Küme

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırt edilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.

Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin ögeleri veya elemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan nesne o kümenin içinde veya kümeye aittir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içinde ya da içinde değildir.

İki kümenin kesişimi her iki kümede bulunan ortak ögelerden oluşur. Venn diyagramında gösterimi.

Küme Kavramının Kökeni[değiştir | kaynağı değiştir]

Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Georg Cantor kümeyi iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak tanımlamaktadır.[1] İyi tanımlanmış ile kastedilen, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan bir tanımdır.

Cantor'dan öncede, adına küme denilmese bile matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanırdı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Bu gelişmeler, matematiğe ve özellikle formalist akıma 20. yüzyılın ilk yarısında katkı verdi.

Küme Kavramları[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eğer a elemanı A kümesine aitse bu ifade olarak; ait değilse biçiminde göstermektedir.
  • A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılmaktadır.
  • A ile B'nin kesişimi şeklinde gösterilmektedir.
  • A ile B'nin birleşimi şeklinde gösterilmektedir.
  • A'nın B'den farkı , B'nin A'dan farkı olarak gösterilmektedir.
  • Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa (A,B'nin alt kümesidir.) veya (B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılmaktadır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılmaktadır.
  • Hiçbir ögesi bulunmayan kümeye boş küme denir. Boş küme, ya da şeklinde gösterilmektedir. Boş küme, bütün kümelerin alt kümesidir.
  • Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme şeklinde gösterilir.
  • Eğer ise A, B kümesine denktir. Eğer A ve B kümelerinin elemanları aynıysa , hiçbir elemanları aynı değilse ayrık küme olurlar.
  • kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken, bu elemanlar A'nın tümleyeni kümesinde toplanır. A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi olarak gösterilir.

Kümelerin Gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Venn Şeması Örneği

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

  • Liste Yöntemi: Kümenin elemanları sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. Örneğin, ise, tür.
  • Ortak özelik yöntemi: Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. Burada "" ifadesi "öyle x'lerden oluşur ki" diye okunur. Bu ifade biçiminde de yazılmaktadır.
  • Şema Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak (sol üstteki resim) gösterilir. Bu gösterime Venn şeması ile gösterimi denir.

Kullanılan Simgeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Simge Simgenin açıklaması Simge Simgenin açıklaması
Elemanıdır Birleşim
Elemanı değildir Kesişim
Eleman olarak kapsar Birden fazla küme bileşenleri
Alt kümesi Boş küme
Üst kümesi Ne yaklaşık ne de fiili olarak
Alt küme veya eşit Küçük veya eşit
Üst küme veya eşit Büyük veya eşit
Eşit değil Küçük değil
< Küçüktür Küçük veya eşit değil
> Büyüktür Büyük veya eşit değil
Denktir Denk değil
Hemen hemen eşit Yaklaşık olarak eşit
Benzer Küçük eşit veya büyük
Çok daha büyük Çok daha küçük
= Eşit Eşit değil

Eşit Küme ve Denk Küme[değiştir | kaynağı değiştir]

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

  • A kümesi B kümesine eşit ise biçiminde gösterilir.
  • C kümesi D kümesine denk ise biçiminde gösterilir.

Önemli Not: Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

Boş Küme[değiştir | kaynağı değiştir]

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme veya sembolleri ile gösterilir.

Önemli Not: kümesi, boş küme ifade etmemektedir. Bu küme bir elemana sahiptir.

Özel Sayı Kümeleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Özel Sayı Kümelerinin Şematik Gösterimi
  • veya , doğal sayılar kümesi: (bazı matematikçiler 0'ı dahil etmemektedir.) [2]
  • veya , tam sayılar kümesi (negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar ve 0 dahil): [2]
  • veya , rasyonel sayılar kümesi (tam sayılar ve kesirli ifadeler dahil): . Örneğin, ve [2]
  • veya , reel sayılar kümesi: [rasyonel sayılar kümesi ve irrasyonel sayılar kümesi ( gibi kesirli ifade biçiminde yazılamayan cebirsel sayıların yanı sıra ve gibi sayılar) dahil] [2]
  • veya , karmaşık sayılar kümesi: . Örneğin, .[2]

Yukarıda yer alan sayı kümelerinin her biri sonsuz sayıda elemana sahiptir. Her biri bulunduğu satırın altında yer alan kümelerin bir alt kümesidir.

Pozitif veya negatif sayı kümeleri, küme sembolünün üzerine veya sembolü konularak ifade edilmektedir. Örneğin; pozitif tam sayılar kümesi , negatif tam sayılar kümesi biçiminde ifade edilmektedir.

Evrensel Küme[değiştir | kaynağı değiştir]

Evrensel Küme Örneği

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle ile gösterilmektedir. Yabancı kaynaklarda çoğunlukla ile gösterilmektedir.[3]

Ayrıca Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2. 
  2. ^ a b c d e George Tourlakis (13 February 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
  3. ^ Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.