Legendre polinomları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

 ;

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Özyineli tanımlama[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

(Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Legendrepolynomials6.svg

Çözümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

olur. Genellenirse

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Legendre polinomlarının ek özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyleki

[1]

diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

ve son noktada türev ile veriliyor

yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur

ve

Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

yukardakinden şu görülebilir

veya eşdeğeri

burada −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile

elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan

Legendre polinomlarının bir toplamı için ve için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir

birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir

burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar ve var,

Asimptotiklik birimden yoksun eklentiler için

ve birimden büyük eklentiler için

burada ve Bessel fonksiyonlarıdır.

Legendre polinomlarının kayması[değiştir | kaynağı değiştir]

Kayan Legendre polinomları olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan polinomları [0, 1] arasında bulunur:

kayan Legendre polinomu için bir

açık bağıntı ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu

ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:

n
0 1
1
2
3
4

Legendre fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır, ile ifade edilir.

Diferansiyel denklem

genel çözümü var

,

burada A ve B sabitlerdir.

Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tamsayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P0n ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu Pn uyumludur.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]