Apéry sabiti

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Kullanılan sayılar
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
İkilik sistem 1.001100111011101...
Onluk sistem 1.2020569031595942854...
Sonsuz kesir
olarak yazılışı
1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{18 + \frac{1}{\ddots\qquad{}}}}}

Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir. Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots

Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri

\zeta(3)=1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\;
61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots

Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.

Apéry teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Apéry teoremi

Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.

Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir[1]. Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.[2]

Seri şeklinde yazılışı[değiştir | kaynağı değiştir]

Leonhard Euler Euler 1773 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir Srivastava 2000, s. 571 (1.11):

\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7}
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]

Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.

Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, Plouffe 1998:

\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}

ve

\zeta(3)= 14 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}
-\frac{11}{2}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}
-\frac{7}{2} 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}.

ifadeleridir.

\zeta(2n+1)'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.

Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:

\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!}
\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}
\frac{56k^2-32k+5}{(2k-1)^2} \frac{((k-1)!)^3}{(3k)!}
\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\,
    \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \,
    {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\,
    \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3}
\zeta(3) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{205nk^2 + 250k + 77}{64} \frac{(k!)^{10}}{((2k+1)!)^5}

ve

\zeta(3) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{P(k)}{24}
\frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3}{(3k+2)!((4k+3)!)^3}

Burada,

P(k) = 126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463.\,

Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır.

Broadhurst 1998'ün sağladığı seri açılımı ikili sayı sisteminde çalışmaktadır. Bu, sabitin doğrusal zamanda hesaplanabilmesine olanak tanımaktadır.

Diğer formüller[değiştir | kaynağı değiştir]

Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir.

\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).

Bilinen basamakları[değiştir | kaynağı değiştir]

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur.

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı
Tarih Basamak sayısı Hesaplamayı Yapan Kişi
Ocak 2007 2,000,000,000 Howard Cheng, Guillaume Hanrot, Emmanuel Thomé, Eugene Zima & Paul Zimmermann
Nisan 2006 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Şubat 2003 1,000,000,000 Patrick Demichel & Xavier Gourdon
Şubat 2002 600,001,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Eylül 2001 200,001,000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Aralık 1998 128,000,026 Sebastian Wedeniwski Wedeniwski 2001
Şubat 1998 14,000,074 Sebastian Wedeniwski
Mayıs 1997 10,536,006 Patrick Demichel
1997 1,000,000 Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1996 520,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1887 32 Thomas Joannes Stieltjes
Bilinmiyor 16 Adrien-Marie Legendre

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

İngilizce Vikipedi'deki 04.11.2008 tarihli Apéry's constant maddesi

  1. ^ T. Rivoal, La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 331 (2000), s. 267-270.
  2. ^ W. Zudilin, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den biri irrasyonel, Uspekhi Mat. Nauk 56:4 (2001), s. 149-150.

Bu makale PlanetMath'deki Apéry sabiti maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.