Ağırlıklı ortalama

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

İstatistik bilim dalında ağırlıklı ortalama betimsel istatistik alanında, genellikle örneklem, veri dizisini özetlemek için bir merkezsel konum ölçüsüdür. En çok kullanan ağırlıklı ortalama tipi ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Burada genel olarak bir örnekle bu kavram açıklanmaktadır. Değişik özel tipli ağırlıklar alan özel ağırlıklı aritmetik ortalamalar bulunmaktadır. Diğer ağırlıklı ortalamalar ağırlıklı geometrik ortalama ve ağırlıklı harmonik ortalamadir. Ağırlıklı ortalama kavramı ile ilişkili teorik açıklamalar son kısımda ele alınacakdır.

Ağırlıklı aritmetik ortalama[değiştir | kaynağı değiştir]

Ağırlıklı aritmetik ortalama[değiştir | kaynağı değiştir]

Boş-olmayan bir veri-seti olarak

[x_1, x_2, \dots , x_n]\,,

ve her bir eleman icin ağırlık fonksiyonu

[w_1, w_2, \dots, w_n]\,,

olarak verilirse, ağırlıklı aritmetik ortalama için formül şu olur:

\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i},

Daha açık bir şekilde (toplama operatörü olan Σ kullanılmadan) bu formül

 \bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}.

olur.

Ağırlıklar negatif olmamalıdır. Ağırlıkların bazıları sıfır olabilir; ancak hepsi sıfır olamazlar çünkü bu halde p matematikte sıfırla bölme tanımlanmaz.

Eğer bütün ağırlıklar birbirlerine eşitlerse sonuç aritmetik ortalamanın aynısıdır. Genel olarak ağırlıklı ortalamalar özellikleri bakimdan aritmetik ortalamaya benzemektedir. Ancak ağırlıklı ortalamalar bazan sezgiyile kabul edilemiyecek sonuçlar doğurur; örneğin Simpson'un paradoksu ortaya çıkabilir.

Ağırlıklı ortalamalar bazı matematik alanlarda rol oynarlar. Ayrıca betimsel istatistik alanında ağırlıklı ortalamalar pratikte kullanılır.

Normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama[değiştir | kaynağı değiştir]

Pratikte çok görülebilen bir özel ağırlıklı aritmetik aortalama hali, ağırlık fonksiyonun normalize edilmiş şekli ile ortaya çıkan özel normalize ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Normalizasyon işlemi ağırlıkların toplamını 1e eşit yapılması ile başarılır. Bu halde ağırlıklı aritmetik ortalama formulünün paydası 1e eşit olur. Böylece payda

 {w_1 + w_2 + \cdots + w_n} = 1

olduğu için bu bir koşul olarak şu normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama bulunur:

\bar{x} = {w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}

Uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer x bir uzunluk değişkeni ise uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama şu olur:

\bar{y} = \frac{y_2 x_2 - y_1 x_1}{x_2 - x_1}


Ağırlıklı aritmetik ortalama için pratik örneğin[değiştir | kaynağı değiştir]

Aynı bir istatistik imtihanı fakultede bulunan 30 öğrencili gündüz dersleri şubesine ve 20 öğrencili gece dersleri şubesine uygulanmıştır. Sonuç veri dizileri şöyledir:

Gündüz dersleri = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99
Gece dersleri = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98

Ağırlıksız aritmetik ortalama sonucu, gündüz dersleri şubesi için 90% ve gece dersleri şubesi için 80% olarak hesaplanır. Eğer bu ikisinin basit bir ortalaması alınırsa, bu ortalama 85% olarak bulunur. Bu tüm öğrenciler için bir basit aritmetik ortalama değildir. Çünkü aritmetik ortalama tüm notların toplanmasını ve bütün toplam öğrenci sayısı ile bölünmesini gerektirir; yani

\bar{x} = \frac{4300}{50} = 86\%.

Aynı sonuç daha kolay bir şekilde iki şube basit aritmetik ortalamalarını ve ağırlık olarak şube büyüklüklerini kullanarak bir ağırlıklı ortalama bulunması yoluyla da elde edilebilir:


\bar{x} = \frac{(20)80\% + (30)90\%}{20 + 30} = 86\%.

Böylece, eğer bireysel notlar elde bulunmuyorsa fakat şube ortalama notları ve şube büyüklükleri biliniyorsa, tüm öğrenciler için ortalama not yine de hesaplanabilir.

Conveks kombinasyon[değiştir | kaynağı değiştir]

Incelenen sorunda sadece oransal olarak verilen ağırlıklar bulunuyorsa, herhangi bir ağırlıklı ortalamanın ağırlıklarının toplamı 1e eşit olan özel bir ağırlıklı ortalama olarak ifade edilebilir. Bu çeşit lineer toplama dönüşümüne bir konveks birleşim adı verilir.

Verilen sayısal örneğinde ağırlıkları oransal yüzde iken bu şöyle gosterilebilir:


\frac{20}{20 + 30} = 0.4\,



\frac{30}{20 + 30} = 0.6\,

\bar{x} = \frac{(0.4)80\% + (0.6)90\%}{0.4 + 0.6} = 86\%

Bu şöyle basitleştirilebilir:


\bar{x} = (0.4)80\% + (0.6)90\% = 86\%

Varyans ağırlıklı aritmetik ortalama[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer her bir veri elemanı x_i\,\!nin her biri bilinen {\sigma_i}^2\, varyansli değişik olasılık dağılımından geldiği bilinmekte ise, bir özel bir ağırlıklı aritmetik ortalama kurulabilir. Bu tür ağırlıklı aritmetik ortalama için ağırlıklar bilinen varyans değerleri, yani


w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}.

olarak seçilir. Eğer bu seçim yapilirsa, ortaya çıkan varyans ağırlıklı aritmetik ortalama şöyle ifade edililir:


\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i/{\sigma_i}^2}{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2},

Bu özel tip ağırlıklı ortalama için varyans şöyle hesaplanabilir:

 \sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{ 1 }{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2},

Eğer her bir varyans sabit ise, yani \sigma_i = \sigma_0\, ise, bu ifade daha da basit olarak şöyle yazılabilir:

 \sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{ {\sigma_0}^2 }{n}.

Çıkarımsal istatistik alanı içinde bu tür varyans ağırlıklı aritmetik ortalamanın önemi, bu tür ortalamanın bağımsız ve aynı ortalama ile normal dağılım gösteren olasılık dağılımlarının ortalaması için maksimum olabilirlik kestirimi olduğundadır.

Ağırlıklı geometrik ortalama[değiştir | kaynağı değiştir]

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilirse

X = { x1, x2, ..., xn}

ve her bir veriye verilen ağırlıklar yani ağırlık fonksiyonu' şu ise:

W = { w1, w2, ..., wn}

Bu halde ağırlıklı geometrik ortalama şöyle hesaplanır:

 \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{\sum_{i=1}^n w_i \ln x_i}{\sum_{i=1}^n w_i \quad} \right)

Bundan çıkartılabilecek bir diğer sonuç, geoemetrik ortalamanın logaritmasının bireysel değerlerin logaritmalarının ağırlıklı aritmetik ortalaması olduklarıdır.

Ağırlıklı harmonik ortalama[değiştir | kaynağı değiştir]

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilsin:

X = { x1, x2, ..., xn}

Her bir veriye verilen ağırlıklar şunlar olsun:

W = { w1, w2, ..., wn}

Bu halde ağırlıklı harmonik ortalama şöyle hesaplanır:

 \bar{x} = \sum_{i=1}^n w_i \bigg/ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}

Dikkat edilirse, eğer butun ağırlıklar aynı ağırlık sayısı ise, sonuç bir harmonik ortalamanın aynısıdır.

Genel ağırlıklı ortalama kavramı[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel kavramsal yaklaşım[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir ağırlıklı ortalama M çoklu bir pozitif sayılar dizisini bir pozitif sayı olan

(\mathbb{R}_{>0}^n\to\mathbb{R}_{>0}).

ifadesine tasarımlayan bir fonksiyondur.

(Vektör notasyonu kullanarak:  \forall\lambda\ \forall x\ M(\lambda\cdot x) = \lambda \cdot M x )

Sonuç olarak:

Bir isbat eskizi: \forall x\ \forall y\ \left(||x-y||_\infty\le\varepsilon\cdot\min x \Rightarrow \forall i\ |x_i-y_i|\le\varepsilon\cdot x_i\right) ve M((1+\varepsilon)\cdot x) = (1+\varepsilon)\cdot M x olduğu için sonuç olarak

\forall x\ \forall \varepsilon>0\ \forall y\ ||x-y||_\infty\le\varepsilon\cdot\min x \Rightarrow |Mx-My|\le\varepsilon.

  • Türevi alınamayan ortalamalar bulunmaktadır. Örneğin, çok sayılı bir dizinin maksimum sayısı bir tür konum merkezi olduğu kabul edilebilir (ya bir güç ortalamasının uçsal hali olarak veya bir medyan olarak) ama bunun türevi alınamaz.
  • Hemen hemen her ortalama (genelleştirilmiş f-ortalama hariç) bu verilen özellikleri taşımaktadır.

Ağırlıklı ortalamaya dönüşüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Elemanları tekrarlıyarak herhangi bir ağırlıksız ortalama bir ağırlıklı ortalamaya dönüştürülebilir. Bu özellik herhangi bir ortalamanın, ağirlıklı ortalamaların bir ağırlıklı şeklinin ortalaması olduğu önerilebilir. Bu öneri şöyle biraz daha açıklığa kavuşabilir: Diyelim ki ağırlıkı ortalama M ve doğal sayılardan oluşan şu ağırlıklar

a_1,\dots,a_n

verilmiş bulunsun. Bu halde buna karşıt olan ağırlıklı ortalama A şöyle elde edilebilir:

A(x_1,\dots,x_n) = M(\underbrace{x_1,\dots,x_1}_{a_1},x_2,\dots,x_{n-1},\underbrace{x_n,\dots,x_n}_{a_n}).

Anakütle ve örneklem ortalamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

Normal dağılım gösteren bir anakütleden gelen bir rastgele örneklem için örneklem ortalamasının beklenen değeri, μ, yani anakütle ortalamasıdır. Böylece örneklem ortalaması, [yansızlık] nokta tahmin kriterine göre anakütle ortalamasının iyi bir tahminidir. Örneklem ortalaması bu halde, kendine ait bir olasılık dağılımı bulunan bir rassal değişken olarak görülmektedir. Normal dağılım gösteren bir anakütleden rastgele bir örneklem yöntemi ile seçilmiş n büyüklükte bir örneklemin ortalamasının örneklem ortalama dağılımı şudur:

\bar{x} \thicksim N\left\{\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right\}.

Çok kere anakütle varyansı bilinmeyen bir parametredir ve ortalama toplam kareler tahiminden yaklaşık olarak elde edilmiştir. Bu halde örneklem ortalamasının dağılımı, normal dağılım olmaktan çıkıp, n - 1 serbestlik dereceli bir Student'in t dağılımı olur.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Bevington, Philip. Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]