Dizinin limiti

n	n sin(1/n)
1	0,841471
2	0,958851
...
10	0,998334
...
100	0,999983

n pozitif tam sayısı çok çok büyük olursa, n sin(1/n) hemen hemen 1'e yaklaşır. Bu durumda "n sin(1/n) dizisinin limiti 1'e eşittir" denir.

Matematikte, bir dizinin limiti, dizinin terimlerinden "elde edilen" bir değerdir. Eğer böyle bir limit varsa diziye yakınsak denir. Eğer yakınsamıyorsa bu durumda ıraksak denir. Bir dizinin limiti kavramı, analizde sıkça kullanılır.

Limitler, herhangi bir metrik veya topolojik uzayda tanımlanabilir. Fakat çoğunlukla, öncelikle reel sayılarla ifade edilirler.

Reel sayılar

{a_n} yakınsak dizisinin grafiği mavi ile gösteriliyor. n artarken dizinin limitinin 0'a yaklaştığı görülebiliyor.

Formal tanım

$(x_{n})$ dizisinin limiti $x$ olursa, aşağıdaki şartlar sağlanır:

• $\epsilon >0$ sağlayan her reel sayının, bir $N$ doğal sayısı vardır. Her $n>N$ doğal sayısı için, $|x_{n}-x|<\epsilon$ olur.

Başka bir ifade ile, her $\epsilon$ yakınlık ölçüsü için dizinin terimleri, sonuçta limite yaklaşır. $(x_{n})$ dizisi, $x$ limitine yakınsıyorsa veya yakınsaksa, $x_{n}\to x$ veya $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$ şeklinde sembolize edilir.

Bir dizi eğer bazı limitlere yakınsıyorsa, dizi yakınsaktır, aksi taktirde ıraksaktır.

Örnekler

• Sabit x için eğer $x_{n}=c$ oluyorsa, $x_{n}\to c$ olur. İspat: $N=1$ seçelim. Her $n>N$ için, $|x_{n}-c|=0<\epsilon$ olur.

• $x_{n}=1/n$ ise, $x_{n}\to 0$ olur. İspat: $N=\left\lfloor {\frac {1}{\epsilon }}\right\rfloor$ seçelim (tam değer fonksiyonu). Her $n>N$ için, $|x_{n}-0|\leq x_{N+1}={\frac {1}{\lfloor 1/\epsilon \rfloor +1}}<\epsilon$ olur.

• $n$ çift sayısı için $x_{n}=1/n$ ve $n$ tek sayısı için $x_{n}=1/n^{2}$ oluyorsa, $x_{n}\to 0$ olur. ($n$ ister tek ister çift olsun $x_{n+1}>x_{n}$ olur.)

• Herhangi bir reel sayı için, ondalık yaklaşımları alınarak bir dizi elde edilebilir. Örneğin, $0,3,0,33,0,333,0,3333,...$, $1/3$'e yakınsar.$0,3333...$ ondalık temsilinin, önceki dizinin limiti olduğuna dikkat edin. Bu limit şöyle sembolize edilir;

$0,3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}$.

• $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ limitinde olduğu gibi $c$ her zaman için belli değilse, bu durumda sıkıştırma teoremi sıkça kullanılır.

Özellikler

Genellikle aritmetik işlemler kullanılarak dizilerin limitleri hesaplanabilir. Eğer $a_{n}\to a$ ve $b_{n}\to b$ oluyorsa, $a_{n}+b_{n}\to a+b$, $a_{n}b_{n}\to ab$ olur. Ya b ya da herhangi bir $b_{n}$ sıfır ise, $a_{n}/b_{n}\to a/b$ olur.

Herhangi bir f süreklilik fonksiyonu için, $x_{n}\to x$ oluyorsa, $f(x_{n})\to f(x)$ olur. Herhangi bir reel değerli f fonksiyonunda süreklilik, ancak ve ancak dizilerin limitlerinin devamlılığıdır (gerçi sürekliliğin genel gösteriminde bunun doğru olması gerekmez).

Reel dizilerin limitlerinin diğer bazı önemli özellikleri şunlardır:

• Bir dizinin limiti eşsizdir.
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})(\lim _{n\to \infty }b_{n})$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}$ (Eğer $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$ ise)
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
• Tüm $n$'ler bazı $N$'lerden daha büyük ise ve $a_{n}\leq b_{n}$ oluyorsa, $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ olur
• (Sıkıştırma teoremi) Tüm $n>N$ için $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ oluyorsa ve $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ ise, $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ olur.
• Eğer bir dizi sınırlandırılmış ve monotonik ise dizi yakınsaktır.
• Bir dizi yakınsak ise ancak ve ancak tüm alt dizileri de yakınsaktır.

Bu özellikler, doğrudan kullanımı külfetli olan formal tanımlar olmaksızın limitleri elde etmek için kullanılır. çoğaltılabilir. Yukarıdaki özellikleri kullanarak $1/n\to 0$ olduğu ispatlandıktan sonra ${\frac {a}{b+c/n}}\to {\frac {a}{b}}$, ($b\neq 0$) olduğunu göstermek kolaylaşır.

Sonsuz limitler

Bir $(x_{n})$ dizisi sonsuza yaklaşıyorsa, $x_{n}\to \infty$ veya $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty$ şeklinde yazılır ve her K için bir N varsa, her $n\geq N$ için $x_{n}>K$ olur. Burada dizinin terimleri, sonuçta her bir sabit K dan daha büyüktür. Benzer şekilde, $x_{n}\to -\infty$ ise, her K için bir N varsa,.her $n\geq N$ için $x_{n}<K$ olur. Eğer bir dizi sonsuza yaklaşıyorsa veya eksi sonsuz ise, dizi ıraksaktır (yine de, bir ıraksak dizi artı veya eksi sonsuza yaklaşmalıdır).

Metrik uzaylar

Tanım

(X, d) metrik uzayındaki bir x noktası, (x_n) dizisinin limitidir. Eğer tüm ε > 0 ise, bir N vardır. Her $n\geq N$ için, $d(x_{n},x)<\epsilon$ olur. $X=\mathbb {R}$ ve $d(x,y)=|x-y|$ olduğunda bu tanım tüm reel sayılar için geçerli olur.

Özellikler

Herhangi bir f sürekli fonksiyonu için, eğer $x_{n}\to x$ oluyorsa, $f(x_{n})\to f(x)$ olur. Bir f fonksiyonunda süreklilik, ancak ve ancak dizilerin limitlerinin devamlılığıdır.

Topolojik uzaylar

Tanım

(X, τ) topolojik uzayında bir x noktası, (x_n) dizisinin limitidir. Eğer x noktasının tüm U komşuları için bir N varsa, her $n\geq N$ için, $x_{n}\in U$ olur. Eğer (X,d) metrik uzay olur ve $\tau$, d tarafından oluşturulan bir topoloji ise bu tanım metrik uzayını verir.

Bir T topolojik uzayında $\left(x_{n}:n\in \mathbb {N} \right)\;$ noktasındaki dizinin limiti, fonksiyonun limitinin özel durumudur: $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace$ uzayındaki $\mathbb {N}$ tanım kümesi genişletilmiş reel sayılar çizgisinin indüklenmiş topolojisindedir. T değeri ve n fonksiyon argümanı, bu uzaydaki $\mathbb {N}$'in limit noktası olan +∞'a yaklaşır.

Özellikler

X Hausdorff uzayındaki dizilerin limitleri var olduğu müddetçe eşsizdirler. Bunun genel bir durum olmadığına dikkat edin. Özellikl, x ve y noktaları topolojik olarak benzer ise, x e yakınsayan her hangi bir dizi y ye de yakınsamalıdır. Bunun tersi de geçerlidir.

Cauchy dizileri

Ana madde: Cauchy dizisi

Bir (x_n) Cauchy dizisinin grafiği mavi ile gösteriliyor. x_n, n ye karşıdır. Dizi bir limit noktasına yakınsıyor. Reel sayılarda her Cauchy dizisi bazı limitlere yakınsar.

Cauchy dizisi, terimleri rastgele yakın olan bir dizidir. Cauchy dizisi kavramı, metrik uzayında, özellikle reel analizde ortaya çıkar.

Bir dizi yakınsıyorsa ancak ve ancak Cauchy dizisidir.