Küme

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Küme, matematikte farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırt edilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.

Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin ögeleri veya elemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan nesne o kümenin içinde veya kümeye aittir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içinde ya da içinde değildir.

İki kümenin kesişimi her iki kümede bulunan ortak ögelerden oluşur. Venn diyagramında gösterimi.

Küme Kavramının Kökeni[değiştir | kaynağı değiştir]

Georg Cantor, küme teorisinin kurucularından biri olarak, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre adlı eserinin başında şu tanımı vermiştir: Bir küme, algımızın veya düşüncemizin belirli, ayrık nesnelerini bir araya getirme - ki bunlara kümenin elemanları denir - işlemidir. Bu çeviride, Almanca'da "Menge" kelimesi "küme"(aggregate) olarak çevrilmiştir.

Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Georg Cantor kümeyi iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak tanımlamaktadır.[1] İyi tanımlanmış ile kastedilen, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan bir tanımdır.

Cantor'dan öncede, adına küme denilmese bile matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanırdı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Bu gelişmeler, matematiğe ve özellikle formalist akıma 20. yüzyılın ilk yarısında katkı verdi.

Almanca küme kelimesi "Menge", Bernard Bolzano tarafından Paradoxes of the Infinite adlı çalışmasında ortaya atıldı.[2][3][4][5]

Küme teorisinin kurucularından Georg Cantor, transfinit küme teorisi üzerine yazdığı Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre adlı çalışmasının başında şu tanımı verdi:

Bir küme, algı veya düşüncemizin belirli, ayırt edilebilir nesnelerinin bir araya toplanmasıdır — ve bu nesnelere kümenin elemanları denir.

Bertrand Russell, küme ve sınıf arasındaki ayrımı (bir küme bir sınıftır, ancak tüm kümelerin sınıfı gibi bazı sınıflar küme değildir; bkz. Russell paradoksu) tanıttı:[6]

Matematikçiler bir manifold, aggregate, Menge, ensemble veya benzeri bir isimle uğraştıklarında, özellikle ilgili terimlerin sayısı sonlu olduğunda, ilgili nesneyi (ki aslında bir sınıftır) terimlerinin numaralandırılmasıyla tanımlanmış olarak kabul etmek ve bu durumda bir tek terimden oluşabileceği göz önünde bulundurulur, bu durumda o tek terim sınıftır.

Sezgisel kümeler kuramı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir kümenin en önemli özelliği, elemanlara sahip olabilmesidir; bu elemanlar aynı zamanda üyeler olarak da adlandırılır. İki küme, aynı elemanlara sahip olduklarında eşittir. Daha kesin bir ifadeyle, A ve B kümeleri, A'nın her elemanı B'nin bir elemanıysa ve B'nin her elemanı da A'nın bir elemanıysa eşittir; bu özellik kümelerin genişletilebilirliği olarak adlandırılır.[7]

Basit bir küme kavramı matematikte son derece faydalı olmuştur, ancak setlerin nasıl oluşturulabileceği konusunda herhangi bir kısıtlama olmadığında paradokslar ortaya çıkar:

  • Russell paradoksu, "kendilerini içermeyen tüm kümelerin kümesi"nin, yani {x | x bir küme ve x ∉ x}, var olamayacağını gösterir.
  • Cantor paradoksu, "tüm kümelerin kümesi"nin var olamayacağını gösterir.

Sezgisel kümeler kuramı, bir kümenin iyi tanımlanmış farklı elemanların bir koleksiyonu olarak tanımlar, ancak "iyi tanımlanmış" teriminin belirsizliği nedeniyle sorunlar ortaya çıkar.

Aksiyomatik küme kuramı[değiştir | kaynağı değiştir]

Sezgisel küme teorisinin orijinal formülasyonundan bu yana, bu paradoksları çözmek için yapılan çabalarda, setlerin(küme) özellikleri aksiyomlarla tanımlanmıştır. Aksiyomatik küme teorisi, bir küme kavramını ilkel bir kavram olarak ele alır.[8] Aksiyomların amacı, birinci dereceden mantığı kullanarak setlerle ilgili belirli matematiksel önermelerin (ifadelerin) doğruluğunu veya yanlışlığını çıkarmak için temel bir çerçeve sağlamaktır. Ancak, Gödel'in eksiklik teoremlerine göre, birinci dereceden mantığı kullanarak herhangi bir aksiyomatik küme teorisinin paradoks içermeyen olduğunu kanıtlamak mümkün değildir.

Kümeler nasıl tanımlanır ve küme gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematik metinlerinde, kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle italik olarak gösterilir.[9][10] Bir küme, özellikle elemanları da set olan durumlarda, bir koleksiyon veya aile olarak da adlandırılabilir.[11]

Sıralı gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

Sıralı veya numaralı gösterim, bir kümenin elemanlarını süslü parantezler arasında virgülle ayrılarak listelemek suretiyle bir küme tanımlar:[12][13][14][15]

Bir kümede, önemli olan her elemanın içinde olup olmadığıdır, bu nedenle sıralı gösterimde elemanların sıralaması önemsizdir (buna karşılık, bir dizide, demette veya bir kümenin permütasyonunda, terimlerin sıralaması önemlidir). Örneğin, {2, 4, 6} ve {7, 4, 8, 6}aynı kümeyi temsil eder.

Çok sayıda elemana sahip olan setler, özellikle örtük bir desene uyanlar, üyelerin listesi '...' işareti kullanılarak kısaltılabilir.[16][17] Örneğin, ilk bin pozitif tam sayı kümesi, sıralı gösterimde aşağıdaki gibi belirtilebilir:

{1, 2, 3, 4 ... 1000}

Sonsuz kümelerin sıralı gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonsuz bir set(küme), sonsuz bir eleman listesine sahip olan bir kümedir. Sonsuz bir seti sıralı gösterimde tanımlamak için, listeyin sonuna veya her iki ucuna da noktalama işareti konur ve bu şekilde liste sonsuz bir şekilde devam ettiği ifade edilir. Örneğin, pozitif olmayan tam sayıların kümesi aşağıdaki gibi sıralı gösterimde tanımlanabilir:

{0, 1, 2, 3, 4 ...}

ve tüm tamsayıların kümesi ise:

{... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...}

Anlamsal tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir küme tanımlamanın başka bir yolu, elemanların neler olduğunu belirlemek için bir kural kullanmaktır:

A, üyeleri ilk dört pozitif tamsayı olan bir küme olsun.
B, Fransız bayrağının renklerinin kümesi olsun.

Bu tür bir tanım, bir anlamsal açıklama olarak adlandırılır.[18][19]

Küme oluşturucu(set-builder) gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Set-builder gösterimi, elemanlar üzerindeki bir koşula dayalı olarak daha büyük bir kümeden bir seçimi belirtir.[19][20][21] Örneğin, F kümesi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Bir F kümesi, şu şekilde tanımlanabilir:

Bu gösterimde, dikey çizgi "|" "şunu ki" anlamına gelir ve tanım, "F, n'nin 0 ile 19 (dahil) arasında bir tamsayı olduğu tüm n sayılarının kümesidir" şeklinde yorumlanabilir. Bazı yazarlar dikey çizgi yerine iki nokta üst üste ":" kullanır.[22]

Tanımlama yöntemlerinin sınıflandırılması[değiştir | kaynağı değiştir]

Felsefe, tanım türlerini sınıflandırmak için belirli terimler kullanır:

  • Bir niyetsel tanım, üyeliği belirlemek için bir kural kullanır. Anlamsal tanımlar ve set-builder gösterimi kullanan tanımlar buna örnek verilebilir.
  • Bir genişletici tanım, bir küme hakkında tüm elemanlarını listeleyerek tanımlar.[19] Bu tür tanımlar aynı zamanda sayım(enumerative) niteliğindedir.
  • Bir örnekleme tanımı, bir küme hakkında örnekler vererek tanımlar; noktalama işaretleri içeren bir liste bunun bir örneğidir.

Elemanı olma[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer B bir küme ve x B'nin bir elemanı ise, bu kısaltma şeklinde xB olarak yazılır ve aynı zamanda "x B'ye aittir" veya "x B'de bulunur" şeklinde okunabilir. [7]"y B'nin bir elemanı değildir" ifadesi y ∉ B şeklinde yazılır ve aynı zamanda "y B'de değil" şeklinde okunabilir.[23][24]

Örneğin,, ve

kümelere göre,

4 ∈ A ve 12 ∈ F; 20 ∉ F ve yeşil∉ B.

Boş Küme[değiştir | kaynağı değiştir]

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme (veya null kümesi) denir ve hiçbir elemana sahip olmayan tek kümedir. Boş küme , , ϕ, veya ϕ sembolleri ile gösterilir.

Önemli Not: kümesi, boş küme ifade etmemektedir. Bu küme bir elemana sahiptir.

Birim(singleton) kümeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir birim kümesi, tam olarak bir elemana sahip olan bir kümedir.[25] Bu tür bir küme {x} şeklinde yazılabilir, burada x elemandır. {x} kümesi ve x elemanı farklı anlamlara gelir; Halmos[26], bir şapka içeren bir kutunun şapkayla aynı olmadığı benzetmesini çizer.

Alt kümeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer kümenin A her elemanı aynı zamanda B kümesinde yer alıyorsa, A kümesi B'nin bir alt kümesi veya B içinde yer alan bir küme olarak tanımlanır.[27][28] Bu durumu ifade etmek için AB veya BA şeklinde yazılır. İkinci gösterim B A'yı içerir şeklinde okunabilir. ⊆ tarafından sağlanan kümeler arası ilişkiye dahil etme veya içermeyi denir. İki küme birbirlerini içerdiklerinde eşittirler: AB ve B ⊆ A, A = B ile eşdeğerdir.[20]

Eğer A, B'nin bir alt kümesi ise ancak A, B'ye eşit değilse, A B'nin bir gerçek alt kümesi olarak adlandırılır. Bu durum AB şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde, B ⊋ A B'nin bir gerçek üst kümesi anlamına gelir, yani B A'yı içerir ve A'ya eşit değildir.

Üçüncü çift ⊂ ve ⊃ operatörleri farklı yazarlar tarafından farklı şekillerde kullanılır: bazı yazarlar AB ve BA ifadesini A'nın B'nin herhangi bir alt kümesini temsil etmek için kullanırken, diğerleri A'nın yalnızca gerçek bir alt kümesi olduğu durumlar için AB ve BA kullanır.[29][23]

Örnekler:

  • Tüm insanlar kümesi, tüm memeliler kümesinin uygun bir alt kümesidir.
  • {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
  • {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir[30] ve her küme kendisinin bir alt kümesidir:[29]

  • ∅ ⊆ A.
  • A ⊆ A.

Euler ve Venn diyagramları[değiştir | kaynağı değiştir]

A, B'nin bir alt kümesidir. B, A'nın bir üst kümesidir.

Bir Euler diyagramı, bir küme koleksiyonunun grafiksel bir temsilidir; her bir küme, içindeki elemanlarıyla birlikte bir döngü tarafından çevrili bir düzlem bölgesi olarak gösterilir. Eğer A, B'nin bir alt kümesi ise, A'yı temsil eden bölge, B'yi temsil eden bölgenin tamamen içinde yer alır. İki kümenin ortak elemanı yoksa, bölgeler birbirleriyle örtüşmez.

Buna karşılık, bir Venn diyagramı, n kümenin grafiksel bir temsilidir ve n döngü düzlemi, seçilen n kümenin her biri için (belki hepsi veya hiçbiri), seçilen kümelere ait olan ve diğerlerine ait olmayan elemanlar için bir bölge olacak şekilde düzlemi 2n bölgeye böler. Örneğin, küme A, B ve C ise, A ve C içinde bulunan ve B'nin dışında olan elemanlar için bir bölge olmalıdır (böyle elemanlar olmasa bile).

Küme Kavramları[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eğer a elemanı A kümesine aitse bu ifade olarak; ait değilse biçiminde göstermektedir.
  • A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılmaktadır.
  • A ile B'nin kesişimi şeklinde gösterilmektedir.
  • A ile B'nin birleşimi şeklinde gösterilmektedir.
  • A'nın B'den farkı , B'nin A'dan farkı olarak gösterilmektedir.
  • Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa (A,B'nin alt kümesidir.) veya (B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılmaktadır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılmaktadır.
  • Hiçbir ögesi bulunmayan kümeye boş küme denir. Boş küme, ya da şeklinde gösterilmektedir. Boş küme, bütün kümelerin alt kümesidir.
  • Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme şeklinde gösterilir.
  • Eğer ise A, B kümesine denktir. Eğer A ve B kümelerinin elemanları aynıysa , hiçbir elemanları aynı değilse ayrık küme olurlar.
  • kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken, bu elemanlar A'nın tümleyeni kümesinde toplanır. A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi olarak gösterilir.

Kümelerin Gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Venn Şeması Örneği
Venn Şeması Örneği

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

  • Liste Yöntemi: Kümenin elemanları sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. Örneğin, ise, tür.
  • Ortak özelik yöntemi: Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. Burada "" ifadesi "öyle x'lerden oluşur ki" diye okunur. Bu ifade biçiminde de yazılmaktadır.
  • Şema Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak (sol üstteki resim) gösterilir. Bu gösterime Venn şeması ile gösterimi denir.

Kullanılan Simgeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Simge Simgenin açıklaması Simge Simgenin açıklaması
Elemanıdır Birleşim
Elemanı değildir Kesişim
Eleman olarak kapsar Birden fazla küme bileşenleri
Alt kümesi Boş küme
Üst kümesi Ne yaklaşık ne de fiili olarak
Alt küme veya eşit Küçük veya eşit
Üst küme veya eşit Büyük veya eşit
Eşit değil Küçük değil
< Küçüktür Küçük veya eşit değil
> Büyüktür Büyük veya eşit değil
Denktir Denk değil
Hemen hemen eşit Yaklaşık olarak eşit
Benzer Küçük eşit veya büyük
Çok daha büyük Çok daha küçük
= Eşit Eşit değil

Eşit Küme ve Denk Küme[değiştir | kaynağı değiştir]

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

  • A kümesi B kümesine eşit ise biçiminde gösterilir.
  • C kümesi D kümesine denk ise biçiminde gösterilir.

Önemli Not: Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

Özel Sayı Kümeleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Doğal sayılar N, tam sayılar Z içinde yer alır, tam sayılar Q (rasyonel sayılar) içinde yer alır, rasyonel sayılar R (gerçel sayılar) içinde yer alır ve gerçel sayılar C (kompleks sayılar) içinde yer alır.

Matematikçilerin o kadar sık atıfta bulundukları matematiksel öneme sahip kümeler vardır ki, onları tanımlamak için özel isimler ve notasyon kuralları edinmişlerdir. Bu önemli kümeler, matematik metinlerinde kalın (örneğin ) veya tahta kalın () yazı karakteriyle temsil edilir.[31] Bunlar şunları içerir:

  • veya , doğal sayılar kümesi: (bazı matematikçiler 0'ı dahil etmemektedir.) [32]
  • veya , tam sayılar kümesi (negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar ve 0 dahil): [32]
  • veya , rasyonel sayılar kümesi (tam sayılar ve kesirli ifadeler dahil): . Örneğin, ve [32]
  • veya , reel sayılar kümesi: [rasyonel sayılar kümesi ve irrasyonel sayılar kümesi ( gibi kesirli ifade biçiminde yazılamayan cebirsel sayıların yanı sıra ve gibi sayılar) dahil] [32]
  • veya , karmaşık sayılar kümesi: . Örneğin, .[32]

Yukarıda yer alan sayı kümelerinin her biri sonsuz sayıda elemana sahiptir. Her biri bulunduğu satırın altında yer alan kümelerin bir alt kümesidir.

Pozitif veya negatif sayı kümeleri, küme sembolünün üzerine veya sembolü konularak ifade edilmektedir. Örneğin; pozitif tam sayılar kümesi , negatif tam sayılar kümesi biçiminde ifade edilmektedir.

Fonksiyonlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir A kümesinden B kümesine olan bir fonksiyon (veya eşleme), her bir A kümesi elemanına B kümesinden bir "çıktı" atayan bir kuraldır; daha formel olarak, bir fonksiyon, A kümesinin her elemanını tam olarak bir B kümesi elemanına bağlayan özel bir ilişkidir. Bir fonksiyon şu şekillerde adlandırılır:

  • İnjektif Birebir (veya tekil) ise, A kümesinin her iki farklı elemanını farklı B elemanlarına eşler.
  • Sürjektif Örten (veya üzerine) ise, her B elemanı için en az bir A elemanı ona eşlenir.
  • Bijektif Bİrebir Örten (veya bir-bir karşılıklı) ise, fonksiyon hem injektif hem de sürjektif olup her A elemanı benzersiz bir B elemanıyla eşlenir ve her B elemanı da benzersiz bir A elemanıyla eşlenir, böylece eşlenmemiş elemanlar bulunmaz.

İnjektif bir fonksiyon enjeksiyon, sürjektif bir fonksiyon sürjeksiyon ve bijektif bir fonksiyon bire-bir karşılıklı veya bijeksiyon olarak adlandırılır.

Sayallık (kardinalite)[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir kümenin cardinality (kardinalite) değeri, o kümenin eleman sayısıdır.[33] Örneğin, B = {mavi, beyaz, kırmızı} kümesi için |B| = 3'dür. Kümelendirmede tekrar eden elemanlar sayılmaz,[34][35] bu nedenle B = {mavi, beyaz, kırmızı, mavi, beyaz} kümesi için de |B| = 3'tür.

Daha kesin bir ifadeyle, iki küme aynı kardinaliteye sahipse, aralarında bire-bir'e ilişkilendirme sağlayan bir fonksiyon bulunur.

Boş kümenin kardinalite değeri sıfırdır.[36]

Sonsuz kümeler ve sonsuz kardinalite[değiştir | kaynağı değiştir]

Bazı kümelerin elemanları sayılamazdır veya sonsuzdur.[20] Örneğin, doğal sayıların kümesi N sonsuzdur. Aslında, yukarıdaki bölümde bahsedilen tüm özel sayı kümeleri sonsuzdur. Sonsuz kümelerin kardinalite değeri sonsuzdur.

Bazı sonsuz kardinaliteler diğerlerinden daha büyüktür. Küme teorisi açısından en önemli sonuçlardan biri, gerçel sayıların kümesinin doğal sayıların kümesinden daha büyük kardinaliteye sahip olmasıdır.[37] N'ye eşit veya daha küçük kardinalite değerine sahip kümeler "sayılabilir kümeler" olarak adlandırılır. Bunlar ya sonlu kümelerdir ya da N ile aynı kardinaliteye sahip "sayılabilir sonsuz kümelerdir". Bazı yazarlar "sayılabilir" terimini "sayılabilir sonsuz" anlamında kullanır. N'den daha büyük kardinalite değerine sahip kümeler "sayılabilir olmayan kümeler" olarak adlandırılır.

Ancak, bir doğru üzerindeki noktaların kardinalite değeri (yani bir doğru üzerindeki nokta sayısı), o doğrunun bir segmentinin, tüm düzlemin ve hatta herhangi bir sonlu boyutlu Öklidyen uzayın kardinalite değeriyle aynıdır.[38]

Süreklilik hipotezi[değiştir | kaynağı değiştir]

Georg Cantor tarafından 1878 yılında formüle edilen süreklilik hipotezi, doğal sayıların kardinalite değeriyle bir doğruyun kardinalite değeri arasında bir kümenin olmadığını ifade eder.[39] 1963 yılında Paul Cohen, süreklilik hipotezinin, Zermelo-Fraenkel küme teorisiyle (seçim aksiyomunu içeren) ZFC aksiyom sistemi içinde bağımsız olduğunu kanıtlamıştır.[40](ZFC, aksiyomatik küme teorisinin en yaygın olarak incelenen versiyonudur.)

Evrensel Küme[değiştir | kaynağı değiştir]

Evrensel Küme Örneği
Evrensel Küme Örneği

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle ile gösterilmektedir. Yabancı kaynaklarda çoğunlukla ile gösterilmektedir.[41]

Ayrıca Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2. 
  2. ^ José Ferreirós (16 Ağustos 2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-7643-8349-7. 
  3. ^ Steve Russ (9 Aralık 2004). The Mathematical Works of Bernard Bolzano. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1. 
  4. ^ William Ewald; William Bragg Ewald (1996). From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics. OUP Oxford. s. 249. ISBN 978-0-19-850535-8. 
  5. ^ Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 Nisan 2019). Bernard Bolzano: His Life and Work. OUP Oxford. s. 430. ISBN 978-0-19-255683-7. 
  6. ^ Bertrand Russell (1903) The Principles of Mathematics, chapter VI: Classes
  7. ^ a b Halmos 1960, s. 2.
  8. ^ Jose Ferreiros (1 Kasım 2001). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5749-8. 
  9. ^ Seymor Lipschutz; Marc Lipson (22 Haziran 1997). Schaum's Outline of Discrete Mathematics. McGraw Hill Professional. s. 1. ISBN 978-0-07-136841-4. 
  10. ^ Halmos 1960, s. 1.
  11. ^ "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. 16 Temmuz 2006 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Ağustos 2020. 
  12. ^ Charles Roberts (24 Haziran 2009). Introduction to Mathematical Proofs: A Transition. CRC Press. s. 45. ISBN 978-1-4200-6956-3. 
  13. ^ David Johnson; David B. Johnson; Thomas A. Mowry (June 2004). Finite Mathematics: Practical Applications (Docutech Version). W. H. Freeman. s. 220. ISBN 978-0-7167-6297-3. 
  14. ^ Ignacio Bello; Anton Kaul; Jack R. Britton (29 Ocak 2013). Topics in Contemporary Mathematics. Cengage Learning. s. 47. ISBN 978-1-133-10742-2. 
  15. ^ Susanna S. Epp (4 Ağustos 2010). Discrete Mathematics with Applications. Cengage Learning. s. 13. ISBN 978-0-495-39132-6. 
  16. ^ Alfred Basta; Stephan DeLong; Nadine Basta (1 Ocak 2013). Mathematics for Information Technology. Cengage Learning. s. 3. ISBN 978-1-285-60843-3. 
  17. ^ Laura Bracken; Ed Miller (15 Şubat 2013). Elementary Algebra. Cengage Learning. s. 36. ISBN 978-0-618-95134-5. 
  18. ^ Halmos 1960, s. 4.
  19. ^ a b c Frank Ruda (6 Ekim 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. s. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0. 
  20. ^ a b c John F. Lucas (1990). Introduction to Abstract Mathematics. Rowman & Littlefield. s. 108. ISBN 978-0-912675-73-2. 
  21. ^ Weisstein, Eric W. "Set". mathworld.wolfram.com (İngilizce). 1 Mart 2000 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Ağustos 2020. 
  22. ^ Ralph C. Steinlage (1987). College Algebra. West Publishing Company. ISBN 978-0-314-29531-6. 
  23. ^ a b Marek Capinski; Peter E. Kopp (2004). Measure, Integral and Probability. Springer Science & Business Media. s. 2. ISBN 978-1-85233-781-0. 
  24. ^ "Set Symbols". www.mathsisfun.com. 4 Ocak 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Ağustos 2020. 
  25. ^ Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. ss. 5. ISBN 9780716704577.  Geçersiz |url-erişimi=registration (yardım)
  26. ^ Halmos 1960, Sect.2.
  27. ^ Felix Hausdorff (2005). Set Theory. American Mathematical Soc. s. 30. ISBN 978-0-8218-3835-8. 
  28. ^ Peter Comninos (6 Nisan 2010). Mathematical and Computer Programming Techniques for Computer Graphics. Springer Science & Business Media. s. 7. ISBN 978-1-84628-292-8. 
  29. ^ a b Halmos 1960, s. 3.
  30. ^ Halmos 1960, s. 8.
  31. ^ George Tourlakis (13 Şubat 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory Cambridge University Press. s. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
  32. ^ a b c d e George Tourlakis (13 February 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory 27 Nisan 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
  33. ^ Yiannis N. Moschovakis (1994). Notes on Set Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-94180-4. 
  34. ^ Arthur Charles Fleck (2001). Formal Models of Computation: The Ultimate Limits of Computing. World Scientific. s. 3. ISBN 978-981-02-4500-9. 
  35. ^ William Johnston (25 Eylül 2015). The Lebesgue Integral for Undergraduates. The Mathematical Association of America. s. 7. ISBN 978-1-939512-07-9. 
  36. ^ Karl J. Smith (7 Ocak 2008). Mathematics: Its Power and Utility. Cengage Learning. s. 401. ISBN 978-0-495-38913-2. 
  37. ^ John Stillwell (16 Ekim 2013). The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01577-4. 
  38. ^ David Tall (11 Nisan 2006). Advanced Mathematical Thinking. Springer Science & Business Media. s. 211. ISBN 978-0-306-47203-9. 
  39. ^ Cantor, Georg (1878). "Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1878 (84): 242-258. doi:10.1515/crll.1878.84.242. 5 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 9 Haziran 2023. 
  40. ^ Cohen, Paul J. (15 Aralık 1963). "The Independence of the Continuum Hypothesis". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50 (6): 1143-1148. Bibcode:1963PNAS...50.1143C. doi:10.1073/pnas.50.6.1143Özgürce erişilebilir. JSTOR 71858. PMC 221287 $2. PMID 16578557. 
  41. ^ Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.