standart sapma olabilir. Aralıksal ölçekli değişkenler için bölme işlemi anlamsız olduğu için student-tipi açıklık veya varyasyon katsayısı uygun ölçüler değildirler. Yine aralıksal ölçekli değişkenlerde başlangıç noktası keyfî olduğu için merkezsel momentler anlamsızdır.

Oransal ölçek[değiştir | kaynağı değiştir]

Nesnelere bağlanan oransal ölçekli sayılar aralıksal ölçekli sayıların tüm özelliklerine sahiptirler ve bunlara ek olarak herhangi iki çift sayı arasında kurulan orantı da anlamlı olur. Bu nedenle çarpma ve bölme matematiksel işlemleri de anlamlıdır. Oransal ölçekli sayılar için keyfî olmayan gerçek başlangıç sıfır noktası bulunur. Oransal ölçekli sayılarla ölçümü yapılan değişkenlere oransal değişkenler adı verilir.

Fizikle ilgili birçok miktarlar için, kütle, uzunluk, enerji vb, oransal ölçekli sayılar ile ölçümü yapılır. Fizik için kelvin bazında ölçülen mutlak sıfır (-273° santigrad Celsius'da) gerçek olarak başlangıç noktası olduğu için bilimsel alanda kullanılan bu şekil ölçum dolayısıyla ısı da oransal değişkendir. Halbuki pratikte normal olarak kullanılan santigrad veya fahranhayt birimleri ile ölçülen ısı değişkeni aralıksal değişken olur.

Sosyal bilimler alanında birçok değişken oransal ölçekte ölçülür; örneğin ankete cevap verenlerin için yaş, belli bir adreste ikamet dönemi, çalışma yerinde kaç yıldır bulunduğu vb.

Oransal ölçekli verilere bütün normal matematik işlemler uygulanabileceği için, tüm istatistiksel ölçüm, kestirim, sınama ve işlemler için, hiç kuşku yaratmadan, kullanılabilirler.

Oransal ölçekli bir değişken için, merkezsel konum ölçüleri sadece mod, medyan, aritmetik ortalama olmayıp geometrik ortalama da kuşkusuz kullanılabilir. İstatistiksel yayılım ve sapma ölçüleri olan ve aralıksal ölçekli değişkenler için kullanılabilinen çeşitli tipte açıklık ve varyans yahut standart sapma yanında oransal ölçekli istatistik veriler için orantı şeklinde uygulanan student-tipi açıklık veya varyasyon katsayısı da kuşkusuz kullanılabilir. Ayrıca başlagıç sıfır noktası gerçek oldugu için orijin etrafındaki momentler de, aralıklı ölcekli değişkenler için biraz kuşkulu olarak kullanılırken, oransal ölçekli değişken verileri için hiç kuşkusuz kullanılabilirler.

Niceliksel ve kategorik sayılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Birçok istatistikçiler aralıksal ölçekli sayılar ve oransal ölçekli sayılar arasındaki kavram farklarının istatistiksel özetleme, inceleme ve analiz için çok önemli olmadığını ve her ikisi için de çok önemli olan matematiksel işlemlerin uygun olduğunu iddia edip bu çeşit verilere niceliksel veriler adını vermektedirler. Bazı matematikçilere göre bu türlü ölçekli veriler gerçek ölçülme ile elde edilmişlerdir. Diğer taraftan daha zayıf önemde olan isimsel ölçekli ve sırasal ölçekli sayılar için kategorik veriler adı verilmekte ve kategorik sayılar şeklinde olan veriler için (giriş, orta derecede ve hatta ileri derecede) istatistik ders kitaplarına girmeyen birçok istatistik işlemler, sınamalar ve analizler değişik, ayrı özel referans kitaplarında ele alınmaktadır. Örnegin ana istatistik kitaplarında önemli olarak açılanan yayılım ölçüleri sadece niceliksel veriler için verilmekte; kategorik veriler için geliştirilmiş konsentrasyon kavramına dayanan yayılım ölçülerinin ise ne istatistik kitaplarında ne de istatistik kompüter program paketlerinde isimleri hiç geçmemektedir. Kategorik veriler için yayılım maddesine bakın.

Diğer taraftan niceliksel veriler için öğrenilip kullanılması bilinen yayılım ölçüleri ve diğer istatistiksel işlemler (her hâlde anlamlı ve uygun ölçüler bilinmediği için) pratikte uygunsuz ve anlamsız olarak sırasal ölçekli ve isimsel ölçekli veriler için hiç kritik kabul edilmeden kullanılmaktadır.

Sınıflama sistemi üzerinde tartışma[değiştir | kaynağı değiştir]

Stevens'in ölçülme ölçeği sınıflandırması çok geniş alanlarda kabul edilip kullanılmasına rağmen, bu sınıflamanın uygunluğu (özelikle isimsel ve sırasal ölçekler hallerinde) büyük tartışmalara yol açmıştır ve bu tartışma hala da devam etmektedir. (Velleman ve Wilkinson, 1993)[5] Duncan (1984) [6] kendi hazırlayıp geliştirdiği ölçülme kavramının belirlenmesini göz önüne alarak, Stevens'in isimsel ölçekli adını verdiği ölçümlerin imkânsız ve uygunsuz olacağını iddia etmiştir. Stevens (1975) [7] kendinin ortaya atıp geliştirdiği kavramlar üzerinde sonradan hazırladığı bir kitabında:

Bir değişkene bir sayı tahsis edilmesi belirli tutarlı kurala göre yapılmalıdır; rastgele sayı tahsis edilmesi kabul edilemiyecek bir kuraldır; çünkü rastgelelik bir efektif olarak kural olmadığına işaret etmektedir.

demektedir. Buna göre keyfî bir şekilde isim olarak sayıların tahsis edilmesi sonucu ortaya çıkan isimsel ölçekli değişkenler ölçüm olmayacaklardır. Lord (1953) [8] yazısında biraz alaycı olarak Futbol sayılarına istatistiksel işlemlerin uygulanması hakkında yazdığı kritikte bu noktaya da çok önem vermiştir.

Ölçülme ölçegi kavramları hakkında, özellikle davranış bilimlerinde, diğer bir büyük tartışma konusu sırasal ölçekli değişkenler için aritmetik ortalamanın uygun ve anlamlı olup olmayacağıdır. Ölçme kuramına göre aritmetik ortalamalar (ve buna dayanan standart sapma veya varyans) sırasal ölçekli sayılar için, anlamsız ve uygun olmayan matematik işlemlerin kullanılmasını gerektirdiği için, anlamsızdırlar. Buna karşılık pratikte, özellikle davranış bilimi uygulayıcıları, çok belirli şekilde sırasal ölçekli olan anket verilerinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını çok büyük kitleler için çok (hatta hayatî) önem taşıyan sosyal incelemelere ve sosyal politikalara baz olarak kullanmaktadırlar. Bu (ölçme teorisine aykırı) kullanım için verilen neden, davranış bilimlerinde kullanılan sırasal ölçekli görünüşlü değişkenlerin, gerçekte ölçme teorisinde ele alınan sırasal değişkenlerden değişik karekterde oldukları ve daha çok aralıksal ölçekli değişkenlere benzedikleridir. Bu iddiaya göre değişik elemanlar için bulunan sırasal sayı aralıkları teorik olarak sabit ve duragan olmamakla beraber, genellikle elamanlar arasında fazla farklılık göstermemekte ve hatta genellikle pratikte elemanlar arasında sabit görünüşte olmaktadır. Örneğin egitim alanında aynı imtihan kâğıtlarına bakıp sırasal bir sayı olarak not veren değişik öğretim üyelerinin sırasal ölçekli olarak verdikleri imtihan değerlendirmeleri arasında pratikte pek az farklılık bulunmaktadır. Bu nedenle davranışsal bilim uygulayıcılarından çoğu, sırasal ölçekli verilere aralıksal veya oransal ölçekli verilere uygun olan istatistiksel ölçümleri hiçbir sorun duymadan, hiç sakınma veya kuşku göstermeden uygulamaktadırlar.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Stevens, S.S. (1946). On the theory of scales of measurement. Science, Sayı 103, say.677-680
  2. ^ Stevens, S.S. (1951). Mathematics, measurement and psychophysics. S.S. Stevens (Ed.), Handbook of experimental psychology New York: Wiley say.1-49
  3. ^ Duncan, O. D. (1984). Notes on social measurement: historical and critical. New York: Russell Sage Foundation.
  4. ^ Michell,J. (1986). "Measurement scales and statistics: a clash of paradigms". Psychological Bulletin, C.3, say.398-407.
  5. ^ Velleman,P.F. ve Wilkinson, L. (1993) "Nominal, ordinal, interval, and ratio typologies are misleading. (İsimsel, sırasal, aralıksal ve oransal tipolojiler yanıltıcıdır.)" The American Statistician, C.47', No:1, say. 65-72. [1]
  6. ^ Duncan,O.D. (1984). Notes on social measurement: historical and critical. New York: Russell Sage Foundation.
  7. ^ Stevens,S.S. (1975). Psychophysics. New York: Wiley.
  8. ^ Lord,F.M. (1953), "On the Statistical Treatment of Football Numbers" Haber,A., Runyon, R.P. ve Badia,P. (ed)Readings in Statistics, Bölüm 3, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1970.

Dışsal kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]