Merkezsel moment

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Olasılık kuramı ve istatistik bilimsel dallarında bir reel-değerli rassal değişken için kinci ortalama etrafındaki moment, E beklenen değer operatörü olursa

μk := E[(X - E[X])k]

miktarı olarak tanımlanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan bir sürekli tekdeğişirli olasılık dağılımı için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir:


\mu_k
= \left\langle ( X - \langle X \rangle )^k \right\rangle
= \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x)\,dx.

Fizikçiler kullandıkları notasyonda burada verilen E(X) (Xin beklenen değeri) yerine \langle X \rangle terimini tercih etmektedirler.

Eğer rassal değişken için bir ortalama bulunmuyorsa (örneğin Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken için) o halde merkezsel momentler de anlamsızdır.

İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir:

Özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

  • ninci merkezsel moment çevirme operasyonu ile değiştirilemez; herhangi bir rassal değişken olan X için ve bir sabit olan c için
\mu_n(X+c)=\mu_n(X).\,

olur.

  • Her n için, ninci merkezsel moment n dereceli homojen dir; yani
\mu_n(cX)=c^n\mu_n(X).\,
  • Yalnız n ≤ 3 için geçerli olan bir özellik, birbirinden bağımsız olan X ve Y rassal değişkenleri için toplanabilirlilik özelliğidir:
\mu_n(X+Y)=\mu_n(X)+\mu_n(Y)\ \mathrm{eger}\ n\leq 3.\,

Kümülant adı verilen, bir diğer fonksiyon türü de, ninci merkezsel momentin sahip olduğu çevirme operasyonu ile değişmeme ve homojenlik özelliklerini taşır. Fakat, merkezsel momentin aksine, bu fonksiyon türü n ≥ 4 olsa bile toplanabilirlilik özelliği gösterir. Bu fonksiyon türü

κn(X).

olarak ifade edilen ninci kümülantdır.

  • n = 1, için ninci kümülant, sadece beklenen değerdir.
  • n = ya 2 veya 3 ise, ninci kümülant sadece ninci merkezsel moment olur.
  • n ≥ 4, ise ninci kümülant ise bir ilk sifir etrafindaki n momentin ninci-derecede monotonik polinomu olurlar ve daha kolaylıkla ilk n merkezsel momentlerin n dereceli polinomları olurlar.

Orijin etrafındaki momentlere ilişki[değiştir | kaynağı değiştir]

Bazen orijin etrafındaki momentleri ortalama etrafındaki momentlere değiştirmek daha uygun olabilir. Orijin etrafındaki ninci-derecede momenti ortalama etrafındaki momente değiştirmek için kullanılan genel denklem şudur:


\mu_n = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1) ^{n-j} \mu'_j m^{n-j},

Burada m dağılımın ortalaması olur. Orijin etrafındaki moment şöyle verilir:


\mu'_j = \int_{-\infty}^{+\infty} x^j f(x)\,dx.

n=2,3,\text{ ve } 4 halleri sırasıyla varyans, çarpıklık ve basıklık özellikleri ile ilişkili oldukları için önemlilerdir ve formülleri şöyle ifade edilir:

\mu_2 = \mu'_2 - m^2
\mu_3 = \mu'_3 - 3 m \mu'_2 + 2 m^3
\mu_4 = \mu'_4 - 4 m \mu'_3 + 6 m^2 \mu'_2 - 3 m^4

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]