Asal sayı

Bileşik sayılar, dikdörtgen biçimlerine düzenlenebilirken, asal sayıların bu biçimde düzenlenmesi mümkün değildir.

Bir asal sayı, yalnızca 1'den büyük olup kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemeyen bir doğal sayıdır. 1'den büyük ve asal olmayan doğal sayılara bileşik sayı adı verilir. Örneğin, 5 bir asal sayıdır çünkü onu bir çarpım olarak ifade etmenin mümkün olan yolları, 1 × 5 veya 5 × 1, yalnızca 5 sayısını içermektedir. Ancak, 4 bir bileşik sayıdır çünkü bu, her iki sayının da 4'ten küçük olduğu bir çarpım (2 × 2) şeklindedir. Asal sayılar, aritmetiğin temel teoreminden ötürü sayı teorisi alanında merkezi öneme sahiptir: 1'den büyük her doğal sayı, ya bir asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak, sıralamalarından bağımsız bir şekilde, benzersiz olarak çarpanlarına ayrılabilir.

Bir sayının asal oluş özelliği, asallık olarak tanımlanır. Verilen bir $n$ sayısının asallığını denetlemek için kullanılan basit fakat zaman alıcı bir yöntem olan asallık testi, $n$ sayısının 2 ile ${\sqrt {n}}$ arasındaki herhangi bir tam sayıya katı olup olmadığını sınar. Daha hızlı algoritmalar arasında, hızlı olmasına karşın küçük bir hata payı barındıran Miller–Rabin asallık testi ve her zaman polinom zamanında doğru sonucu veren fakat pratikte uygulanabilirliği sınırlı olan AKS asallık testi yer alır. Mersenne sayıları gibi özel biçimlere sahip sayılar için özellikle hızlı yöntemler mevcuttur. (Aralık 2018 (2018-12) itibarıyla), bilinen en büyük asal sayı, 24,862,048 ondalık basamağa sahip bir Mersenne asalıdır.

M.Ö. 300 civarında Öklid tarafından ispatlandığı gibi, asal sayılar sonsuz bir kümedir. Asal sayılar ile bileşik sayıları birbirinden ayıran kesin ve basit bir formül bulunmamaktadır. Bununla birlikte, doğal sayılar arasındaki asal sayıların dağılımı, genel olarak istatistiksel yöntemlerle modellenebilir. Bu bağlamda elde edilen ilk önemli sonuç, 19. yüzyılın sonlarında ispatlanan asal sayı teoremidir; bu teori, büyük bir sayının rastgele seçilmesi durumunda asal olma olasılığının, sayının basamak sayısına, yani logaritmasına ters oranlı olduğunu ifade eder.

Asal sayılara ilişkin tarihsel bazı sorular henüz çözüme kavuşturulmamıştır. Bu sorular içerisinde her 2'den (En küçük asal sayı 2'dir.) büyük çift tam sayının iki asal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ileri süren Goldbach'ın hipotezi ve ikişer rakam aralıkla sınırsız sayıda ikiz asal sayı çiftinin var olduğunu iddia eden ikiz asal hipotezi yer almaktadır. Bu tür sorular, sayıların analitik ve cebirsel boyutları üzerine yoğunlaşan sayı teorisi alanlarının gelişimini hızlandırmıştır. Asal sayılar, bilgi teknolojisi alanında, özellikle de büyük sayıların asal çarpanlara ayrılmasının güçlüğüne dayanan açık anahtarlı kriptografi gibi çeşitli işlemlerde kullanılmaktadır. Soyut cebirde, asal sayılara genelleştirilmiş bir biçimde benzeyen yapılar arasında asal elemanlar ve asal idealler sayılabilir.

Tanım ve örnekler

Bir doğal sayı (1, 2, 3, 4, 5, 6, vb.), 1'den büyük olması ve kendisinden küçük iki doğal sayının çarpımı olarak ifade edilememesi durumunda asal sayı olarak nitelendirilir. 1'den büyük olup asal olmayan sayılara bileşik sayılar adı verilir. Diğer bir ifadeyle, eğer $n$ sayısı, kendinden küçük birden fazla eşit parçaya bölünemez ise, ya da $n$ kadar nokta tam bir dikdörtgen olarak şekillendirilemez ise, $n$ bir asal sayıdır.

Örneğin, 1 ile 6 arasındaki sayılar içinde, 2, 3 ve 5 sayıları asal sayılardır, zira bu sayıları kendinden başka tam bölebilen (kalan bırakmaksızın) başka bir sayı yoktur. 1 sayısı, tanım gereği asal olarak kabul edilmez. 4 = 2 × 2 ve 6 = 2 × 3 her ikisi de bileşik sayı kategorisindedir.

Cuisenaire çubukları kullanılarak yapılan gösterim, 7 sayısının asal olduğunu, çünkü 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarıyla tam olarak bölünemediğini ortaya koyuyor

Bir doğal sayı $n$'in bölenleri, $n$ sayısını eşit olarak bölebilen doğal sayılardır. Her doğal sayı, kendisi ve 1 olmak üzere iki temel bölene sahiptir. Eğer bir sayının bu ikisinden başka bir böleni varsa, asal sayı olamaz. Bu durum, asal sayıların alternatif bir tanımını sunar: Yalnızca iki pozitif bölene sahip olan sayılar asal sayılardır. Bu iki bölen, 1 ve sayının kendisidir. Tek bir bölene sahip olan 1 sayısı, bu tanım çerçevesinde asal kabul edilmez. Aynı kavramı başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, bir sayı $n$, 1'den büyükse ve $2,3,\dots ,n-1$ sayılarından hiçbiri $n$ sayısını eşit bölmezse, o sayı asaldır.

İlk 25 asal sayı (100'den küçük tüm asal sayılar) şunlardır:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (OEIS'de A000040 dizisi).

2'den büyük hiçbir çift sayı $n$ asal olamaz çünkü herhangi bir böyle sayı $2\times n/2$ olarak ifade edilebilir. Bu nedenle, 2 dışındaki her asal sayı bir tek sayıdır ve tek asal olarak adlandırılır. Benzer şekilde, alışılagelmiş ondalık sistemde yazıldığında, 5'ten büyük tüm asal sayılar 1, 3, 7 veya 9 ile biter. Diğer rakamlarla biten sayılar hep bileşiktir: 0, 2, 4, 6 veya 8 ile biten ondalık sayılar çifttir ve 0 veya 5 ile biten ondalık sayılar 5'e bölünebilir.

Tüm asalların kümesi bazen $\mathbf {P}$ (kalın harflerle büyük bir P) veya $\mathbb {P}$ (tahtaya yazı tipiyle büyük bir P) ile gösterilir.

Tarihçe

Rhind Papirüsü

M.Ö. 1550 civarından kalan Rhind Papirüsü, asal ve bileşik sayılar için farklı formdaki Mısır kesri genişlemelerini içerir. Ancak, asal sayıların incelenmesine dair en eski kayıtlar antik Yunan matematikçilerinden gelmektedir, onlar bu sayılara prōtos arithmòs (Grekçe: πρῶτος ἀριθμὸς) demektedirler. Öklid'in Elementleri (M.Ö. 300 civarı) asal sayıların sonsuzluğunu ve aritmetiğin temel teoremini kanıtlar ve bir Mersenne sayısından nasıl bir mükemmel sayı oluşturulacağını gösterir. Başka bir Yunan icadı olan Eratosten kalburu, asal sayı listeleri oluşturmak için hala kullanılmaktadır.

1 sayısı

1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır. Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.

Resimdeki örnek 11'in asal olup 12'nin asal olmadığını gösteriyor.

Asal oturanlar

Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.

Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:
23244 = 2² × 3 × 13 × 149

ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik asal çarpanlara ayırma algoritmaları vardır.

İkiz asallar

Ana madde: İkiz asallar sanısı

Aralarındaki fark iki olan asal sayılar hakkındaki ikiz asallar konjektürü.

Örneğin:

• (3, 5)
• (5, 7)
• (11, 13)
• (17, 19)
• (29, 31)
• (41, 43)
• (59, 61)
• (71, 73)
• (101, 103)
• (107, 109)

Chen asalları

Bir a asal sayısı (a+2) biçiminde yazıldığında asal ya da yarı asal oluyorsa a değeri, Chen asalı olarak adlandırılmaktadır. İkiz asallarda, küçük sayı aynı zamanda Chen asalıdır.

Asal örnekler:

• a = 5 $\Rightarrow$ 5 + 2 = 7
• a = 11 $\Rightarrow$ 11 + 2 = 13

Yarı asal örnekler:

• a = 2 $\Rightarrow$ 2 + 2 = 4 $\land$ 2 × 2 = 4
• a = 7 $\Rightarrow$ 7 + 2 = 9 $\land$ 3 × 3 = 9

Mersenne asalları

Bir a doğal sayısı (2^a – 1) biçiminde yazıldığında hesaplanan değer Mersenne sayısı, asal oluyorsa aynı zamanda Mersenne asalı olarak adlandırılmaktadır. Mersenne asalları hesaplanırken, a sayısı da asal olarak alınmaktadır. Ancak a sayısının asal olarak alındığı bazı durumlarda, bileşik Mersenne sayıları hesaplanabilmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 2^82,589,933 − 1, Mersenne asalıdır.

Mersenne asalları:

• 2² – 1 = 3
• 2⁵ – 1 = 31

Bileşik Mersenne sayıları:

• 2¹¹ – 1 = 2047

Goldbach hipotezi

Ana madde: Goldbach hipotezi

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi, doğru gözükmesine rağmen halen ispatlanamamıştır. "Her çift (2 hariç) sayı iki asal sayının toplamı mıdır?"

Örneğin:

• 4 = 2 + 2
• 6 = 3 + 3
• 8 = 3 + 5
• 10 = 3 + 7
• 12 = 5 + 7
• 14 = 3 + 11
• 16 = 3 + 13
• 18 = 5 + 13
• 20 = 3 + 17
• 22 = 3 + 19
• 24 = 5 + 19
• 26 = 7 + 19
• 28 = 5 + 23
• 30 = 7 + 23
• 32 = 3 + 29
• 34 = 5 + 29
• 36 = 7 + 29

Riemann hipotezi

Ana madde: Riemann hipotezi

Asal sayıların doğal sayılar içerisindeki dağılımı hakkındaki hipotezdir.

Ayrıca bakınız

• Asal sayıların listesi
• Eratosten kalburu
• Mersenne asallları
• Fermat'nın küçük teoremi
• Öklid teoremi
• Goldbach hipotezi
• İkiz asallar
• Yarı asal
• Lasa sayı

Sayı sistemleri Karmaşık $:\;\mathbb {C}$ Reel $:\;\mathbb {R}$ Rasyonel $:\;\mathbb {Q}$ Tam sayı $:\;\mathbb {Z}$ Doğal $:\;\mathbb {N}$ Sıfır: 0 Bir: 1 Asal sayılar Bileşik sayılar Negatif tam sayılar Kesir Sonlu ondalık sayı İkili (sonlu ikili) Devirli ondalık sayı İrrasyonel Cebirsel irrasyonel Aşkın Sanal